Testare nuova congettura TdN

[Stellinelm]

Congettura di stellinelm

Sia $n$ un naturale maggiore di zero .
Se $n$:
• è un intero pari allora esiste sempre un numero primo nell’intervallo numerico
che va da $n$ a $(n +n/2)$ , estremi inclusi .
• è un intero dispari allora esiste sempre un numero primo nell’intervallo numerico
che va da $n$ a $(n +n/2 +0.5)$, estremi inclusi .

[Andrea571]

Bene, allora:
$n$ $in$ $NN$;
$n>0$;
Se $n$ pari, allora: $n≤p≤(3n)/2$;

Se $n$ dispari, allora: $n≤p≤(3n+1)/2$;

(Ho solo semplificato le tue espressioni )
Sappiamo che i numeri pari sono della forma $2k$, mentre i dispari della forma $2k+1$; Sostituendo, evitiamo di dover usare "pari" o "dispari" ogni volta, che è fastidioso

Quindi:

$2k≤p≤3k$

ed

$2k+1≤p≤3k+2$

In questo modo, $k$ può essere un qualunque valore maggiore di $0$, senza intaccare la congettura

Generalizzando, ora direi in questo modo: "Per ogni $k>0$, sono soddisfatte SEMPRE le due precedenti equazioni"

Quanto a dimostrazione e simili, per ora passo

[Stellinelm]

Grazie Andrea, in realtà hai fatto molto e pure bene.
Solo che vorrei trovare un controesempio prima di provare a dimostrarlo.
Non avrei saputo formalizzarlo come hai fatto tu (non faccio matematica) e ,
in realtà non so neanchè se la tua trasformazioni è uguale a quanto detto io,
però mi fido

p.s. : Non demordere non Lagendre (leggi la mia firma )

[Andrea571]

"Stellinelm":Grazie Andrea, in realtà hai fatto molto e pure bene.
Solo che vorrei trovare un controesempio prima di provare a dimostrarlo.
Non avrei saputo formalizzarlo come hai fatto tu (non faccio matematica) e ,
in realtà non so neanchè se la tua trasformazioni è uguale a quanto detto io,
però [size=150]mi fido[/size]

p.s. : Non demordere non Lagendre (leggi la mia firma )

Faccio il 5° Liceo, e anche se ho saputo generalizzarlo, non fidarti troppo
E grazie per Legendre

P.S.
La vedo dura trovare un controesempio: sembra essere valida sempre, poiché gli intervalli che hai creato crescono man mano, ed i numeri primi si trovano molto facilmente

[Stellinelm]

Dopo quanto detto mi fido ancora di più

[Sk_Anonymous]

In realtà è già stato provato qualcosa di più forte (cfr. [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_postulate]qui[/url]). Per esempio

"en.wiki":In 1952, Jitsuro Nagura proved that for $n \ge 25$, there is always a prime between $n$ and $(1 + 1/5)n$.

Qui la prova di Nagura.

[Stellinelm]

Grazie Delirium, il fatto che questa vale per ogni $n>0$, e non solo per $n \ge 25$,
potrebbe avere una qualche utilità?

[Sk_Anonymous]

Probabilmente poca/nessuna. Quello che interessa, di norma, è il comportamento generale... che poi si parta da \(25\) o da \(10000\) credo sia poco rilevante (si sta infatti escludendo un insieme finito di naturali).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Si sa già che per ogni fissato [tex]k > 0[/tex], e per ogni [tex]n[/tex] abbastanza grande, tra [tex]n[/tex] e [tex]kn[/tex] ci sono primi, si veda qui.

[Zero87]

Ho una dimostrazione - che suppongo esatta, sennò non la postavo - lunga e abbastanza contosa.
Mi servo di molti strumenti che richiamerò con calma spoilerizzando i calcoli sui risultati secondari per evitare casini particolari: me l'ho presa come sfida personale.

Ipotesi di partenza e notazione per tutto
$x\ge 1250$ numero reale (per tornare ai naturali basta prendere la parte intera, problema no est)
$\pi(x)$ la funzione enumerativa dei primi (cioè $\pi(x)= \text{numero dei primi}\le x$)
$log(x)$ logaritmo naturale di $x$
$\frac{x}{log(x)}$ stima di partenza di Gauss (lo so che è asintotica, il bello viene dopo).

Risultato 1
Per ogni $x\ge 17$ si ha
$\frac{x}{log(x)}<\pi(x)<1,22... \frac{x}{log(x)}$

L'ha richiamato Martino non molto tempo fa, ma sta anche qua
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime-coun ... equalities

Risultato 2
Mi allargo un po' dal risultato 1 per comodità di calcoli: per $x\ge 1250$ come l'ipotesi
$\frac{x}{log(x)}<\pi(x)<1,25 \frac{x}{log(x)}$

Solo comodità di calcoli: vale perché $1,25 > 1,22...$

Per il prossimo risultato, $3,2$ è antiestetico, ma funziona.
Risultato 3
Per $x\ge 1250$ come d'ipotesi
$1+\frac{log(x)}{log(3,2)}

Basta fare qualche calcoletto. Innanzitutto
$log(x)-\frac{log(x)}{log(3,2)}>1$
da cui segue
$log(x) (1-\frac{1}{log(3,2)})>1$
ora $1-\frac{1}{log(3,2)}=\frac{log(3,2)-1}{log(3,2)}$
che è un numero positivo e quindi posso dividere la disequazione per tale numero ottenendo
$log(x)>\frac{log(3,2)}{log(3,2)-1} \cong 7,12929...$
Lo aumento restringendo l'intervallo (ma non mi importa!)
$log(x)>7,13$
da cui segue $x>e^(7,13) \cong 1248,8...$.
Mi allargo ancora di più e ho $x\ge 1250$.

Risultato 4
Per $x\ge 1250$ come d'ipotesi, la funzione
$\frac{x}{log(3,2)+log(x)}$
è crescente.

Calcolo la derivata ottenendo
$\frac{log(3,2)+log(x)-\frac{1}{x}x}{(log(3,2)+log(x))^2}=\frac{log(3,2)-1+log(x)}{(log(3,2)+log(x))^2}$
Sicuramente sempre positiva per $x\ge1250$ poiché $log(3,2)>1$.
Ora, a occhio lo sapevo già, però per dimostrarlo non m'è venuto altro metodo che non calcolare la derivata.

Risultato 5
Consideriamo una frazione in cui numeratore e denominatore sono entrambi positivi. A parità di numeratore
- se il denominatore aumenta, allora il valore complessivo della frazione diminuisce
- se il denominatore diminuisce, allora il valore complessivo della frazione aumenta.

Sia $n/m$ con $n,m$ interi positivi.
Se $k>m$, allora $n/m-n/k = \frac{nk-nm}{km}>0$
da cui la tesi poiché il secondo termine è minore del primo.
Analogo ragionamento per l'altro.

Cioè, questa cosa l'ho imparata alle medie, ma non l'ho mai dimostrata.

Risultato 6
Le funzioni $\frac{x}{log(x)}$ e $\frac{x}{log(3/2 x)}$ sono crescenti per $x\ge 1250$ (in realtà anche per meno, ma fa lo stesso).

Risultato 7
Siano $a,b$ reali positivi differenti. Siano inoltre $c,d$ reali positivi tali che $c Non ne sono sicuro di come si dimostra, ma credo che valga la proprietà transitiva del $<$.

Teorema
Per $x\ge 1250$ esiste sempre un numero primo tra $x$ e $x+x/2 = 3/2 x$.
Dimostrazione
Spoilerizzo i calcoli, ma visualizzo l'idea di base: se è sbagliata l'idea, senza che si vanno a vedere i calcoli, no?
L'idea è quella di prendere
$\frac{x}{log(x)}$ e $\frac{3/2 x}{log(3/2 x)}$
che sono le 2 stime di Gauss per $\pi(x)$ e $\pi(3/2 x)$.
Così come sono scritte non servono a nulla, ma mi servo della Relazione 1 allargata dalla Relazione 2.
Se dimostro che
$1,25 \frac{x}{log(x)}+1<\frac{3/2 x}{log(3/2 x)}$ sto apposto perché dimostro che il limite superiore di $\pi(x)$ ($+1$ che sarebbe il "primo" che aggiungo) è minore del limite inferiore di $pi(3/2 x)$ vuol dire che c'è sicuramente un primo tra $x$ e $3/2 x$.
In altre parole (sbagliate ma servono per dare l'idea) se
$\text{minimo} \pi(3/2 x) - \text{massimo}\pi(x) >1$
sto apposto.

Allora, vado con ordine.
1.
Ho $\frac{x}{log(x)}$ e $\frac{3/2 x}{log(3/2 x)}= 3/2 \frac{x}{log(3/2 x)}$.

2
Voglio dimostrare che
$1,25 \frac{x}{log(x)}+1 <3/2 \frac{x}{log(3/2 x)}$.
Così com'è non mi piace per nulla, ma ora rimedio.

3.
Il risultato 6 mi dice che nei due membri ci sono funzioni sempre positive e sempre crescenti per $x\ge 1250$ quindi non ci danno nessun problema.
Ora per il Risultato 3 ho che
$log(x)>\frac{log(x)}{log(3,2)}+1$
quindi sostituisco al denominatore del primo membro ottenendo un valore complessivamente maggiore (perché faccio diminuire il denominatore proprio come ho detto nel Risultato 6).
$1,25 \frac{x}{log(x)}< 1,25 \frac{x}{\frac{log(x)}{log(3,2)}+1}= 1,25 \frac{x log(3,2)}{log(x)+log(3,2)}= 1,25 \frac{x log(3,2)}{log(3,2 x)}$
Analogamente faccio aumentare il denominatore della funzione al secondo membro ottenendo un valore complessivamente minore, in questo caso so che
$log(3/2 x) < log(3,2 x)$
per $x \ge 1250$ ma anche per meno, però fa lo stesso.
Ottengo
$3/2 \frac{x}{log(3/2 x)}> 3/2 \frac{x}{log(3,2 x)}$.

