Tentativo di dimostrare la congettura di Goldbach
Salve a tutti sono Thinker dalla Calabria e ho 51 anni al momento in cui scrivo. Appurato in cosa consiste la congettura di Goldbach ho cercato di dimostrarla a me stesso, ma non essendo sicuro del mio ragionamento ecco che lo condivido qui con voi: sicuramente gli illustri matematici del forum sapranno dirmi. Premetto che non sono né un matematico né un fisico, per cui se dovessi aver ragionato male apprezzate almeno la volontà di partecipare al forum. 
Partiamo da due estratti della versione italiana di Wikipedia, alla voce "Numeri pari e dispari "
"Un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari [...]
"La congettura di Goldbach asserisce che qualsiasi numero pari può essere rappresentato dalla somma di due numeri primi " [...]
Quindi qualsiasi numero dispari finirà con un numero dispari.
Un numero primo è un numero che è divisibile solo per se stesso e per 1. Ciò significa che i numeri primi (ad eccezione di 2) sono tutti dispari, se fossero anche pari sarebbero divisibili per 2. Inoltre ciò significa che i numeri primi terminano tutti in 1,3,5,7,9 è quindi e sufficiente sottrarre loro 1 per ottenere il numero pari immediatamente precedente (in quanto i numeri naturali N si susseguono nell'ordine "uno pari, uno dispari, uno pari, uno dispari" e così via .
In altre parole un numero primo è formato da un numero pari + 1 (+ una unità). Cioè preso un numero primo, basta sottrargli 1 per ottenere un numero pari. Esempi:
1339 e' scomponibile in 1338 + 1;
1.627.189 e' scomponibile in 1.627.188 +1;
100.674.263 e' scomponibile in 100.674.262 + 1.
Ci chiediamo se la somma di due numeri primi dà sempre come risultato un numero pari. La risposta mi pare sì, perché la somma di due numeri primi può essere vista come la somma di due numeri pari + 1 + 1, dove gli 1 provengono dalla scomposizione dei due numeri primi che vengono sommati.
Ora se sommiamo due numeri pari e vi aggiungiamo 2 (1 + 1), otterremo un numero pari. Gli esempi che seguono mostrano come la somma di due numeri primi dà sempre un numero pari, il perché l'ho spiegato sopra. Esempi:
353 + 727 = (352 + 1) + ( 726 + 1) =(352 + 726) + (1+1) = 1078 + 2 =1080
3457 + 7561 = (3456 + 1) + ( 7560 + 1) = (3456 + 7560) + ( 1+1) = 11.016 + 2 = 11.018
327.456.623 + 200.927.369 = (327.456.622 + 1) + ( 200.927.368 + 1) = (327.456.622 + 200.927.368) + ( 1+1) = 528.383.990 + 2 =528.383.992
Quindi la somma di due numeri primi dà sempre un numero pari. La risposta alla congettura di Goldbach sarebbe SI, qualsiasi numero pari è la somma di due numeri primi, ossia di due numeri pari + 1 + 1, il che dà sempre un numero pari.
Spero di aver postato questo topic nella sezione giusta!
Partiamo da due estratti della versione italiana di Wikipedia, alla voce "Numeri pari e dispari "
"Un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari [...]
"La congettura di Goldbach asserisce che qualsiasi numero pari può essere rappresentato dalla somma di due numeri primi " [...]
Quindi qualsiasi numero dispari finirà con un numero dispari.
Un numero primo è un numero che è divisibile solo per se stesso e per 1. Ciò significa che i numeri primi (ad eccezione di 2) sono tutti dispari, se fossero anche pari sarebbero divisibili per 2. Inoltre ciò significa che i numeri primi terminano tutti in 1,3,5,7,9 è quindi e sufficiente sottrarre loro 1 per ottenere il numero pari immediatamente precedente (in quanto i numeri naturali N si susseguono nell'ordine "uno pari, uno dispari, uno pari, uno dispari" e così via .
In altre parole un numero primo è formato da un numero pari + 1 (+ una unità). Cioè preso un numero primo, basta sottrargli 1 per ottenere un numero pari. Esempi:
1339 e' scomponibile in 1338 + 1;
1.627.189 e' scomponibile in 1.627.188 +1;
100.674.263 e' scomponibile in 100.674.262 + 1.
