Teoria della misura (SISSA 2012)

[Vincent46]

Sia $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione di funzioni misurabili su un insieme $A \subset \mathbb{R}$ di misura finita. Allora

$$\lim_{n \to \infty} \int_{A} \frac{|f_n(x)|}{1+|f_n(x)|} = 0 $$

se e solo se $f_n(x) \to 0$ in misura. Mostrare con un esempio che l'ipotesi di finitezza della misura di $A$ non può essere rimossa.

[coffee2]

Consideriamo $A=\mathbb R$, $f_n(x):=\frac{n}{x^2+n^2}$ per ogni $n\geq 1,x\in\mathbb R$. Abbiamo $f_n\to 0$ in misura (anzi uniformemente) ma \[ \frac{\pi}{\sqrt{1+1/n}}=\int_{\mathbb R}\frac{n}{x^2+n^2+n}dx=\int_{\mathbb R}\frac{f_n(x)}{1+f_n(x)}dx\leq \int_{\mathbb R}f_n(x)dx = \pi \]

[Sk_Anonymous]

Vediamo...

\( ( \Longrightarrow ) \): posto \(g_n (x) := |f_n (x) |/(1 + |f_n(x)|)\) (non riscrivo il modulo tutte le volte, tanto tutte le \(g_n\) sono positive), per la disuguaglianza di Čebyšëv abbiamo, per ogni \(\epsilon > 0 \) fissato, \[\mu ( \{ x \in A \, : \, g_n (x) > \epsilon \} ) \le \frac{1}{\epsilon} \int_{ \{x \in A \, : \, g_n (x) > \epsilon\}} g_n (x) \, d \mu \le \frac{1}{\epsilon} \int_A g_n (x) \, d \mu \] e per \(n \to \infty\), usando l'ipotesi, abbiamo che \(g_n \to 0 \) in misura. Questo non è però sufficiente. Tuttavia si ha che \[g_n (x) > \epsilon \Longleftrightarrow |f_n (x) | > \epsilon / (1 - \epsilon) \]e quindi \[\mu ( \{ x \in A \, : \, g_n (x) > \epsilon \}) = \mu( \{ x \in A \, : \, |f_n (x) | > \epsilon / (1 - \epsilon) \}); \]siccome ora la mappa definita da \( \epsilon \mapsto \epsilon/(1 - \epsilon) \) è una biiezione tra \( [0,1)\) e \(\mathbb{R}^+\), è rispettata la definizione di convergenza in misura anche per la \(f_n\): per ogni \(\delta >0 \) si ha \[\lim_n \mu( \{ x \in A \, : \, |f_n(x)| > \delta \}) = 0.\]
\( (\Longleftarrow ) \): fissato \( \epsilon >0 \), per ogni \(\delta > 0 \) esisterà \(N(\epsilon,\delta) \in \mathbb{N}\) tale che \[\mu ( \{x \in A \, : \, |f_n (x)| > \epsilon \} ) < \delta \] per ogni \(n \ge N(\epsilon, \delta)\). Osservo poi che \[A = A^{+} _{n,\epsilon} \cup A^{-} _{n, \epsilon} = \{ x \in A \, : \, |f_n (x)| > \epsilon \} \cup \{ x \in A \, : \, 0\le|f_n (x)| \le \epsilon \}.\] Abbiamo quindi \[ \begin{split} \int_A \frac{|f_n |}{1 + |f_n|}\, d \mu & \le \int_{A^{+} _{n,\epsilon} } \frac{|f_n |}{1 + |f_n|}\, d \mu + \int_{A^{-} _{n,\epsilon} } \frac{|f_n |}{1 + |f_n|}\, d \mu \\ & \le \mu ( A^{+} _{n,\epsilon} ) + \epsilon \int_A \frac{1}{1 + |f_n|} \, d \mu \\ & \le \delta + \epsilon \cdot \mu (A) \end{split} \]per \(n \ge N(\epsilon, \delta)\). Il risultato segue dall'arbitrarietà di \(\epsilon\) e di \(\delta\).

Ho usato in questi ultimi passaggi \( |f_n|/(1+|f_n|) \le 1\), \(1/(1+|f_n|) \le 1\) e \(\mu(A) < \infty\).

[Vincent46]

Mi sembrano corretti. Bravi!