Sulla definizione di derivata
La definizione di derivata la conosciamo tutti dall'ultimo anno di scuola superiore:
Questa definizione è classica ed è stata rielaborata in varie salse ed estesa a spazi diversi da [tex]$\mathbb{R}$[/tex] da noti Analisti (ad esempio, da Gâteaux e Fréchet)...
Ebbene, vi domando, cosa succederebbe se pensassimo di definire la derivata in quest'altro modo?
1. Innanzitutto, questa è già una definizione o manca qualcosa per renderla tale?
2. In che relazione sta la nuova definizione con la vecchia?
3. Pensate ai teoremi classici del Calcolo Differenziale (i.e. linearità della derivata, teorema di derivazione della funzione composta, teorema di Fermat, teorema della derivazione della funzione inversa, etc...): vi sembra più facile o più difficile ricavarli?
Insomma, pensateci un po'.
Una funzione [tex]$f:]a,b[\to \mathbb{R}$[/tex] si dice derivabile in un punto [tex]$x_0\in ]a,b[$[/tex] se e solo se esiste finito il:
[tex]$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex],
il valore del quale viene denotato con [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex] e si chiama derivata di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Questa definizione è classica ed è stata rielaborata in varie salse ed estesa a spazi diversi da [tex]$\mathbb{R}$[/tex] da noti Analisti (ad esempio, da Gâteaux e Fréchet)...
Ebbene, vi domando, cosa succederebbe se pensassimo di definire la derivata in quest'altro modo?
Siano [tex]$f$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] come sopra. Diciamo che [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] se esiste una funzione [tex]$\phi(x)$[/tex] (definita almeno in [tex]$]a,b[$[/tex]) continua in [tex]$x_0$[/tex] e tale che:
(D) [tex]$f(x)-f(x_0)=\phi (x)\ (x-x_0)$[/tex];
in tal caso il valore [tex]$\phi(x_0)$[/tex] si chiama derivata di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] e si denota col simbolo [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex].
1. Innanzitutto, questa è già una definizione o manca qualcosa per renderla tale?
2. In che relazione sta la nuova definizione con la vecchia?
3. Pensate ai teoremi classici del Calcolo Differenziale (i.e. linearità della derivata, teorema di derivazione della funzione composta, teorema di Fermat, teorema della derivazione della funzione inversa, etc...): vi sembra più facile o più difficile ricavarli?
Insomma, pensateci un po'.
Risposte
Ci sono incontri che ti cambiano la vita!
Per cominciare richiedi che la [tex]$\phi$[/tex] sia una funzione continua in [tex]$x_0$[/tex], poi risulta essere da ciò: [tex]$\phi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex] quindi mi sembra che così si restringono le funzioni derivabili alle funzioni con derivata continua rispetto alla definizione "classica".
Domanda: oltre Gâteaux e Fréchet ci sono altre tipologie di derivazione?
Per cominciare richiedi che la [tex]$\phi$[/tex] sia una funzione continua in [tex]$x_0$[/tex], poi risulta essere da ciò: [tex]$\phi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex] quindi mi sembra che così si restringono le funzioni derivabili alle funzioni con derivata continua rispetto alla definizione "classica".
Domanda: oltre Gâteaux e Fréchet ci sono altre tipologie di derivazione?
"j18eos":
Ci sono incontri che ti cambiano la vita!
"j18eos":
Beh, non ho detto che [tex]$\phi (x)$[/tex] sia la derivata di [tex]$f(x)$[/tex] ovunque intorno a [tex]$x_0$[/tex]; se leggi bene, la [tex]$\phi (x)$[/tex] serve solo a definire la derivata nel punto [tex]$x_0$[/tex], ma fuori da tale punto non mi "serve a nulla" ed, in particolare, non ha legami con l'esistenza della derivata negli altri punti distinti da [tex]$x_0$[/tex] (infatti, se prendi un altro punto [tex]$x_1\neq x_0$[/tex] in cui [tex]$f(x)$[/tex] è derivabile, in generale esisterà un'altra funzione [tex]$\psi(x)$[/tex] diversa da [tex]$\phi(x)$[/tex] che fa lo stesso servizio).
Per quanto riguarda davvero il rapporto con la definizione classica, rifletti sul fatto seguente.
Supponi che la funzione [tex]$f(x)$[/tex] sia derivabile in senso classico in [tex]$x_0$[/tex]: in tal caso puoi porre:
[tex]$\phi (x):= \begin{cases} \tfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &\text{, se $x\neq x_0$} \\ f^\prime (x_0) &\text{, se $x=x_0$}\end{cases}$[/tex]
e verificare che [tex]$\phi (x)$[/tex] ha tutte le proprietà richieste...
