Teorema di rimozione della singolarità
Da Gilardi –Analisi 3
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Teorema di rimozione singolarità
Siano $Omega sube CC$ un aperto, $z_0 $ un punto di $ Omega $ e $ f $ una funzione olomorfa in $Omega - (z_0) $ . Se esiste $R > 0 $ tale che $f$ è limitata in $B_R(z_0) - (z_0) $ , allora la singolarità isolata $z_0$ è eliminabile. [ $B_R(z_0) $ è il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$].
Osservazione – Le ipotesi del Teorema sono soddisfatte tutte le volte che $f $ verifica le condizioni intermedie fra la limitatezza e l’analiticità .In particolare la singolarità è eliminabile se $f(z) $ ha limite finito per $z rarr z_0$. Allora il calcolo del limite permette di classificare le singolarità :
· eliminabile $ rarr $ limite finito
· polo $ rarr $ limite infinito
· essenziale $ rarr $ limite non esiste.
Un quote
Il mio dubbio è : quali sono le funzioni intermedie tra limitatezza e analiticità ?? Ad esempio ??
Grazie a chi vorrà chiarirmi il punto.
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Teorema di rimozione singolarità
Siano $Omega sube CC$ un aperto, $z_0 $ un punto di $ Omega $ e $ f $ una funzione olomorfa in $Omega - (z_0) $ . Se esiste $R > 0 $ tale che $f$ è limitata in $B_R(z_0) - (z_0) $ , allora la singolarità isolata $z_0$ è eliminabile. [ $B_R(z_0) $ è il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$].
Osservazione – Le ipotesi del Teorema sono soddisfatte tutte le volte che $f $ verifica le condizioni intermedie fra la limitatezza e l’analiticità .In particolare la singolarità è eliminabile se $f(z) $ ha limite finito per $z rarr z_0$. Allora il calcolo del limite permette di classificare le singolarità :
· eliminabile $ rarr $ limite finito
· polo $ rarr $ limite infinito
· essenziale $ rarr $ limite non esiste.
Un quote
Il mio dubbio è : quali sono le funzioni intermedie tra limitatezza e analiticità ?? Ad esempio ??
Grazie a chi vorrà chiarirmi il punto.
Risposte
Temo di non aver capito bene la domanda.
In generale, nella situazione da te descritta hai, intanto, due possibilità:
1) $f$ è limitata in un intorno di $z_0$;
2) $f$ non è limitata in un intorno di $z_0$.
Nel primo caso la singolarità è eliminabile, dunque la funzione, previa opportuna definizione in $z_0$, è olomorfa in tutto $\Omega$.
Nel secondo caso hai due possibilità:
2a) esistono $a_1, \ldots, a_n\in\CC$ con $n\in\NN^+$ e $a_n\ne 0$ tali che la funzione
\[ g(z) := f(z) - \sum_{j=1}^n \frac{a_j}{(z-z_0)^j} \]
ha una singolarità eliminabile in $z_0$ (in questo caso $z_0$ è detto polo di ordine $n$);
2b) se $R>0$ e $B_R(z_0) \subset\Omega$, allora $f(B_R(z_0)\setminus\{z_0\})$ è denso in $\CC$ (in questo caso la singolarità è essenziale).
Non ci sono altri casi possibili; non esistono funzioni $f$ olomorfe in $\Omega\setminus\{z_0\}$ che siano limitate in un intorno di $z_0$ ma tali per cui non esista il $\lim_{z\to z_0} f(z)$.
In generale, nella situazione da te descritta hai, intanto, due possibilità:
1) $f$ è limitata in un intorno di $z_0$;
2) $f$ non è limitata in un intorno di $z_0$.
Nel primo caso la singolarità è eliminabile, dunque la funzione, previa opportuna definizione in $z_0$, è olomorfa in tutto $\Omega$.
Nel secondo caso hai due possibilità:
2a) esistono $a_1, \ldots, a_n\in\CC$ con $n\in\NN^+$ e $a_n\ne 0$ tali che la funzione
\[ g(z) := f(z) - \sum_{j=1}^n \frac{a_j}{(z-z_0)^j} \]
ha una singolarità eliminabile in $z_0$ (in questo caso $z_0$ è detto polo di ordine $n$);
2b) se $R>0$ e $B_R(z_0) \subset\Omega$, allora $f(B_R(z_0)\setminus\{z_0\})$ è denso in $\CC$ (in questo caso la singolarità è essenziale).
Non ci sono altri casi possibili; non esistono funzioni $f$ olomorfe in $\Omega\setminus\{z_0\}$ che siano limitate in un intorno di $z_0$ ma tali per cui non esista il $\lim_{z\to z_0} f(z)$.
Avevo scritto il testo di Gilardi in modo troppo esteso così da rendere non chiara la mia domanda, probabilmente banale.
Riscrivo limitandomi allo stretto necessario
.
