Sulle "condensazioni" di Cauchy e Schlömilch

[Paolo902]

Quasi tutti conoscono - o dovrebbero conoscere! - il seguente criterio di convergenza, che vi propongo di dimostrare (possiedo una mia dimostrazione).

Criterio di convergenza (condensazione di Cauchy). Sia $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione decrescente di numeri reali non negativi. Allora
(i) \[\tag{C}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \text{ converge } \Longleftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} 2^na_{2^n} \text{ converge }.
\]

(ii) Sotto le stesse ipotesi, vale anche la seguente stima:
\[
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^na_{2^n} \le 2\sum_{n=0}^{\infty} a_n.
\]

In realtà, ho scoperto recentemente la seguente generalizzazione (dovuta a Schlömilch):

Criterio di convergenza (condensazione di Schlömilch). Sia $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione decrescente di numeri reali non negativi. Sia inoltre \( (g_k)_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb N\) una successione crescente di interi tali che esiste una costante reale $c >0$ tale che
\[
(g_{k+1}-g_k) \le c (g_k-g_{k-1}), \qquad \forall k \in \mathbb N.
\]
Allora
\[\tag{S}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \text{ converge } \Longleftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} (g_{n+1}-g_{n})a_{g_n} \text{ converge }.
\]

[gugo82]

"Paolo90":In realtà, ho scoperto recentemente la seguente generalizzazione (dovuta a Schlömilch):

Criterio di convergenza (condensazione di Schlömilch). Sia $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ una successione decrescente di numeri reali non negativi. Sia inoltre \( (g_k)_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb N\) una successione crescente di interi tali che esiste una costante reale $c >0$ tale che
\[
(g_{k+1}-g_k) \le c (g_k-g_{k-1}), \qquad \forall k \in \mathbb N.
\]
Allora
\[\tag{S}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \text{ converge } \Longleftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty} (g_{n+1}-g_{n})a_{g_n} \text{ converge }.
\]

Fissato \(g_0=0\) per non incasinare la notazione, si ha:
\[
\begin{split}
s_{g_1-1} &= \underbrace{a_0+a_1+\cdots +a_{g_1 -1}}_{g_1 \text{termini}}\\
&\leq (g_1-g_0)\ a_{g_0}\\
s_{g_2-1} &= s_{g_1}+\underbrace{a_{g_1}+\cdots + a_{g_2-1}}_{g_2-g_1 \text{ termini}}\\
&\leq (g_1 -g_0)\ a_{g_0} + (g_2-g_1)\ a_{g_1}\\
s_{g_3-1} & =s_{g_2} + \underbrace{a_{g_2}+\cdots +a_{g_3-1}}_{g_3-g_2 \text{ termini}}\\
&\leq (g_1-g_0)\ a_{g_0}+ (g_2-g_1)\ a_{g_1} +(g_2-g_1)\ a_{g_2}\\
&\ldots
\end{split}
\]
e perciò:
\[ \tag{1}
s_{g_n-1}\leq \sum_{k=0}^{n-1} (g_{k+1}-g_k)\ a_{g_k}
\]
per ogni \(n\geq 1\).
D'altra parte, ragionando analogamente:
\[
\begin{split}
s_{g_1-1} &= \underbrace{a_0+a_1+\cdots +a_{g_1 -1}}_{g_1 -g_0\text{termini}}\\
&\geq (g_1-g_0)\ a_{g_1}\\
s_{g_2-1} &= s_{g_1}+\underbrace{a_{g_1}+\cdots + a_{g_2-1}}_{g_2-g_1 \text{ termini}}\\
&\geq (g_1-g_0)\ a_{g_1} + (g_2-g_1)\ a_{g_2}\\
s_{g_3-1} & =s_{g_2} + \underbrace{a_{g_2}+\cdots +a_{g_3-1}}_{g_3-g_2 \text{ termini}}\\
&\geq (g_1-g_0)\ a_{g_1}+ (g_2-g_1)\ a_{g_2} +(g_2-g_1)\ a_{g_3}\\
&\ldots
\end{split}
\]
quindi:
\[
\tag{2}
s_{g_n-1} \geq \sum_{k=1}^n (g_k-g_{k-1})\ a_{g_k} \geq \frac{1}{c}\ \sum_{k=1}^n (g_{k+1}-g_k)\ a_{g_k}
\]
per ogni \(n\geq 1\).
La tesi segue da (1) e (2) invocando il criterio del confronto.