"j18eos":
Domanda: oltre Gâteaux e Fréchet ci sono altre tipologie di derivazione?
Beh, che domande... Esiste quella che ho proposto io!!!
*__________
* Ma l'idea non è mia... Quando saremo giunti ad un buon punto, svelerò l'arcano!
Quindi [tex]$x_0$[/tex] è fissato! 
La definizione completa di tale funzione è [tex]$\phi(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &,\ x\neq x_0\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &,\ x=x_0\end{cases}$[/tex]? Da ciò se [tex]$f$[/tex] fosse derivabile in senso classico in [tex]$x_0$[/tex] esisterebbe [tex]$\phi(x_0)$[/tex]!
Riscrivo che [tex]$\phi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex] in virtù della continuità di [tex]$\phi$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex]; con l'opportuna ipotesi su [tex]$f$[/tex].
Credo che ciò concluda il punto 1.
La definizione completa di tale funzione è [tex]$\phi(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &,\ x\neq x_0\\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} &,\ x=x_0\end{cases}$[/tex]? Da ciò se [tex]$f$[/tex] fosse derivabile in senso classico in [tex]$x_0$[/tex] esisterebbe [tex]$\phi(x_0)$[/tex]!Riscrivo che [tex]$\phi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\phi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex] in virtù della continuità di [tex]$\phi$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex]; con l'opportuna ipotesi su [tex]$f$[/tex].
Credo che ciò concluda il punto 1.
Per quanto riguarda la definizione a me sembra equivalente. Infatti:
$f: ]a,b[->RR$, $x_0 in ]a,b[ $
$f(x)-f(x_0)=Phi(x)*(x-x_0) =>Phi(x)=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0), x != x_0$
Affinchè $Phi$ sia continua in $x_0$, deve aversi che $EE lim_{x->x_0} Phi(x)=lim_{x->x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0) =Phi(x_0)$
Non mi sembra sfugga niente, o no?
$f: ]a,b[->RR$, $x_0 in ]a,b[ $
$f(x)-f(x_0)=Phi(x)*(x-x_0) =>Phi(x)=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0), x != x_0$
Affinchè $Phi$ sia continua in $x_0$, deve aversi che $EE lim_{x->x_0} Phi(x)=lim_{x->x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0) =Phi(x_0)$
Non mi sembra sfugga niente, o no?
Cercherò di concludere col massimo della decenza il punto 1.
Siano [tex]$f:]a;b[\to\mathbb{R};\,x_0\in]a;b[$[/tex], diciamo che [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] quando esiste un'applicazione [tex]$\varphi:]a;b[\subseteq D\to\mathbb{R}$[/tex] ([tex]$D$[/tex] è il dominio di [tex]$\varphi$[/tex]) continua in [tex]$x_0$[/tex] tale che [tex]$\forall x\in]a;b[,\,\varphi(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\iff x\neq x_0\\\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\iff x=x_0\end{cases}$[/tex], quindi per la continuità di [tex]$\varphi$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] si ha che: [tex]$\varphi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$[/tex].
In definitiva [tex]$\varphi(x_0)$[/tex] è la derivata classica di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex]; esisterebbe se e solo se esistesse [tex]$f'(x_0)$[/tex].
La definizione data da gugo82 è tale e non ha bisogno di accorgimenti.
Siano [tex]$f:]a;b[\to\mathbb{R};\,x_0\in]a;b[$[/tex], diciamo che [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] quando esiste un'applicazione [tex]$\varphi:]a;b[\subseteq D\to\mathbb{R}$[/tex] ([tex]$D$[/tex] è il dominio di [tex]$\varphi$[/tex]) continua in [tex]$x_0$[/tex] tale che [tex]$\forall x\in]a;b[,\,\varphi(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\iff x\neq x_0\\\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\iff x=x_0\end{cases}$[/tex], quindi per la continuità di [tex]$\varphi$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] si ha che: [tex]$\varphi(x_0)=\lim_{x\to x_0}\varphi(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$[/tex].
In definitiva [tex]$\varphi(x_0)$[/tex] è la derivata classica di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex]; esisterebbe se e solo se esistesse [tex]$f'(x_0)$[/tex].
La definizione data da gugo82 è tale e non ha bisogno di accorgimenti.