Ci chiediamo se la somma di due numeri primi dà sempre come risultato un numero pari. La risposta mi pare sì, perché la somma di due numeri primi può essere vista come la somma di due numeri pari + 1 + 1, dove gli 1 provengono dalla scomposizione dei due numeri primi che vengono sommati.
Ora se sommiamo due numeri pari e vi aggiungiamo 2 (1 + 1), otterremo un numero pari. Gli esempi che seguono mostrano come la somma di due numeri primi dà sempre un numero pari, il perché l'ho spiegato sopra. Esempi:
353 + 727 = (352 + 1) + ( 726 + 1) =(352 + 726) + (1+1) = 1078 + 2 =1080
3457 + 7561 = (3456 + 1) + ( 7560 + 1) = (3456 + 7560) + ( 1+1) = 11.016 + 2 = 11.018
327.456.623 + 200.927.369 = (327.456.622 + 1) + ( 200.927.368 + 1) = (327.456.622 + 200.927.368) + ( 1+1) = 528.383.990 + 2 =528.383.992
Quindi la somma di due numeri primi dà sempre un numero pari. La risposta alla congettura di Goldbach sarebbe SI, qualsiasi numero pari è la somma di due numeri primi, ossia di due numeri pari + 1 + 1, il che dà sempre un numero pari.
Spero di aver postato questo topic nella sezione giusta!
Risposte
Siate comprensivi.
"Quinzio":
Siate comprensivi.
Ma almeno spiegatemi bene dove il ragionamento è sbagliato
Hai dimostrato il "contrario" della congettura di Goldbach.
D'accordo. Ho dimostrato questo teorema, assioma non so manco come chiamarlo:
"La somma di due qualsiasi numeri primi A e B dà sempre un numero pari C maggiore di A e di B."
Se esiste un numero pari X che NON è la somma di due numeri primi, non vado contro quanto sopra dimostrato? Comunque c'ho provato...
"La somma di due qualsiasi numeri primi A e B dà sempre un numero pari C maggiore di A e di B."
Se esiste un numero pari X che NON è la somma di due numeri primi, non vado contro quanto sopra dimostrato? Comunque c'ho provato...
"Thinker":
D'accordo. Ho dimostrato questo teorema, assioma non so manco come chiamarlo:
"La somma di due qualsiasi numeri primi A e B dà sempre un numero pari C maggiore di A e di B."
Se esiste un numero pari X che NON è la somma di due numeri primi, non vado contro quanto sopra dimostrato? Comunque c'ho provato...
Apprezzo sempre l'entusiasmo e la passione per la matematica.
Fatta questa debita premessa, non saprei da dove partire... quindi riprendo giusto l'ultimo commento (quotato sopra).
Siano $A:=2$ e $B:=3$, constatiamo che entrambi sono numeri primi, ne segue però che $A+B=2+3=5$... quindi avremmo $C=5$ che è un dispari (giacché banalmente $\frac{A+B}{2} \notin \mathbb{Z}$ ogni qualvolta $A$ e $B$ sono primi distinti e uno dei due addendi è il $2$).
Soprassediamo. Per chiarire l'errore logico (in senso stretto!) della successiva affermazione, facciamo un esempio semplice: diciamo che in un gremito stadio di calcio tutti i presenti siano nati di lunedì (supponiamo sia così e che i tifosi presenti siano addirittura decine di migliaia) e che siano tutti dei classe 2002; come facciamo a essere sicuri (in senso matematico, non tiriamo fuori il Birthday Paradox
) che ce ne sia almeno uno nato il secondo lunedì di aprile 2002?
Ciao Thinker, provo a dirlo nel modo più sintetico possibile.
La congettura di Goldbach dice che
(1) ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.
Quello che hai dimostrato tu, invece, è che
(2) ogni somma di due numeri primi dispari è un numero pari.
Come vedi (1) e (2) sono frasi molto diverse tra loro. La prima è una congettura tutt'oggi aperta, la seconda invece è una cosa ovvia.
La congettura di Goldbach dice che
(1) ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.
Quello che hai dimostrato tu, invece, è che
(2) ogni somma di due numeri primi dispari è un numero pari.
Come vedi (1) e (2) sono frasi molto diverse tra loro. La prima è una congettura tutt'oggi aperta, la seconda invece è una cosa ovvia.
