[T] Equazioni differenziali? No, grazie!

[salvozungri]

Ciao a tutti, oggi stavo scendendo di fretta le scale di casa, sono caduto sbattendo violentemente la testa facendomi dimenticare la teoria delle equazioni differenziali, la funzione seno e la funzione coseno. Ho il seguente problema, però per la risoluzione non usate gli oggetti che ho dimenticato!

Siano [tex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\ \ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] due funzioni continue e almeno due volte derivabili in [tex]\mathbb{R}[/tex] che godono delle seguenti proprietà:

a) [tex]f'(x)=g(x)\quad\forall x\in \mathbb{R}[/tex]
b) [tex]g'(x)=-f(x)\quad\forall x\in \mathbb{R}[/tex]
c) [tex]f(0)=0[/tex]
d) [tex]g(0)=1[/tex]

Mostrare che:

1.[tex]f(x)^2+g(x)^2=1\ \ \forall x\in \mathbb{R}[/tex]

Detto [tex]\alpha[/tex] un numero reale positivo tale che [tex]g(x)>0[/tex] in [tex][0, \alpha)[/tex], mostrare che vale la seguente disuguaglianza:

2. [tex]$f(x)\le x \le \frac{f(x)}{g(x)}\quad \forall x\in [0, \alpha)[/tex]

Ovviamente, buon divertimento!!
______________________________
Note: Il problema mi è arrivato via mail, ho due soluzioni, una mia in cui utilizzo le equazioni differenziali, l'altra è la soluzione ufficiale, molto simpatica .

[j18eos]

Anch'io avevo pensato più o meno come Rigel, solo che ho adoperato la variabile complessa!

Poiché si deve studiare il problema di Cauchy seguente [tex]$\begin{cases}f'(x)=g(x)\\g'(x)=-f(x)\\f(0)=0\\g(0)=1\end{cases}$[/tex] si nota agilmente che esso equivale ai seguente due: [tex]$\begin{cases}f''(x)+f(x)=0\\f(0)=0\\f'(0)=1\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases}g''(x)+g(x)=0\\g(0)=1\\g'(0)=0\end{cases}$[/tex].

Euristicamente, supposto che le equazioni ammettano un'unica soluzione locale(*), per le ipotesi si ha che le soluzioni sono funzioni [tex]$C^{\infty}$[/tex] e definite in un intorno dello [tex]$0$[/tex]; è una semplice considerazione poiché le funzioni sono derivabili ad libitum!

Inoltre dovendo studiare la funzione [tex]$[f(x)]^2+[g(x)]^2$[/tex] risulta [tex]$2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0$[/tex] per cui essa è una funzione costante; dai dati iniziali forniti è [tex]$[f(x)]^2+[g(x)]^2=1$[/tex].

Per tali motivi le derivate della [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] sono limitate, quindi sono sviluppabili in serie di Taylor ovvero sono funzioni analitiche.

Da quanto analizzato si devono trovare le soluzioni del tipo [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$[/tex] e [tex]$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}g^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$[/tex], dai dati iniziali si ha che sono [tex]$a_0=0$[/tex] e [tex]$b_1=1$[/tex]; ed in più si ottengono le soluzioni ricercate [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$[/tex] e [tex]$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$[/tex] con semplici calcoli che non riporto!

Dato che Mathematico non si è dimenticato la funzione esponenziale, otteniamo che [tex]$f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$[/tex] e [tex]$g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$[/tex]; è ovvio allora osservare che tali funzioni sono:

1) soluzioni globali del dato problema di Cauchy;

2) funzioni [tex]$2\pi$[/tex]-periodiche;

3) non hanno zeri comuni;

4) [tex]$\forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|;|g(x)|\leq1$[/tex].

Poi mi sono scocciato di pensarci e mi sono fermato così!

§§§

(*) Dato che la teoria delle ODE è keep off...

In attesa di commenti: vi saluto!

EDIT: Corretto una coppia di dimenticanze, un errore grammaticale ed un errore che non avevo notato.