1. Ok, l'idea è proprio quella. Bravi.
In effetti, come ogni matematico (ed un Algebrista in particolare) dovrebbe sapere, le definizioni sono prive di significato se ciò che definiscono "dipende dal rappresentante" scelto per dare la definizione stessa; in questo caso la definizione di derivata potrebbe dipendere dalla scelta di [tex]$\phi (x)$[/tex] (nel senso che se [tex]$\psi (x)$[/tex] fosse un'altra funzione definita in [tex]$]a,b[$[/tex] t.c. [tex]$f(x)-f(x_0) =\psi (x)\ (x-x_0)$[/tex], in linea di principio potrebbe accadere che [tex]$\phi (x_0)\neq \psi (x_0)$[/tex]) e ciò renderebbe inservibile la nuova definizione.
Tuttavia ciò non accade, per il motivo individuato da j18eos e robbstark.
Mi permetto di fornire una dimostrazione alternativa del loro risultato: se [tex]$\phi (x)$[/tex] e [tex]$\psi (x)$[/tex] sono funzioni che soddisfano la definizione allora, posto [tex]$\delta (x):=\phi (x)-\psi (x)$[/tex], risulta:
[tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad \delta (x)\ (x-x_0) =0$[/tex],
quindi:
[tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad |\delta (x_0)\ (x-x_0)|=|\{\delta (x_0)-\delta (x)\}\ (x-x_0)|\leq |\delta (x_0)-\delta (x)|\ |x-x_0|$[/tex]
ed:
(*) [tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad \left| \delta (x_0)\ \frac{x-x_0}{|x-x_0|}\right| \leq |\delta (x_0) -\delta (x)|$[/tex];
visto che [tex]$\delta (x)$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex], il secondo membro della (*) è infinitesimo, mentre il primo membro si presenta come prodotto di [tex]$\delta (x_0)$[/tex] per la funzione [tex]$\tfrac{x-x_0}{|x-x_0|}$[/tex] limitata intorno a [tex]$x_0$[/tex]; ne viene che [tex]$\delta (x_0) =0$[/tex], ossia [tex]$\phi (x_0)=\psi (x_0)$[/tex].
Quindi il valore di [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex] non dipende dalla funzione [tex]$\phi (x)$[/tex], ma solo dal punto [tex]$x_0$[/tex].
Per chi si stesse chiedendo perchè ci sono andato così di fino, il motivo è semplice: ho in mente di generalizzare la definizione "alternativa" al caso di più variabili.
In tal caso, infatti, [tex]$\phi (x)$[/tex] sarà una funzione vettoriale ed il prodotto [tex]$\phi (x)\ (x-x_0)$[/tex] dovrà essere rimpiazzato col prodotto scalare [tex]$\langle \phi (x), x-x_0\rangle$[/tex]... Quindi il discorso di j18eos e robbstark non può essere immediatamente applicato al caso generale*, mentre la maggiorazione (*) sì (con l'accortezza di pensare a [tex]$|\cdot |$[/tex] come alla norma euclidea in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]).
Ovviamente, nel caso di più variabili, quella "alternativa" sarà una definizione di differenziabilità e non di semplice derivabilità (i.e. di esistenza di tutte le derivate parziali).**
2. Ovviamente, come avete detto, una funzione è derivabile in senso classico se e solo se essa è derivabile in senso "alternativo". Bravi di nuovo.
Rimane aperta la 3, però... Che mi dite?
__________
* Anche per dimostrare che le due formulazioni sono equivalenti vale lo stesso discorso: ciò discende dal fatto che il rapporto di scalari e vettori non è definito.
** Ovviamente anche nel caso di una sola variabile è così... Tuttavia è notissimo che per funzioni di una sola variabile le due nozioni di derivabilità e differenziabilità coincidono, ergo la differenza non si vede per [tex]$N=1$[/tex].
In effetti, come ogni matematico (ed un Algebrista in particolare) dovrebbe sapere, le definizioni sono prive di significato se ciò che definiscono "dipende dal rappresentante" scelto per dare la definizione stessa; in questo caso la definizione di derivata potrebbe dipendere dalla scelta di [tex]$\phi (x)$[/tex] (nel senso che se [tex]$\psi (x)$[/tex] fosse un'altra funzione definita in [tex]$]a,b[$[/tex] t.c. [tex]$f(x)-f(x_0) =\psi (x)\ (x-x_0)$[/tex], in linea di principio potrebbe accadere che [tex]$\phi (x_0)\neq \psi (x_0)$[/tex]) e ciò renderebbe inservibile la nuova definizione.
Tuttavia ciò non accade, per il motivo individuato da j18eos e robbstark.
