Sulla costruibilità di una radice di un polinomio
Esercizio. Sia dato il polinomio \(p(x)=X^4 - 6X +3 \in \mathbb{Q}[X]\), e sia \(\alpha\) t.c. \(p(\alpha)=0\). Provare che \(\alpha\) non è costruibile.
Risposte
Forse dovresti chiarire cosa intendi per costruibile. A me non è molto chiaro.
Vero. Mi rifaccio alle dispense di J. S. Milne, il quale dice:
Per così come è introdotta (anche "cronologicamente" nella dispensa), la definizione puzza di autoreferenza. La cosa si chiarisce un po' meglio nel
La riga di cui sopra è da intendersi non numerata.
"J. S. Milne":
[...] Suppose we are given a length, which we call 1, a straight-edge, and a compass (device for drawing circles). A real number (better a length) is constructible if it can be constructed by forming successive intersections of lines drawn through two points already constructed and circles with centre a point already constructed and radius a constructed length.
Per così come è introdotta (anche "cronologicamente" nella dispensa), la definizione puzza di autoreferenza. La cosa si chiarisce un po' meglio nel
Lemma. If \(c\) and \(d\) are constructible, then so also are \(c+d, \, -c, \, cd\) and \(c/d\) (\(d \ne 0\)). Moreover if \(c\) is constructible, then so also is \(\sqrt{c}\).
La riga di cui sopra è da intendersi non numerata.
E' noto dall'algebra che:
Con una immediata applicazione del criterio di Eisenstein si prova che il polinomio $p(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ pertanto esso è il polinomio minimo di ciascuna sua radice e quindi l'estensione $Q \subset \mathbb{Q}(\alpha)$ è di grado $4$. Supponiamo che $\alpha$ sia costruibile, allora per il teorema di costruibilità sopra enunciato implica facilmente che il campo $\mathbb{Q}(\alpha)$ deve contenere un sottocampo di grado due su $Q$. Poniamo: $\mathbb{Q} \subset E \subset \mathbb{Q}(\alpha)$ con \( [\mathbb{Q}(\alpha):E]=[E:\mathbb{Q}]=2\). Il polinomio minimo di $\alpha$ su $E$, $q(x),$ divide il polinomio minimo di $\alpha$ su $\mathbb{Q}$. Quindi posto $q(x)=x^2+ax+b$ con $a,b \in E$ dobbiamo avere:
$x^4-6x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ con $a,b,c,d \in E$
La precedente uguaglianza implica:
\(
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a+c=0\\
a+b+ac=0\\
ad+bc=-6\\
bd=3
\end{array}\end{cases}
\)
da cui segue facilmente : $a^6-12a^2-36=0$. Quindi $a$ è radice del polinomio $f(x)=x^6-12x^2-36$ che è facile vedere non ha soluzioni intere. Quindi deve essere $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=2$ e il polinomio $f(x)$ deve avere un fattore di grado $2$ in $\mathbb{Q}[x]$. Quindi dobbiamo avere :
$x^6-12x^2-36=(x^2+rx+s)(x^4+mx^3+nx^2+px+q)$ i fattori possono essere considerati in $\mathbb{Z}[x]$ per il lemma dfi Gauss (Se un polinomio si fattorizza in $Q[x]$ allora esso si fattorizza anche in $\mathbb{Z}[x]$).
Otteniamo le seguenti equazioni con incognite in $\mathbb{Z}$:
\(
\begin{cases}
\begin{array}{c}
m+r=0\\
n+mr+s=0\\
p+nr+ms=0\\
q+pr+ns=-12\\
qr+ps=0\\
qs=-36
\end{array}\end{cases}
\)
Copn un paio di eliminazioni otteniamo l'equazione: $s^2(r^2-2s)=36$. Tutti i possibili valori di $s$ sono $\pm 1, \pm 2, \pm 3,\pm 6$ ed è facile vedere che a nessuno di essi corrisponde un valore intero di $r$. Quindi il sistema non ha soluzioni intere. Contraddizione.
C.N.S. affinchè $alpha \in \mathbb{C}$ sia costruibile ( con riga e compasso ) è che esista una successione di campi $\mathbb{Q} =E_0 \subseteqE_1 \subseteq \cdots \subseteq E_m \subseteq \mathbb{C}$ tale che
$1) \alpha \in E_m$
$2) [E_{j+1}:E_j]\leq 2$ per $j=0,1,\cdots m-1$
Con una immediata applicazione del criterio di Eisenstein si prova che il polinomio $p(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ pertanto esso è il polinomio minimo di ciascuna sua radice e quindi l'estensione $Q \subset \mathbb{Q}(\alpha)$ è di grado $4$. Supponiamo che $\alpha$ sia costruibile, allora per il teorema di costruibilità sopra enunciato implica facilmente che il campo $\mathbb{Q}(\alpha)$ deve contenere un sottocampo di grado due su $Q$. Poniamo: $\mathbb{Q} \subset E \subset \mathbb{Q}(\alpha)$ con \( [\mathbb{Q}(\alpha):E]=[E:\mathbb{Q}]=2\). Il polinomio minimo di $\alpha$ su $E$, $q(x),$ divide il polinomio minimo di $\alpha$ su $\mathbb{Q}$. Quindi posto $q(x)=x^2+ax+b$ con $a,b \in E$ dobbiamo avere:
$x^4-6x+3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ con $a,b,c,d \in E$
La precedente uguaglianza implica:
\(
\begin{cases}
\begin{array}{c}
a+c=0\\
a+b+ac=0\\
ad+bc=-6\\
bd=3
\end{array}\end{cases}
\)
da cui segue facilmente : $a^6-12a^2-36=0$. Quindi $a$ è radice del polinomio $f(x)=x^6-12x^2-36$ che è facile vedere non ha soluzioni intere. Quindi deve essere $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=2$ e il polinomio $f(x)$ deve avere un fattore di grado $2$ in $\mathbb{Q}[x]$. Quindi dobbiamo avere :
$x^6-12x^2-36=(x^2+rx+s)(x^4+mx^3+nx^2+px+q)$ i fattori possono essere considerati in $\mathbb{Z}[x]$ per il lemma dfi Gauss (Se un polinomio si fattorizza in $Q[x]$ allora esso si fattorizza anche in $\mathbb{Z}[x]$).
Otteniamo le seguenti equazioni con incognite in $\mathbb{Z}$:
\(
\begin{cases}
\begin{array}{c}
m+r=0\\
n+mr+s=0\\
p+nr+ms=0\\
q+pr+ns=-12\\
qr+ps=0\\
qs=-36
\end{array}\end{cases}
\)
Copn un paio di eliminazioni otteniamo l'equazione: $s^2(r^2-2s)=36$. Tutti i possibili valori di $s$ sono $\pm 1, \pm 2, \pm 3,\pm 6$ ed è facile vedere che a nessuno di essi corrisponde un valore intero di $r$. Quindi il sistema non ha soluzioni intere. Contraddizione.
Suppose we are given a length, which we call 1, a straight-edge, and a compass (device for drawing circles). A real number (better a length) is constructible if it can be constructed by forming successive intersections of lines drawn through two points already constructed and circles with centre a point already constructed and radius a constructed length.
_______________
You can try out our Nova Southeastern University and latest JN0-692 practice dump - pass4sure to get high flying success in final Avaya.
_______________
You can try out our Nova Southeastern University and latest JN0-692 practice dump - pass4sure to get high flying success in final Avaya.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo