[Topologia] Spazi vettoriali di dimensione finita

[dissonance]

Una questione sicuramente ultra-trattata nei testi ma che penso sia simpatico provare a vedere amatorialmente tra noi. Il punto 1 è un esercizio standard, il punto 2 una domanda della quale non conosco la risposta.

Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale reale di dimensione finita [tex]n[/tex]. Per ogni base [tex]e=(e_1 \ldots e_n)[/tex] di [tex]V[/tex] sia [tex]\varphi_e[/tex] l'applicazione definita da

[tex]$\varphi_e\left(\sum_{j=1}^nv^j e_j\right)=(v^1 \ldots v^n)[/tex].

Ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un isomorfismo di spazi vettoriali di [tex]V[/tex] su [tex]\mathbb{R}^n[/tex].

1) Dimostrare che esiste un'unica topologia su [tex]V[/tex] tale che ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un omeomorfismo.
1b) [size=75]domanda bonus non necessaria per il seguito[/size] Dimostrare che esiste un'unica struttura di varietà differenziabile su [tex]V[/tex] tale che ogni coppia [tex](V, \varphi_e)[/tex] è un sistema di coordinate locali.

2) Rispetto alla topologia introdotta al punto 1), le applicazioni

[tex]$+ \colon V \times V \to V,\quad \cdot\colon \mathbb{R} \times V \to V[/tex] (somma e prodotto per uno scalare)

sono continue. Ci sono altre topologie su [tex]V[/tex] con questa proprietà?

[mistake89]

[OT] Dissonance ma questi sono gli effetti dei corsi delle Pastore? [/OT]

Comunque stavo pensando ad $RR^n$ con la topologia prodotto della topologia naturale su $RR$. E $V$ dotato della topologia immagine reciproca (che mi assicura la continuità).
Il fatto che $phi_e$ sia bigettiva, unita al fatto che gli aperti di $V$ sono le controimmagini mediante la $phi_e$ di aperti di $RR^n$ dovrebbe assicurarmi che tale applicazione è aperta.

Però, data l'ora, non ne sono affatto sicuro!

La cosa, anche a stamattina continua a non convincermi.
Stavo infatti pensando al fatto che potessi sfruttare il prodotto scalare ed andare a finire così in $RR$ con la topologia naturale. Ma non riesco a pensare a niente di buono ancora!

Piccolo Edit

[Gaal Dornick]

Ripromettendomi di pensarci meglio.. Ti dico che una (immensa) risposta alla seconda domanda è senz'altro il concetto di "Topological Vector Space": uno spazio vettoriale, ove l'addizione e la moltiplicazione sono continue.
E c'è un po' di teoria da sapersi.. per accenni qui http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_vector_space

Ad esempio (anche se non ricordo per bene - OT ho visto queste cose alla SMI! OT) : in genere non è detto che un TVS sia Hausdorff. Mentre $V$ con la topologia che richiedi tu lo è. Quindi in genere la risposta alla tua domanda è no.
Una risposta ovvia mi sembra: munisco $V$ della topologia discreta. Allora tutto è continuo. A questo punto mi chiedo: forse la domanda diventa più interessante se chiedo: qual è la topologia meno fine che rende le suddette continue?
Ci penserò domattina.

[fu^2]

"dissonance":
Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale reale di dimensione finita [tex]n[/tex]. Per ogni base [tex]e=(e_1 \ldots e_n)[/tex] di [tex]V[/tex] sia [tex]\varphi_e[/tex] l'applicazione definita da

[tex]$\varphi_e\left(\sum_{j=1}^nv^j e_j\right)=(v^1 \ldots v^n)[/tex].

Ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un isomorfismo di spazi vettoriali di [tex]V[/tex] su [tex]\mathbb{R}^n[/tex].

1) Dimostrare che esiste un'unica topologia su [tex]V[/tex] tale che ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un omeomorfismo.
1b) [size=75]domanda bonus non necessaria per il seguito[/size] Dimostrare che esiste un'unica struttura di varietà differenziabile su [tex]V[/tex] tale che ogni coppia [tex](V, \varphi_e)[/tex] è un sistema di coordinate locali.

Una piccola idea sull'esistenza della topologia:
Io considererei la topologia generata dalla seguente famiglia di aperti (che costruiamo basandoci su un unico fatto: la conoscenza perfetta di come e cosa sono gli aperti di $RR^n$ ): diciamo, per definizione, che un insieme [tex]A \subset V[/tex] è aperto se e soltanto se[tex]\varphi_e(A)\subset \mathbb{R}^n[/tex] è aperto.
Chiamiamo [tex]\tau_V[/tex] questa topologia.