Mi permetto di fornire una dimostrazione alternativa del loro risultato: se [tex]$\phi (x)$[/tex] e [tex]$\psi (x)$[/tex] sono funzioni che soddisfano la definizione allora, posto [tex]$\delta (x):=\phi (x)-\psi (x)$[/tex], risulta:
[tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad \delta (x)\ (x-x_0) =0$[/tex],
quindi:
[tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad |\delta (x_0)\ (x-x_0)|=|\{\delta (x_0)-\delta (x)\}\ (x-x_0)|\leq |\delta (x_0)-\delta (x)|\ |x-x_0|$[/tex]
ed:
(*) [tex]$\forall x\in ]a,b[\setminus \{ x_0\},\quad \left| \delta (x_0)\ \frac{x-x_0}{|x-x_0|}\right| \leq |\delta (x_0) -\delta (x)|$[/tex];
visto che [tex]$\delta (x)$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex], il secondo membro della (*) è infinitesimo, mentre il primo membro si presenta come prodotto di [tex]$\delta (x_0)$[/tex] per la funzione [tex]$\tfrac{x-x_0}{|x-x_0|}$[/tex] limitata intorno a [tex]$x_0$[/tex]; ne viene che [tex]$\delta (x_0) =0$[/tex], ossia [tex]$\phi (x_0)=\psi (x_0)$[/tex].
Quindi il valore di [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex] non dipende dalla funzione [tex]$\phi (x)$[/tex], ma solo dal punto [tex]$x_0$[/tex].
Per chi si stesse chiedendo perchè ci sono andato così di fino, il motivo è semplice: ho in mente di generalizzare la definizione "alternativa" al caso di più variabili.
In tal caso, infatti, [tex]$\phi (x)$[/tex] sarà una funzione vettoriale ed il prodotto [tex]$\phi (x)\ (x-x_0)$[/tex] dovrà essere rimpiazzato col prodotto scalare [tex]$\langle \phi (x), x-x_0\rangle$[/tex]... Quindi il discorso di j18eos e robbstark non può essere immediatamente applicato al caso generale*, mentre la maggiorazione (*) sì (con l'accortezza di pensare a [tex]$|\cdot |$[/tex] come alla norma euclidea in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]).
Ovviamente, nel caso di più variabili, quella "alternativa" sarà una definizione di differenziabilità e non di semplice derivabilità (i.e. di esistenza di tutte le derivate parziali).**
2. Ovviamente, come avete detto, una funzione è derivabile in senso classico se e solo se essa è derivabile in senso "alternativo". Bravi di nuovo.
Rimane aperta la 3, però... Che mi dite?
__________
* Anche per dimostrare che le due formulazioni sono equivalenti vale lo stesso discorso: ciò discende dal fatto che il rapporto di scalari e vettori non è definito.
** Ovviamente anche nel caso di una sola variabile è così... Tuttavia è notissimo che per funzioni di una sola variabile le due nozioni di derivabilità e differenziabilità coincidono, ergo la differenza non si vede per [tex]$N=1$[/tex].
Non volendo resta sistemato anche il punto 2.
Sul punto 3 mi è venuta un'idea che non ho ancora valutata... ci penserò oggi.
Sul punto 3 mi è venuta un'idea che non ho ancora valutata... ci penserò oggi.
Comincio io.
Penso sia evidente che se una funzione è derivabile con la nuova definizione in un punto è anche invi continua.
Teorema di derivazione della funzione composta
Siano $f:]a,b[ \to mathbb{R} $, $g:]a,b[ \to ]a,b[ $ tali che $g$ sia derivabile in $x_0 \in ]a,b[ $ ed $f$ sia derivabile in $g(x_0)$.
Allora $f \circ g $ è derivabile in $f(g(x_0))$ e si ha $(f \circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)$.
Dimostrazione
Siano $\phi$ e $\psi$ funzioni che garantiscono, come da definizione, la derivabilità di $f$ in $g(x_0)$ e di $g$ in $x_0$. Si ha, se $x!=x_0$,
$ \phi ( g(x) ) \psi (x) = \frac { f(g(x))-f(g(x_0)) }{ g(x)-g(x_0) } \dot \frac { g(x)-g(x_0) }{ x-x_0 }= \frac { f(g(x))-f(g(x_0)) }{ x-x_0 }$
La funzione $ \phi ( g(x) ) \psi (x) $ è continua in $x_0$ in quanto composizione di funzioni continue quindi la derivabilità della funzione composta è provata.
Inoltre vale
$\phi ( g(x_0) ) \psi (x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0) $ grazie alla derivabilità di $f$ in $g(x_0)$ e di $g$ in $x_0$.