[salvozungri]

Come al solito i miei commentucci ultracattivissimi in rosso.

"j18eos":

Poiché si deve studiare il problema di Cauchy seguente [tex]$\begin{cases}f'(x)=g(x)\\g'(x)=-f(x)\\f(0)=0\\g(0)=1\end{cases}$[/tex] si nota agilmente che esso equivale ai seguente due: [tex]$\begin{cases}f''(x)+f(x)=0\\f(0)=0\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases}g''(x)+g(x)=0\\g(0)=1\end{cases}$[/tex].

(Non vi è equivalenza tra i sistemi che hai citato e il sistema originale , ma con una condizione aggiuntiva ad entrambi risolvi tutto, per capirci, i due sistemi scritti da te hanno infinite soluzioni.)

Euliricamente (Euristicamente?), supposto che le equazioni ammettano un'unica soluzione locale(1), per le ipotesi si ha che le soluzioni sono funzioni [tex]$C^{\infty}$[/tex] e definite in un intorno dello [tex]$0$[/tex]; è una semplice considerazione poiché le funzioni sono derivabili ad libitum! (Yup, infatti mi chiedo come mai nel testo dell'esercizio, si chiede che le funzioni siano [tex]C^2(\mathbb{R})[/tex] )

Inoltre dovendo studiare la funzione [tex]$[f(x)]^2+[g(x)]^2$[/tex] risulta [tex]$2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0$[/tex] per cui essa è una funzione costante; dai dati iniziali forniti è [tex]$[f(x)]^2+[g(x)]^2=1$[/tex] (Yeah!).

Per tali motivi le derivate della [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex] sono limitate, quindi sono sviluppabili in serie di Taylor ovvero sono funzioni analitiche.

Da quanto analizzato si devono trovare le soluzioni del tipo [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$[/tex] e [tex]$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}g^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}$[/tex], dai dati iniziali si ha che sono [tex]$a_0=0$[/tex] e [tex]$b_1=1$[/tex]; ed in più si ottengono le soluzioni ricercate [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$[/tex] e [tex]$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$[/tex] con semplici calcoli che non riporto! (Ok, mi fido )

Dato che Mathematico non si è dimenticato la funzione esponenziale (:lol:), otteniamo che [tex]$f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$[/tex] e [tex]$g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$[/tex] (I'm not sure 'bout this, manca una [tex]i[/tex], sarà sicuramente un typo ); è ovvio allora osservare che tali funzioni sono:

1) soluzioni globali del dato problema di Cauchy;

2) funzioni [tex]$2\pi$[/tex]-periodiche;

3) non hanno zeri comuni;

4) [tex]$\forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|;|g(x)|\leq1$[/tex].

Poi mi sono scocciato di pensarci e mi sono fermato così! (Mi fai morire )

§§§

(1) Dato che la teoria delle ODE è keep off...

In attesa di commenti: vi saluto!

Ti ringrazio per esserti interessato al problema

[Fioravante Patrone1]

"Mathematico":Una richiesta: Mi date un titolo serio per questa discussione? Avevo pensanto a "Una caratterizzazione delle funzioni seno e coseno", siete d'accordo?

No, va benissimo il titolo che hai scelto
post486644.html

[j18eos]

Ero convinto che si dicesse eulirico... si vede che stando in prima fila non ci sentii bene. -_-

Non mi hai dato il tempo di correggere le prime 2 sviste.

Ecco una parte del resto... Essendo \(f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\,g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), notando che in \([0;\alpha),\,g(x)=\dot f(x)\leq1\leq\frac{1}{[g(x)]^2}\) segue dai teoremi del confronto per equazioni differenziali che \[\forall x\in[0;\alpha),\,f(x)\leq x\leq\frac{f(x)}{g(x)}.\]

EDIT TO mathematico Se ci fai caso, la soluzione non è proprio conforme alla tua conoscenze, ma il risultato che ho utilizzato è fisicamente ovvio; basta vedere la derivata prima di un punto materiale e i dati iniziali come la posizione iniziale.