In questo modo [tex]\varphi_e[/tex] è omeomorfismo in quanto è biiettiva, aperta (dalla definizione della topologia), e continua (infatti se consideriamo un aperto [tex]A_R\subset\mathbb{R}^n[/tex], ricordando che dalla bigettività vale che [tex]\varphi_e\varphi_e^{-1}(A_R)=A_R[/tex, abbiamo che [tex]\varphi_e^{-1}(A_R)[/tex] è aperto nella topologia di [tex]V[/tex]).

unicità:
L'idea è che se [tex]\tau[/tex] è un'altra topologia che rende [tex]\varphi_e[/tex] un omeomorfismo, allora possiamo considerare

[tex](V,\tau)\ni x \mapsto \varphi_e\cdot\varphi^{-1}(x)\in (V,\tau_V)[/tex] e questo è un omeomorfismo, dunque i due spazi sono topologicamente equivalenti.

Da notare che questa topologia non dipende dalla base selta in quanto, moralmente, ogni cambio di base in $V$ si ritrasposta come un cambio di coordinate in $RR^n$ e quindi manda aperti in aperti.
E dunque...

[Gaal Dornick]

Sempre sulla domanda 2.

Una risposta secondo me completa è sul Rudin, Functional Analysis, pag. 16.
Attenzione però! Nella definizione di TVS (pag. 7) lui richiede anche che lo spazio sia $T_0$: tra le varie cose questo implica che lo spazio sarà $T_2$.
Lui prova che "the topology of $CC^n$ is the only vector topologt that an $n$-dimensional complex topological vector space can have".

Se però lo spazio non è di Haussdorf, direi che valgono le mie considerazioni di prima. Ma esibire un esempio..

[dissonance]

Si Gaal, la domanda infatti è se esista più di una topologia di spazio vettoriale topologico su uno spazio di dimensione finita. Mi dispiace che tu abbia trovato subito informazioni sul Rudin, però! Avrei voluto che ci avessimo riflettuto un po' noi da soli. Comunque, adesso sappiamo che (richiedendo che la topologia sia di Hausdorff) la risposta è che ce n'è una sola. E' chiaro che se fai cadere questa richiesta te ne spuntano altre: per esempio munisci [tex]V[/tex] della topologia banale [tex]\{ \varnothing, V\}[/tex] e allora automaticamente hai continuità di somma e prodotto per uno scalare. Non mi è proprio venuto in mente di menzionare questa richiesta nel topic iniziale perché ultimamente ho preso il vizio di considerare, inconsciamente, solo topologie di Hausdorff.

Come si dimostra l'unicità della topologia, nel caso di Hausdorff? E' molto difficile? Vedi un po' se è fattibile e nel caso rifilaci qualche suggerimento, per favore. Quel libro ce l'ho pure io ma non voglio guardarci!

[Gaal Dornick]

La dimostrazione del Rudin è un po' "cavillosa". Tutto sommato deve utilizzare tutte le definizioni date nelle precedenti 15 pagine!
Insomma, è la tipica dimostrazione che leggo perchè va letta, ma che non riuscirò mai a farmi piacere.

[dissonance]

@fu^2:

Esatto. Il punto chiave è che, prese due basi [tex]e, e'[/tex] di [tex]V[/tex], la mappa [tex]\varphi_e \circ \varphi_{e'}^{-1}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex] è un isomorfismo lineare e quindi un omeomorfismo di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] in sé. Quindi, dette [tex]\tau_e, \tau_{e'}[/tex] le topologie su [tex]V[/tex] che rendono omeomorfismi [tex]\varphi_e, \varphi_{e'}[/tex] rispettivamente, risulta che la mappa identica

[tex]$I \colon (V, \tau_e) \to (V, \tau_{e'})[/tex]

è un omeomorfismo: infatti possiamo scrivere [tex]I=\varphi_e \circ (\varphi_e^{-1} \circ \varphi_{e'})\circ \varphi_{e'}^{-1}[/tex]. Questo significa precisamente che [tex]\tau_e=\tau_{e'}[/tex].

Il punto 1b si dimostra esattamente allo stesso modo: basta sostituire la parola "diffeomorfismo" alla parola "omeomorfismo".

[dissonance]

@mistake:

Ok quello che hai fatto, ma ti sei complicato inutilmente la vita. Su $RR^n$ hai una topologia ben nota che non è il caso di stare a ridefinire ancora una volta. Prendi una base $e$ di $V$ e la relativa applicazione $phi_e$: siccome questa è una bigezione, puoi ottenere una topologia su $V$ richiedendo che siano aperti tutti e soli i sottoinsiemi di $V$ che corrispondono ad insiemi aperti di $RR^n$. La cosa funziona e ottieni una topologia $tau$.

Il problema è: e se avessi preso un'altra base $e'$? Avresti ottenuto un'altra topologia $tau'$. Ora devi dimostrare che $tau=tau'$. Suggerimento: dimostrare questo è equivalente a dimostrare che la mappa identica $I: (V, tau) \to (V, tau')$ è un omeomorfismo.

E, si, questo è proprio l'effetto dei corsi della Pastore! Stavo ripassando le basi della geometria differenziale e mi è venuta in mente questa domanda.

[mistake89]

Sì in effetti hai proprio ragione. Devo ancora farci la mano con queste costruzioni
Sai non avevo mai incontrato una costruzione simile quindi la cosa mi sembrava (inutilmente) complicata.