Penso sia evidente che se una funzione è derivabile con la nuova definizione in un punto è anche invi continua.
Teorema di derivazione della funzione composta
Siano $f:]a,b[ \to mathbb{R} $, $g:]a,b[ \to ]a,b[ $ tali che $g$ sia derivabile in $x_0 \in ]a,b[ $ ed $f$ sia derivabile in $g(x_0)$.
Allora $f \circ g $ è derivabile in $f(g(x_0))$ e si ha $(f \circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)$.
Dimostrazione
Siano $\phi$ e $\psi$ funzioni che garantiscono, come da definizione, la derivabilità di $f$ in $g(x_0)$ e di $g$ in $x_0$. Si ha, se $x!=x_0$,
$ \phi ( g(x) ) \psi (x) = \frac { f(g(x))-f(g(x_0)) }{ g(x)-g(x_0) } \dot \frac { g(x)-g(x_0) }{ x-x_0 }= \frac { f(g(x))-f(g(x_0)) }{ x-x_0 }$
La funzione $ \phi ( g(x) ) \psi (x) $ è continua in $x_0$ in quanto composizione di funzioni continue quindi la derivabilità della funzione composta è provata.
Inoltre vale
$\phi ( g(x_0) ) \psi (x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0) $ grazie alla derivabilità di $f$ in $g(x_0)$ e di $g$ in $x_0$.
Le dimostrazioni delle proprietà puntuali di una funzione derivabile restano invariate nella difficoltà!
Sui teoremi in cui si richiede la derivabilità in un intervallo la vedo dura.
Sui teoremi in cui si richiede la derivabilità in un intervallo la vedo dura.
"j18eos":
Sui teoremi in cui si richiede la derivabilità in un intervallo la vedo dura.
A quale teorema ti riferisci in particolare? Perché sto dando un'occhiatina sul libro e quei teoremi si basano su teoremi puntuali già dimostrati, non tirano direttamente in gioco la definizione di derivata, vecchia o nuova che essa sia.
Piuttosto, chissà che fine ha fatto gugo...
@Leonardo89: Ero troppo preso dalle feste e dal non sorpassare FP nel contatore, perciò mi sono preso un po' di pausa.
Per quanto riguarda la dimostrazione, non so perchè vi ostinate a tirar fuori i rapporti incrementali... Cioè, questa nuova definizione è pensata proprio per sbarazzarsene!
Innanzitutto, è pressoché evidente che se [tex]$f(x)$[/tex] è differenziabile nel nuovo senso in [tex]$x_0$[/tex], allora essa è pure continua in [tex]$x_0$[/tex] (basta passare al limite in (D) -cfr. definizione nello OP- prendendo i valori assoluti m.a.m.).
Quindi per dimostrare il teorema di derivazione della funzione composta basta accorgersi che:
[tex]$g(f(x))-g(f(x_0))=\psi (f(x))\ \Big( f(x)-f(x_0)\Big) =\psi (f(x))\ \phi (x)\ (x-x_0)$[/tex],
con [tex]$\psi (f(x))\ \phi (x)$[/tex] continua in [tex]$x_0$[/tex] (prodotto di funzioni continue), cosicché [tex]$\psi (f(x_0))\ \phi (x_0) =g^\prime (f(x_0))\ f^\prime (x_0)$[/tex] è la derivata di [tex]$g(f(x))$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Ovviamente l'operatore di derivazione è lineare anche in questo caso (banale, ma se qualcuno vuole dimostrarlo lo stesso...).
Facilmente si vede che le derivate delle funzioni elementari sono sempre le stesse: ad esempio, fissato [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], abbiamo:
[tex]$x^n-x_0^n =\left( \sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-1-k}\right)\ (x-x_0)$[/tex]
e la funzione [tex]\phi (x):=\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-1-k}[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex] con:
[tex]$\phi (x_0)=\sum_{k=0}^{n-1} x_0^kx_0^{n-1-k} =\sum_{k=0}^{n-1} x_0^{n-1} =nx_0^{n-1}$[/tex]
che è il risultato noto dalle superiori; allo stesso modo è:
[tex]$\sin x-\sin x_0 = 2 \cos \frac{x+x_0}{2}\ \sin \frac{x-x_0}{2} = \cos \frac{x+x_0}{2}\ \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}\ (x-x_0)$[/tex]
per [tex]$x\neq x_0$[/tex] e la funzione [tex]\phi(x):=\cos \frac{x+x_0}{2}\ \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}[/tex] si prolunga con continuità su [tex]$x_0$[/tex] (per il limite notevole del seno), il valore assunto in [tex]$x_0$[/tex] essendo:
[tex]$\phi (x_0)=\cos x_0$[/tex]
come giusto che sia; e così via...