Ringrazio marcokrt e Martino: ho dimostrato che la somma di due numeri primi dà sempre un numero pari ma ciò non dimostra che non ci sia un numero pari che non è la somma di due numeri primi. Le due cose non sono "vicendevoli" . Ho capito molto bene...apprezzate almeno il fatto che ci ho provato 
La conversa di un'implicazione vera non è necessariamente vera.
Aggiungo un esempio non matematico a quelli già fatti:
"Tutti i corvi sono uccelli di colore nero" è un'implicazione vera (grosso modo )
"Tutti gli uccelli di colore nero sono corvi" è la conversa di quella precedente ed è falsa.
Cordialmente, Alex
Aggiungo un esempio non matematico a quelli già fatti:
"Tutti i corvi sono uccelli di colore nero" è un'implicazione vera (grosso modo
)"Tutti gli uccelli di colore nero sono corvi" è la conversa di quella precedente ed è falsa.
Cordialmente, Alex
"Thinker":
[quote="Quinzio"]Siate comprensivi.
Ma almeno spiegatemi bene dove il ragionamento è sbagliato
[/quote]E' quello che mi piacerebbe fare, ma temo che gli esiti siano gli stessi del thread sulla relativita'.
Alex ti ha detto che hai dimostrato il contrario della congettura di Goldbach (CdG).
In effetti e' cosi, ma bisogna chiarire cosa significa "il contrario".
In termini formali il contrario e' "l'implicazione inversa".
Ogni teorema e' un implicazione, puo' essere visto come un'implicazione, cioe':
date le ipotesi $ H$, allora la tesi $T$ e' vera.
Se $H$ allora $T$.
Nella CdG le ipotesi $H$ sono: $\forall 2n > 2$, ovvero sia un numero pari da 4 in su, tutto qui.
e la tesi e' $\exists \pi_1, \exists \pi_2: \pi_1+\pi_2 = 2n$. dove $\pi$ e' un numero primo.
Nella CdG l'implicazione, ridotta all'osso e':
$\forall 2n \implies \exists \pi_1, \exists \pi_2$
Quello che tu hai fatto invece e' di asserire l'implicazione inversa, ovvero
$\forall \pi_1, \forall \pi_2 \implies \exists 2n$.
La dimostrazione del "tuo" teorema e' quantomai semplice:
un numero primo e' sempre dispari e si puo' scrivere come $\pi = 2m +1$,
da cui $\pi_1 +\pi_2 = 2m_1 +1 + 2m_2 +1 = 2(m_1+m_2+1)$ e' pari.
@Quinzio
Io quella la chiamo "conversa" e non "inversa" ovvero data l'implicazione $p => q$ allora la sua conversa è $q => p$ mentre la sua inversa è $not p => not q$ (e la contrapositiva è $not q => not p$ che è equivalente all'implicazione originale).
Mi pare ci sia un po' di discordanza sull'argomento almeno in italiano, tu che ne pensi?
Io quella la chiamo "conversa" e non "inversa" ovvero data l'implicazione $p => q$ allora la sua conversa è $q => p$ mentre la sua inversa è $not p => not q$ (e la contrapositiva è $not q => not p$ che è equivalente all'implicazione originale).
Mi pare ci sia un po' di discordanza sull'argomento almeno in italiano, tu che ne pensi?
"axpgn":
@Quinzio
Io quella la chiamo "conversa" e non "inversa" ovvero data l'implicazione $ p => q $ allora la sua conversa è $ q => p $ mentre la sua inversa è $ not p => not q $ (e la contrapositiva è $ not q => not p $ che è equivalente all'implicazione originale).
Mi pare ci sia un po' di discordanza sull'argomento almeno in italiano, tu che ne pensi?
Veramente non solo $ (p => q) = (not q => not p) $
ma anche $ (q => p) = (not p => not q) $.
Basta scambiare le lettere.
C'e' questa pagina Wiki in inglese "Converse"
https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)
che come pagina equivalente in italiano ha
https://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_inversa
Non saprei.
"Quinzio":
Veramente non solo $ (p => q) = (not q => not p) $
ma anche $ (q => p) = (not p => not q) $.
Basta scambiare le lettere.
Sì, lo so.
"Quinzio":
C'e' questa pagina Wiki in inglese "Converse"
https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)
che come pagina equivalente in italiano ha
https://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_inversa
Non saprei.
Appunto.
OK, ho capito il senso della domanda.
Credo che siano tutti termini che vengono dal mondo della filosofia, o sono termini arcaici.
E' questo che volevi dire ?