Teorema di rimozione singolarità
Siano $Omega sube CC$ un aperto, $z_0 $ un punto di $ Omega $ e $ f $ una funzione olomorfa in $Omega - (z_0) $ . Se esiste $R > 0 $ tale che $f$ è limitata in $B_R(z_0) - (z_0) $ , allora la singolarità isolata $z_0$ è eliminabile. [ $B_R(z_0) $ è il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$].
Osservazione – Le ipotesi del Teorema sono soddisfatte tutte le volte che $f $ verifica le condizioni intermedie fra la limitatezza e l’analiticità .
La mia domanda è : quali sono le funzioni che verificano condizioni intermedie tra la limitatezza e l'analiticità ?
Quali esempi di funzioni " intermedie " si possono dare e come si costruiscono ?
La tua spiegazione mi è chiara ; il punto 2b) non è altro che il Grande Teorema di Picard per il quale l'immagine di ogni intorno di una singolarità essenziale è l'intero piano complesso ( al più privato di un punto), corretto ?
Riscrivo limitandomi allo stretto necessario
.Teorema di rimozione singolarità
Siano $Omega sube CC$ un aperto, $z_0 $ un punto di $ Omega $ e $ f $ una funzione olomorfa in $Omega - (z_0) $ . Se esiste $R > 0 $ tale che $f$ è limitata in $B_R(z_0) - (z_0) $ , allora la singolarità isolata $z_0$ è eliminabile. [ $B_R(z_0) $ è il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$].
Osservazione – Le ipotesi del Teorema sono soddisfatte tutte le volte che $f $ verifica le condizioni intermedie fra la limitatezza e l’analiticità .
La mia domanda è : quali sono le funzioni che verificano condizioni intermedie tra la limitatezza e l'analiticità ?
Quali esempi di funzioni " intermedie " si possono dare e come si costruiscono ?
La tua spiegazione mi è chiara ; il punto 2b) non è altro che il Grande Teorema di Picard per il quale l'immagine di ogni intorno di una singolarità essenziale è l'intero piano complesso ( al più privato di un punto), corretto ?
Confesso che non mi è completamente chiaro cosa intenda dire Gilardi in quel punto.
Immagino voglia dire qualcosa di questo tipo: se esiste $\lim_{z\to z_0} f(z)$ allora la singolarità è eliminabile.
Questa può essere vista come una condizione intermedia fra la limitatezza e l'analiticità; praticamente in questo caso si sta dicendo che se $f$ può essere estesa con continuità in $z_0$, allora l'estensione è automaticamente analitica.
Riguardo a 2b), questa è una condizione più debole rispetto a quella che compare nel grande teorema di Picard (si chiede solo la densità dell'immagine), ma è tuttavia sufficiente per caratterizzare le singolarità essenziali.
Immagino voglia dire qualcosa di questo tipo: se esiste $\lim_{z\to z_0} f(z)$ allora la singolarità è eliminabile.
Questa può essere vista come una condizione intermedia fra la limitatezza e l'analiticità; praticamente in questo caso si sta dicendo che se $f$ può essere estesa con continuità in $z_0$, allora l'estensione è automaticamente analitica.
Riguardo a 2b), questa è una condizione più debole rispetto a quella che compare nel grande teorema di Picard (si chiede solo la densità dell'immagine), ma è tuttavia sufficiente per caratterizzare le singolarità essenziali.
Vorrei aggiungere una piccola chiusa riguardo Gilardi. E' un autore che leggo spesso e volentieri: ha una caratteristica vena colloquiale che spesso è utile a veicolare molte informazioni aggiuntive al di là del solito schema teorema-dimostrazione. Spesso, ma non sempre. A volte, questa sua parlantina sciolta confonde e basta. Mi pare che sia il caso di questo post.
Personalmente, di fronte ad un autore del genere cerco di evitare di dare troppa retta alle chiacchiere informali, quando queste sembrano trarre in inganno. Gilardi si sforza di trasmettere idee e intuizioni ma purtroppo la matematica non si può proprio "trasmettere", le idee e le intuizioni devono formarsi da sole nella mente del lettore. Può succedere che suggerire troppo esplicitamente come ragionare finisca con l'essere controproducente.
Personalmente, di fronte ad un autore del genere cerco di evitare di dare troppa retta alle chiacchiere informali, quando queste sembrano trarre in inganno. Gilardi si sforza di trasmettere idee e intuizioni ma purtroppo la matematica non si può proprio "trasmettere", le idee e le intuizioni devono formarsi da sole nella mente del lettore. Può succedere che suggerire troppo esplicitamente come ragionare finisca con l'essere controproducente.
Apprezzo in generale le spiegazioni “allargate” di Gilardi anche se a volte, per voler mettere troppa carne al fuoco finiscono per confondere più che chiarire come nel caso specifico.
Ritengo comunque che un professore-didatticamente valido- debba fornire ai suoi studenti spiegazioni e chiarimenti che vanno al di là di una elencazione di enunciati di teoremi, relative dimostrazioni e (qualche) esempio.