Anche il teorema di Fermat è semplice: infatti, supposto che [tex]$x_0$[/tex] sia interno ad [tex]$[a,b]$[/tex], di minimo per [tex]$f(x)$[/tex] e che [tex]$f(x)$[/tex] sia derivabile in [tex]$x_0$[/tex], fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex] piccolo si ha [tex]$x_0+h \in ]a,b[$[/tex] ed [tex]$f(x_0+h)\geq f(x_0)$[/tex] per [tex]$h\in ]-\varepsilon ,\varepsilon[$[/tex], cosicché:
[tex]$\phi (x_0+h)\ h =f(x_0+h)-f(x_0)\geq 0$[/tex];
da ciò segue [tex]$\phi (x_0+h)\geq 0$[/tex] [risp. [tex]$\phi (x_0+h)\leq 0$[/tex]] per ogni [tex]$h \in ]0,\varepsilon [$[/tex] [risp. [tex]$h\in ]-\varepsilon ,0[$[/tex]]; dato che [tex]$\phi (x)$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex] da ciò segue [tex]$\phi (x_0)=0$[/tex].
Qualcuno si vuole cimentare col teorema di derivazione della funzione inversa?
Per quanto riguarda la dimostrazione, non so perchè vi ostinate a tirar fuori i rapporti incrementali... Cioè, questa nuova definizione è pensata proprio per sbarazzarsene!
Innanzitutto, è pressoché evidente che se [tex]$f(x)$[/tex] è differenziabile nel nuovo senso in [tex]$x_0$[/tex], allora essa è pure continua in [tex]$x_0$[/tex] (basta passare al limite in (D) -cfr. definizione nello OP- prendendo i valori assoluti m.a.m.).
Quindi per dimostrare il teorema di derivazione della funzione composta basta accorgersi che:
[tex]$g(f(x))-g(f(x_0))=\psi (f(x))\ \Big( f(x)-f(x_0)\Big) =\psi (f(x))\ \phi (x)\ (x-x_0)$[/tex],
con [tex]$\psi (f(x))\ \phi (x)$[/tex] continua in [tex]$x_0$[/tex] (prodotto di funzioni continue), cosicché [tex]$\psi (f(x_0))\ \phi (x_0) =g^\prime (f(x_0))\ f^\prime (x_0)$[/tex] è la derivata di [tex]$g(f(x))$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Ovviamente l'operatore di derivazione è lineare anche in questo caso (banale, ma se qualcuno vuole dimostrarlo lo stesso...
).Facilmente si vede che le derivate delle funzioni elementari sono sempre le stesse: ad esempio, fissato [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], abbiamo:
[tex]$x^n-x_0^n =\left( \sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-1-k}\right)\ (x-x_0)$[/tex]
e la funzione [tex]\phi (x):=\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-1-k}[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex] con:
[tex]$\phi (x_0)=\sum_{k=0}^{n-1} x_0^kx_0^{n-1-k} =\sum_{k=0}^{n-1} x_0^{n-1} =nx_0^{n-1}$[/tex]
che è il risultato noto dalle superiori; allo stesso modo è:
[tex]$\sin x-\sin x_0 = 2 \cos \frac{x+x_0}{2}\ \sin \frac{x-x_0}{2} = \cos \frac{x+x_0}{2}\ \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}\ (x-x_0)$[/tex]
per [tex]$x\neq x_0$[/tex] e la funzione [tex]\phi(x):=\cos \frac{x+x_0}{2}\ \frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}[/tex] si prolunga con continuità su [tex]$x_0$[/tex] (per il limite notevole del seno), il valore assunto in [tex]$x_0$[/tex] essendo:
[tex]$\phi (x_0)=\cos x_0$[/tex]
come giusto che sia; e così via...
Anche il teorema di Fermat è semplice: infatti, supposto che [tex]$x_0$[/tex] sia interno ad [tex]$[a,b]$[/tex], di minimo per [tex]$f(x)$[/tex] e che [tex]$f(x)$[/tex] sia derivabile in [tex]$x_0$[/tex], fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex] piccolo si ha [tex]$x_0+h \in ]a,b[$[/tex] ed [tex]$f(x_0+h)\geq f(x_0)$[/tex] per [tex]$h\in ]-\varepsilon ,\varepsilon[$[/tex], cosicché:
[tex]$\phi (x_0+h)\ h =f(x_0+h)-f(x_0)\geq 0$[/tex];
da ciò segue [tex]$\phi (x_0+h)\geq 0$[/tex] [risp. [tex]$\phi (x_0+h)\leq 0$[/tex]] per ogni [tex]$h \in ]0,\varepsilon [$[/tex] [risp. [tex]$h\in ]-\varepsilon ,0[$[/tex]]; dato che [tex]$\phi (x)$[/tex] è continua in [tex]$x_0$[/tex] da ciò segue [tex]$\phi (x_0)=0$[/tex].