Quanto a quello che proponi credo si possa fare così:
Definiamo $e,e'$ due basi di $V$ distinte. Allora $phi_e:V ->RR^n$ e $phi_(e'):V \to RR^n$ entrambi omeomorfismi. Allora $phi_(e') \circ (phi_(e))^(-1) : RR^n \to RR^n$ è un omeomorfismo, poichè l'inverso è un omeomorfismo e la composizione è un omeomorfismo.

Ma allora $id=(phi_(e'))^(-1) \circ ( phi_(e') \circ (phi_(e))^(-1) ) \circ phi_(e) : (V,\tau) \to (V, \tau ')$ ed ovviamente è un omeomorfismo.

Che dici Va bene così?

[dissonance]

@mistake:

Va bene così?

No, non va bene. Se così fosse, sarebbe vera questa proposizione:

Proposizione (!) Sia $X$ un insieme e $Y$ uno spazio topologico, e siano $phi_e, phi_{e'}$ due bigezioni di $X$ su $Y$. Allora la topologia indotta da $phi_e$ e quella indotta da $phi_{e'}$ sono uguali.

Dimostrazione (!) Riscrivi il tuo post precedente sostituendo $X$ a $V$ e $Y$ a $RR^n$.

Ma questo è falso, chiaramente. Bigezioni diverse inducono, in generale, topologie diverse: per esempio prendi $X=Y=RR$, $phi_e=I$ (mappa identica) e $phi_{e'}(x)={(x, x\in(-\infty, 0]uu[1, +infty)), (-x+1, x in (0, 1)):}$:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; axes(); xmin=-3; xmax=0; plot("x"); xmin=0; xmax=1; plot("-x+1"); xmin=1; xmax=3; plot("x"); circle([0, 1], 0.08); circle([1, 0], 0.08); fill="black"; circle([0,0], 0.08); circle([1, 1], 0.08);[/asvg]la topologia indotta dalla prima bigezione è quella solita, la topologia indotta dalla seconda no. Per esempio, $phi_{e'}^{-1}(-1/2, 1/2)= (-1/2, 0]uu(1/2, 1)$ è aperto nella seconda topologia.

Il problema è qui:

Allora $phi_(e') \circ (phi_(e))^(-1) : RR^n \to RR^n$ è un omeomorfismo, poichè l'inverso è un omeomorfismo e la composizione è un omeomorfismo.

Non è così semplice. L'applicazione $phi_{e'}circ phi_e^{-1}$ effettua questi passaggi:

$RR^n \to V \to RR^n$

Ora la prima freccia è continua se su $V$ metti la topologia $tau_e$. La seconda, invece, è continua se su $V$ metti la topologia $tau_{e'}$. Quindi non è ovvio che la composizione sia continua. Questo è vero, ma devi trovare un'altra strada per mostrarlo. Pensa a quali altre informazioni hai su $phi_e, phi_{e'}$: non sono semplici bigezioni, hanno anche tante altre proprietà.

[mistake89]

Ho capito il problema, in effetti spiegato in termini più astratti è facile capire il mio errore.
Il fatto è che per dimostrare quella cosa l'unica cosa che mi viene in mente è passare attraverso quell'applicazione $phi_(e') \circ phi_e ^(-1)$.
Forse evidenziare che sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali mi permette di sistemare il tutto?

Quando ho scritto quell'applicazione, immaginavo su $V$ di operare un cambiamento di base tra $e,e'$. L'ho fatto in maniera "latente", ma evidentemente non si può

[dissonance]

Mi sento un po' un cretino a parlare così in spoiler, manco fossero segreti di Stato, ma ormai siamo in ballo:

"mistake89":Forse evidenziare che sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali mi permette di sistemare il tutto?

Eh, non lo so, fai tu. Si, certo, è un isomorfismo lineare di $RR^n$ in sé. Ma guarda un po'.

[mistake89]

No, ma per non rovinare il gusto dell'esercizio. Io l'ho trovato molto interessante!
Così nascondo pure le boiate

Aaaaaaaaah
Certo. Ora ho capito. Praticamente stiamo operando un cambiamento di coordinate in $RR^n$

Grazie mille ancora dissonance

[dissonance]

Eh ma dillo bene, perché questo è il punto fondamentale. Infatti è una cosa non proprio banale: ogni applicazione lineare di $RR^n$ in $RR^m$ è automaticamente continua. In particolare ogni automorfismo lineare di $RR^n$ è un omeomorfismo; la dimostrazione è facile, ma il concetto è profondo ed è il punto chiave della dimostrazione precedente. Tu induci una topologia via $phi_e$ e una via $phi_{e'}$; siccome $phi_{e'}circ phi_e^{-1}$ è un omeomorfismo, queste due bigezioni sono "compatibili" nel senso che le due topologie risultano essere le stesse.

Preciso identico discorso fai con la struttura differenziale. Devi solo sostituire la parola "diffeomorfismo" alla parola "omeomorfismo".