Credo che siano tutti termini che vengono dal mondo della filosofia, o sono termini arcaici.
E' questo che volevi dire ?
No, no, noto proprio una discordanza.
Tra inglese e italiano ma anche tra diverse fonti nella nostra lingua.
Mi pare chiaro che se diamo lo stesso nome a due cose diverse o due nomi alla stessa cosa diventa difficile comprendersi.
IMHO
Tra inglese e italiano ma anche tra diverse fonti nella nostra lingua.
Mi pare chiaro che se diamo lo stesso nome a due cose diverse o due nomi alla stessa cosa diventa difficile comprendersi.
IMHO
Anzitutto ringrazio Quinzio e axpgn per i loro interventi anche se mi riesce difficile capire i simboli matematici. Il fatto è che mi è sorto un dubbio che mi rode il cervello come un tarlo, ma sicuramente voi matematici del forum avrete la risposta.
Se si legge il post con cui ho aperto questa discussione si noterà che la somma di due numeri primi può essere scritta come la somma di due numeri pari + 1 + 1, ovvero la somma di due numeri pari + 2. Quindi vale la seguente equivalenza:
(1) numero primo + numero primo = numero pari +
numero pari + 2
Ora va da sé che tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2, quindi stante l'equivalenza (1) tutti i numeri pari sono anche la somma di due numeri primi.
Se qualcuno vuole rispondere lo faccia in maniera semplice , con parole povere altrimenti non capisco.
Inoltre, se dovessi aver preso un'altra cantonata, non sgridatemi, voi siete il mio oracolo
Se si legge il post con cui ho aperto questa discussione si noterà che la somma di due numeri primi può essere scritta come la somma di due numeri pari + 1 + 1, ovvero la somma di due numeri pari + 2. Quindi vale la seguente equivalenza:
(1) numero primo + numero primo = numero pari +
numero pari + 2
Ora va da sé che tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2, quindi stante l'equivalenza (1) tutti i numeri pari sono anche la somma di due numeri primi.
Se qualcuno vuole rispondere lo faccia in maniera semplice , con parole povere altrimenti non capisco.
Inoltre, se dovessi aver preso un'altra cantonata, non sgridatemi, voi siete il mio oracolo
"Martino":
Ciao Thinker, provo a dirlo nel modo più sintetico possibile.
La congettura di Goldbach dice che
(1) ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.
Quello che hai dimostrato tu, invece, è che
(2) ogni somma di due numeri primi dispari è un numero pari.
Come vedi (1) e (2) sono frasi molto diverse tra loro. La prima è una congettura tutt'oggi aperta, la seconda invece è una cosa ovvia.
Ti avevo risposto qui, non è chiaro?
"Thinker":
(1) numero primo + numero primo = numero pari +
numero pari + 2
Ora va da sé che tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2, quindi stante l'equivalenza (1) tutti i numeri pari sono anche la somma di due numeri primi.
Ciao, il problema è che hai dimostrato soltanto che la somma di due numeri primi (dispari) è un numero pari, o come preferisci te numero pari + numero pari + 2. E' vero che tutti i numeri pari sono scrivibili come numero pari + numero pari + 2, ma non hai dimostrato che li prendi tutti con i numeri primi.
Facciamo un esempio analogo per capire il problema
Congettura: Tutti i numeri pari maggiori di \(4\) sono scrivibili come somma di due multipli dispari di \(3\).
Non dimostrazione: il tuo ragionamento si applica anche qui.
Siano \(3n \) e \(3m\) due numeri multipli di \(3\) dispari. Siccome abbiamo considerato i multipli di \(3\) dispari allora \(3n = \text{numero pari} +1 \) e \(3m=\text{numero pari} + 1 \). Quindi \(3n+3m=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2\). Tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2 e quindi tutti i numeri pari maggiori di \(4\) sono la somma di due multipli dispari di \(3\).
Ovviamente la congettura sopra è falsa poiché per esempio \(8 \) non è mai la somma di due multipli di \(3\) dispari. Quindi il ragionamento sopra è sbagliato! Ma dov'è il problema? Per scrivere \(8=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \) hai due scelte obbligate per i numeri pari, per esempio \( 8=2+4+2\). Ora sebbene sia vero che \(2=3-1\) quindi ottenibile come un numero multiplo di \(3\) dispari meno \(1\), per quanto tu ti sforzi \(4\) non lo puoi ottenere in questo modo. In modo del tutto simile, con il tuo ragionamento non hai la garanzia che con i numeri primi e sottraendo \(1\) ottieni tutti i numeri pari che ti servono per formare tutti i numeri pari come somma di \( \text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \).