Qualcuno si vuole cimentare col teorema di derivazione della funzione inversa?
Ci provo io! 
Per ipotesi ho la derivabilità di [tex]$ f $[/tex] in [tex]$x_0 $[/tex] e so che [tex]$ f'(x_0) \neq 0 $[/tex] quindi esiste una funzione [tex]$ \phi(x) $[/tex] continua in [tex]$ x_0 $[/tex] tale che
[tex]$ f(x)-f(x_0) = \phi (x) (x-x_0) $[/tex]
Sfruttando la biunivocità di [tex]$ f $[/tex] e ponendo [tex]$ f(x)=y $[/tex] e [tex]$ f(x_0)=y_0 $[/tex] ho
[tex]$ y-y_0 = \phi(x) ( f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) )$[/tex]
Poiché [tex]$ \phi $[/tex] è continua in [tex]$ x_0 $[/tex] e vale [tex]$ 0 \neq f'(x_0)= \phi (x_0) $[/tex] allora esiste un intorno [tex]$ U $[/tex] di [tex]$ x_0 $[/tex] contenuto in [tex]$ ]a,b[ $[/tex] tale che [tex]$ \forall x \in U , 0 \neq \phi (x) = \phi ( f^{-1}(y) )$[/tex]
Allora definisco una funzione [tex]$ \psi $[/tex] così: [tex]$ \forall y :f^{-1}(y) \in U, \psi (y) := \frac{1}{ \phi (f^{-1}(y)) } $[/tex], [tex]$ \forall y :f^{-1}(y) \in ]a,b[ \backslash U, \psi (y) := \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) }{ y-y_0 } $[/tex]
Così facendo [tex]$ \psi $[/tex] è definita su [tex]$ ]a,b[ $[/tex] ed è continua in [tex]$ y_0 $[/tex] e vale
[tex]$ f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) = \psi(y) (y-y_0) $[/tex]
Spero sia tutto corretto.
P.S. Gugo avevi ragione a voler evitare i rapporti incrementali infatti la mia dimostrazione precedente sulla derivabilità delle funzioni composte è sbagliata: se [tex]$ x \neq x_0 $[/tex], chi mi garantisce che [tex]$ g(x) \neq g(x_0) $[/tex] in un intorno? Nessuno. Ovviamente si potrebbe ovviare con una funzione definita per casi ma non ne vale proprio la pena.
Per ipotesi ho la derivabilità di [tex]$ f $[/tex] in [tex]$x_0 $[/tex] e so che [tex]$ f'(x_0) \neq 0 $[/tex] quindi esiste una funzione [tex]$ \phi(x) $[/tex] continua in [tex]$ x_0 $[/tex] tale che
[tex]$ f(x)-f(x_0) = \phi (x) (x-x_0) $[/tex]
Sfruttando la biunivocità di [tex]$ f $[/tex] e ponendo [tex]$ f(x)=y $[/tex] e [tex]$ f(x_0)=y_0 $[/tex] ho
[tex]$ y-y_0 = \phi(x) ( f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) )$[/tex]
Poiché [tex]$ \phi $[/tex] è continua in [tex]$ x_0 $[/tex] e vale [tex]$ 0 \neq f'(x_0)= \phi (x_0) $[/tex] allora esiste un intorno [tex]$ U $[/tex] di [tex]$ x_0 $[/tex] contenuto in [tex]$ ]a,b[ $[/tex] tale che [tex]$ \forall x \in U , 0 \neq \phi (x) = \phi ( f^{-1}(y) )$[/tex]
Allora definisco una funzione [tex]$ \psi $[/tex] così: [tex]$ \forall y :f^{-1}(y) \in U, \psi (y) := \frac{1}{ \phi (f^{-1}(y)) } $[/tex], [tex]$ \forall y :f^{-1}(y) \in ]a,b[ \backslash U, \psi (y) := \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) }{ y-y_0 } $[/tex]
Così facendo [tex]$ \psi $[/tex] è definita su [tex]$ ]a,b[ $[/tex] ed è continua in [tex]$ y_0 $[/tex] e vale
[tex]$ f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0) = \psi(y) (y-y_0) $[/tex]
Spero sia tutto corretto.