Se questa abitudine fosse più diffusa – già a partire dalle medie inferiori – forse avremmo meno studenti “sordi “ alla matematica e mal disposti verso di essa.
Naturalmente bisogna lasciare spazio all’approfondimento individuale, ma questo non credo sia un problema vista la vastità e la profondità della materia…..
Qui di seguito riporto due “elucubrazioni” di Gilardi, a mio parere assai valide.
*Argomento :Analiticità delle funzioni olomorfe
Questo risultato segna una notevole differenza rispetto alla teoria delle funzioni di variabile reale : esistono infatti funzioni derivabili in $RR$ una volta e non due ed esistono funzioni di classe $C^(oo) $ non analitiche.
In campo complesso invece l’esistenza della derivata in tutti i punti garantisce automaticamente l’esistenza di tutte le derivate successive e la sviluppabilità in serie di potenze vicino a ogni punto del dominio della funzione considerata.
*Argomento : Primitive di una funzione di variabile complessa –Olomorfia-Continuità
Se $f $ è una funzione continua in un intervallo della retta reale, allora $f $ ha senz’altro primitive , grazie al Primo teorema fondamentale del calcolo, ma non è detto che $f $ sia derivabile.Anzi siccome esistono funzioni continue in tutti i punti e non derivabili in alcuno , una funzione può avere primitive e contemporaneamente non essere derivabile in alcun punto.
Nel caso complesso la situazione è completamente rovesciata : se esiste la primitiva allora esiste anche la derivata ; una funzione può essere olomorfa senza che esistano sue primitive; una funzione è olomorfa se e solo se essa ha primitive locali.
Ritengo comunque che un professore-didatticamente valido- debba fornire ai suoi studenti spiegazioni e chiarimenti che vanno al di là di una elencazione di enunciati di teoremi, relative dimostrazioni e (qualche) esempio.
Se questa abitudine fosse più diffusa – già a partire dalle medie inferiori – forse avremmo meno studenti “sordi “ alla matematica e mal disposti verso di essa.
Naturalmente bisogna lasciare spazio all’approfondimento individuale, ma questo non credo sia un problema vista la vastità e la profondità della materia…..
Qui di seguito riporto due “elucubrazioni” di Gilardi, a mio parere assai valide.
*Argomento :Analiticità delle funzioni olomorfe
Questo risultato segna una notevole differenza rispetto alla teoria delle funzioni di variabile reale : esistono infatti funzioni derivabili in $RR$ una volta e non due ed esistono funzioni di classe $C^(oo) $ non analitiche.
In campo complesso invece l’esistenza della derivata in tutti i punti garantisce automaticamente l’esistenza di tutte le derivate successive e la sviluppabilità in serie di potenze vicino a ogni punto del dominio della funzione considerata.
*Argomento : Primitive di una funzione di variabile complessa –Olomorfia-Continuità
Se $f $ è una funzione continua in un intervallo della retta reale, allora $f $ ha senz’altro primitive , grazie al Primo teorema fondamentale del calcolo, ma non è detto che $f $ sia derivabile.Anzi siccome esistono funzioni continue in tutti i punti e non derivabili in alcuno , una funzione può avere primitive e contemporaneamente non essere derivabile in alcun punto.
Nel caso complesso la situazione è completamente rovesciata : se esiste la primitiva allora esiste anche la derivata ; una funzione può essere olomorfa senza che esistano sue primitive; una funzione è olomorfa se e solo se essa ha primitive locali.
Ovvio che sottoscrivo quanto detto da Camillo.
I genietti in erba tanto si arrangiano comunque. E le aule universitarie sono giustamente piene di nongenietti.
Ma, poi, secondo me due chiacchiere in più fanno bene anche ai genietti.
Per trasparenza: ho subito un imprinting fatto di teorema enunciato dimostrazione definizione lemma enunciato... Mi è costato fatica liberarmene. Quindi ho un forte pregiudizio.
I genietti in erba tanto si arrangiano comunque. E le aule universitarie sono giustamente piene di nongenietti.
Ma, poi, secondo me due chiacchiere in più fanno bene anche ai genietti.
Per trasparenza: ho subito un imprinting fatto di teorema enunciato dimostrazione definizione lemma enunciato... Mi è costato fatica liberarmene. Quindi ho un forte pregiudizio.
Concordo anch'io con la visione di Camillo, e aggiungo anche un'altra cosa: spesso i docenti (anche quelli bravi) non riescono a portare esempi per "analogia" a determinati argomenti (cosa che dovrebbe essere fatta, principalmente, durante gli studi nella scuola superiore). Questo non solo contribuisce a rendere la matematica, in quel periodo di studio, come una semplice accozzaglia di formule e teoremi, ma tende a spingere chi la studia ad approcciarla "settorialmente", affrontando ogni singolo argomento come se fosse qualcosa a sé stante e slegato da tutto il resto. E questo lo si verifica poi all'Università, dove gli studenti magari sanno calcolare le derivate e gli integrali, ma non sanno risolvere una equazione di secondo grado...
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