Un altro controesempio alla congettura sopra è \(10\), è vero che \(10=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \), infatti puoi prendere \(10=0+8+2\), oppure \(10=2+6+2\), oppure \(10=4+4+2\). Ma non puoi trovare due numeri multipli di \(3\) dispari che sommati danno \(10\). Questo perché \(3-1=2\) e \(9-1=8\), ma per avere \(10\) come somma di due multipli di \(3\) dispari, dovresti avere anche \(0=\text{multiplo di 3 dispari} - 1\), oppure il \(6\) o il \(4\), cosa non possibile ovviamente.
Spero che questo esempio chiarisca il motivo per cui il tuo ragionamento non funziona.
Ps: Per i moderatori credo che questo thread dovrebbe essere spostato in secondaria II grado
Ringrazio anche 3m0o e Martino per il loro intervento.
Cerco di schiarirmi le idee:
1) Tutti i numeri pari sono una o più diverse somme di due numeri pari + 2, e fin qui non dovrebbero esserci dubbi.
2) Non sono sicuro che tra le varie somme "numero pari + numero pari + 2" che compongono un numero pari ci sia anche la somma "numero pari + numero pari + 2" che sia somma di due numeri primi. Credo di aver capito...
Scusatemi tanto ma non essendo io un matematico su certe cose devo ragionare molto per capirle...
Cerco di schiarirmi le idee:
1) Tutti i numeri pari sono una o più diverse somme di due numeri pari + 2, e fin qui non dovrebbero esserci dubbi.
2) Non sono sicuro che tra le varie somme "numero pari + numero pari + 2" che compongono un numero pari ci sia anche la somma "numero pari + numero pari + 2" che sia somma di due numeri primi. Credo di aver capito...
Scusatemi tanto ma non essendo io un matematico su certe cose devo ragionare molto per capirle...
"Thinker":
Ringrazio anche 3m0o e Martino per il loro intervento.
Cerco di schiarirmi le idee:
1) Tutti i numeri pari sono una o più diverse somme di due numeri pari + 2, e fin qui non dovrebbero esserci dubbi.
2) Non sono sicuro che tra le varie somme "numero pari + numero pari + 2" che compongono un numero pari ci sia anche la somma "numero pari + numero pari + 2" che sia somma di due numeri primi. Credo di aver capito...
Scusatemi tanto ma non essendo io un matematico su certe cose devo ragionare molto per capirle...
1) In realtà anche questa affermazione è falsa negli interi non negativi (in $\mathbb{Z}$ è vera). Controesempio: $0$ è un numero pari e non può essere scritto come $2 + 2 \cdot m$ (proprietà commutativa dell'addizione), dove $m \in \mathbb{N}_0$. Anche ponendo $m:=0$, otterremmo $2 + 0 = 2$ come più piccolo numero pari e ciò non è vero, giacché $0 < 2$ (e $0$ è pari per definizione).
2) L'errore concettuale, insanabile, di tutto il tuo ragionamento è che dimostrando l'asserto che sommando due elementi presi da due sottoinsiemi propri dei numeri dispari si ottenga sempre un pari (tutti i numeri primi diversi da $2$ sono numeri dispari, quindi inutile cavillare su questa generalizzazione), non si verifica mica che non esistano dei numeri pari che non siano la somma di due elementi provenienti dai suddetti insiemi di numeri dispari! In sintesi, potrebbero esserci dei valori pari che attirano una miriade di somme degli elementi dei due suddetti insiemi e dei valori potrebbero restare scoperti... insomma, dei buchi nella tela dei numeri pari a fronte di altri numeri pari in cui vanno a confluire un sacco di combinazioni diverse. La congettura deve essere verificata per ciascun punto a distanza di due unità sulla semiretta dei reali positivi, partendo da $4$, senza eccezioni o salti
P.S.
Il mio consiglio è di iniziare a muoversi nel mondo dei problemi aperti, provando a risolvere problemi meno conosciuti, che sono poco più di semplici esercizi... poi passare a provare a rispondere a qualche domanda posta alla fine di paper di recente pubblicazione. Se si arriva lì, si è già a buon punto... ma magari nel processo passeranno lustri, non si finisce mai di scoprire e imparare!
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