[Teoria dei numeri] Numeri perfetti pari

[dan952]

Il numero $n \in \mathbb{N}$ si dice perfetto se $\sigma(n) = 2n$, cioè se $n$ è uguale
alla somma dei suoi divisori propri. Dimostrare che se $n$ è un numero perfetto pari allora
esiste un numero primo $p$ tale che $M_p = 2
^p − 1$ è primo ed inoltre $n = 2
^{p−1}(2
^p − 1)$

Osservazione. Vale anche il viceversa ma è banale.

[axpgn]

Non so se ho capito bene la domanda ...

Comunque ...

Supponiamo di avere un numero perfetto pari $n=2^aq$, dove $q$ è il prodotto di tutti i fattori primi dispari di $n$.
Inoltre poniamo che sia $s$ la somma di tutti i divisori di $q$ (incluso $q$) e sia $d$ la somma dei divisori propri di $q$ e quindi $s=q+d$.
La somma dei divisori di $2^a$ è $(2^(a+1)-1)/(2-1)=2^(a+1)-1$ e la somma dei divisori di $n$ è $(2^(a+1)-1)*s$.
Questa somma in un numero perfetto è uguale al doppio del numero cioè $2n=2(2^aq)=2^(a+1)q=(2^(a+1)-1)*s=(2^(a+1)-1)*(q+d)$
Semplificando $2^(a+1)-1=q/d$
Questo significa che $d$ è un divisore proprio di $q$ ma, come detto prima, $d$ è anche la somma dei divisori propri di $q$.
Ne consegue che $d$ è l'unico divisore proprio di $q$, ma allora $d$ può valere solamente $1$ ed in definitiva $q$ è primo.
Ovvero $2^(a+1)-1$ è primo quindi $n=2^aq=2^a(2^(a+1)-1)$ da cui ponendo $a+1=p$ otteniamo $n=2^(p-1)(2^p-1)$.

Cordialmente, Alex

[dan952]

Manca un ultimo "banale" passaggio

Dimostrare che $a+1$ è necessariamente primo...

[axpgn]

Sì, lo so ma quello si poteva fare a priori ... quindi lo davo per scontato ...

Se $p$ è composito allora $2^p-1$ non è primo.

Dimostrazione:

Se $p$ è pari e composito allora $p=2m$ da cui $2^p-1=(2^m)^2-1=(2^m-1)(2^m+1)$

Se $p$ è dispari e composito allora $p=rs$ da cui $2^p-1=(2^r)^s-1=(2^r-1)[(2^r)^(s-1)+(2^r)^(s-2)+...+2^r+1]$

Ok?

Cordialmente, Alex

[dan952]

Ook