P.S. Gugo avevi ragione a voler evitare i rapporti incrementali infatti la mia dimostrazione precedente sulla derivabilità delle funzioni composte è sbagliata: se [tex]$ x \neq x_0 $[/tex], chi mi garantisce che [tex]$ g(x) \neq g(x_0) $[/tex] in un intorno? Nessuno. Ovviamente si potrebbe ovviare con una funzione definita per casi ma non ne vale proprio la pena.
"gugo82":
Ebbene, vi domando, cosa succederebbe se pensassimo di definire la derivata in quest'altro modo?
Siano [tex]$f$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] come sopra. Diciamo che [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] se esiste una funzione [tex]$\phi(x)$[/tex] (definita almeno in [tex]$]a,b[$[/tex]) continua in [tex]$x_0$[/tex] e tale che:
(D) [tex]$f(x)-f(x_0)=\phi (x)\ (x-x_0)$[/tex];
in tal caso il valore [tex]$\phi(x_0)$[/tex] si chiama derivata di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] e si denota col simbolo [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex]
Aggiungo un'altra domanda: cosa succederebbe se rinunciassimo alla continuità di [tex]$\phi(x)$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex], sostituendola con l'ipotesi che [tex]$\phi(x)$[/tex] sia limitata in [tex]$(a,b)$[/tex]?
Chiaramente, otteremmo una derivata più generale (la chiameremo gugo-derivata?
), e risulterebbero derivabili anche funzioni come [tex]$f(x)=|x|$[/tex]P.S. Hai deciso di esplorare la foresta degli urangutang?
"Sidereus":
[quote="gugo82"]Ebbene, vi domando, cosa succederebbe se pensassimo di definire la derivata in quest'altro modo?
Siano [tex]$f$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] come sopra. Diciamo che [tex]$f$[/tex] è derivabile in [tex]$x_0$[/tex] se esiste una funzione [tex]$\phi(x)$[/tex] (definita almeno in [tex]$]a,b[$[/tex]) continua in [tex]$x_0$[/tex] e tale che:
(D) [tex]$f(x)-f(x_0)=\phi (x)\ (x-x_0)$[/tex];
in tal caso il valore [tex]$\phi(x_0)$[/tex] si chiama derivata di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] e si denota col simbolo [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex]
Aggiungo un'altra domanda: cosa succederebbe se rinunciassimo alla continuità di [tex]$\phi(x)$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex], sostituendola con l'ipotesi che [tex]$\phi(x)$[/tex] sia limitata in [tex]$(a,b)$[/tex]?
Chiaramente, otteremmo una derivata più generale (la chiameremo gugo-derivata?
), e risulterebbero derivabili anche funzioni come [tex]$f(x)=|x|$[/tex][/quote]Non credo... Semplicemente non succederebbe nulla di sensato, se lasci la definizione così come sta e levi la continuità di [tex]$\phi (x)$[/tex].
Al massimo, potresti definire le derivate superiori ed inferiori a destra ed a sinistra di [tex]$x_0$[/tex], ma non la derivata (in generale).
"Sidereus":
P.S. Hai deciso di esplorare la foresta degli urangutang?
Ti assicuro che questa è una definizione rigorosissima in ambito "classico".
I "primati" non c'entrano nulla e nemmeno i tuoi cari infinitesimi.
@Leonardo: Scusa se avevo lasciato cadere la discussione, mi spiace.
Se ti va di riprenderla, ti dico che la tua dimostrazione mi piace.
L'unica cosa che non ho chiaro e se tu supponi che [tex]$f(x)$[/tex] debba essere invertibile intorno a [tex]$x_0$[/tex] oppure se tu possa (e sappia) ricavare questo fatto dall'ipotesi [tex]$\phi (x_0)\neq 0$[/tex].
Fammi sapere.
Ora vi chiedo: è possibile formalizzare il concetto di funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] con la nuova definizione?
Ed in che rapporto è la nuova definizione con la definizione classica?
Se ti va di riprenderla, ti dico che la tua dimostrazione mi piace.
L'unica cosa che non ho chiaro e se tu supponi che [tex]$f(x)$[/tex] debba essere invertibile intorno a [tex]$x_0$[/tex] oppure se tu possa (e sappia) ricavare questo fatto dall'ipotesi [tex]$\phi (x_0)\neq 0$[/tex].
Fammi sapere.
Ora vi chiedo: è possibile formalizzare il concetto di funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] con la nuova definizione?
Ed in che rapporto è la nuova definizione con la definizione classica?
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