4.
Per il Risultato 7 basta che dimostro che
$1,25 \frac{x log(3,2)}{log(3,2 x)}+1 < 3/2 \frac{x}{log(3,2 x)}$
poiché così vale, per quanto detto sempre nella Relazione 7
$1,25 \frac{x}{log(x)}+1<1,25 \frac{x log(3,2)}{log(3,2 x)}+1 < 3/2 \frac{x}{log(3,2 x)}<3/2 \frac{x}{log(3/2 x)}$.

5.
Verifichiamo, dunque, tenendo conto di $x>40$ la relazione
$1,25 \frac{x log(3,2)}{log(3,2 x)}+1 < 3/2 \frac{x}{log(3,2 x)}$
ovvero
$3/2 \frac{x}{log(3,2 x)}-1,25 \frac{x log(3,2)}{log(3,2 x)}-1>0$
Facendo qualche calcoluccio otteniamo
$\frac{x}{log(3,2 x)}(3/2 -1,25 log(3,2))-1>0$
Ora, $3/2 - 1,25 log(3,2)=0,04606...$
Lo prendo più piccolo, direttamente $0,04$,
perché ripeto che la funzione esterna è positiva e crescente (Risultato 4).
Abbiamo, dunque
$0,04 \frac{x}{log(3,2 x)} -1>0$
da dimostrare.
La funzione del primo termine, come detto, è positiva e crescente dunque siccome voglio che vale quella cosa per $x\ge 1250$, basta che sostituisco proprio il valore 1250 in modo che se vale per quello vale anche per quelli maggiori dato che è crescente.

6.
Sostituendo $x=1250$ ottengo
$0,04 \cdot \frac{1250}{log(3,2 \cdot 1250)}-1= 5,...>0$

CVD

Osservazione.
Se ho scritto una marea di cavolate, chiedo perdono... almeno ci ho provato anche io ogni tanto!

Tuttavia in caso contrario o in casi intermedi, non posso partecipare ad un eventuale contraddittorio poiché mi aspettano alcune settimane (o mesi) in cui se posso venire al forum sarà solo per brevi(ssimi) periodi (quindi non posso rimettermi a scrivere dimostrazioni daccapo).

PS
Quando ho fatto l'ultima anteprima, ho visto che avete risposto in 10000 e ho scoperto che il risultato era già dimostrato... Però dopo un ora e passa che sto a scrive, lo posto lo stesso quello che ho scritto per vedere se ho spremuto bene le mie meningi.

EDIT (Abbastanza postumo, 10-5-2013)
Nei risultati 5. e 7. ci sono degli errori che devo scovare e correggere: ringrazio fry per il suggerimento.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... 792#p21792

[Stellinelm]

"Martino":Si sa già che per ogni fissato \( k > 0 \), e per ogni \( n \) abbastanza grande, tra \( n \) e \( kn \) ci sono primi, si veda qui.

"Delirium":Probabilmente poca/nessuna. Quello che interessa, di norma, è il comportamento generale... che poi si parta da \(25\) o da \(10000\) credo sia poco rilevante (si sta infatti escludendo un insieme finito di naturali).

Avete ragione , d'altronde anche partendo da un dato $n$ , si può sempre dimostrare tramite la verifica empirica che vale anche per i naturali $
Un doveroso e piacevole grazie ad entrambi
(anche per la sopportazione )

[Stellinelm]

"Zero87":
PS
Quando ho fatto l'ultima anteprima, ho visto che avete risposto in 10000 e ho scoperto che il risultato era già dimostrato... Però dopo un ora e passa che sto a scrive, lo posto lo stesso quello che ho scritto per vedere se ho spremuto bene le mie meningi.

Sei grande 007
Pensa che io ho tralasciato di lavorare sui lemmi atti a cercare di tappare gli errori trovati da Martino nell'altra dimostrazione,visto che strada facendo mi sono accorta di questa dimostrazione , che per paura di ri-sbagliare ho proposto sotto forma di congettura
Ma perchè mi sono innamorata della TdN? Ingrata!

p.s. : purtroppo non sono in grado di pronunciarmi sulla tua procedura dimostrativa

[Zero87]

"Stellinelm":Sei grande 007 [...] purtroppo non sono in grado di pronunciarmi sulla tua procedura dimostrativa

Secondo me è giusta, ma non so se lo è, la lascio solo per vedere se ho spremuto bene le meningi. Piuttosto, so perché theras mi chiama James Bond, ma devo ancora capire perché anche tu mi chiami 007...

[Stellinelm]

"Zero87":[quote="Stellinelm"]Sei grande 007 [...] purtroppo non sono in grado di pronunciarmi sulla tua procedura dimostrativa

Secondo me è giusta, ma non so se lo è, la lascio solo per vedere se ho spremuto bene le meningi. Piuttosto, so perché theras mi chiama James Bond, ma devo ancora capire perché anche tu mi chiami 007... [/quote]
Forse è per lo stesso motivo
Zero87 lo trovo assonante a 007 e 007 è James Bond
(mi sa che lo sapevi già )

[ot]Mancherai per un lungo periodo o cmq ti collegherai almeno per un minuto al giorno ? [/ot]