Sui gruppi finiti

[Sk_Anonymous]

Questo esercizio proviene da un libro di Algebra di cui mi sto innamorando. Non è difficile, ma io l'ho trovato propedeutico in quanto mi ha permesso di ragionare intorno ad alcune questioni algebriche abbastanza sottili. Possiedo una mia soluzione.

Si dimostri che se \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) sono gruppi finiti, \(\displaystyle |G| \) e \(\displaystyle |H| \) sono primi tra loro, ed \(\displaystyle f:G \to H \) è un omomorfismo di gruppi, allora \(\displaystyle f(x)=1_{H} \) per ogni \(\displaystyle x \in G \).

[Paolo902]

"Delirium": Si dimostri che se \(\displaystyle G \) e \(\displaystyle H \) sono gruppi finiti, \(\displaystyle |G| \) e \(\displaystyle |H| \) sono primi tra loro, ed \(\displaystyle f:G \to H \) è un omomorfismo di gruppi, allora \(\displaystyle f(x)=1_{H} \) per ogni \(\displaystyle x \in G \).

Idea: l'ordine dell'immagine divide $|H|$ (Lagrange); d'altra parte (I teorema di isomorfismo), l'ordine dell'immagine coincide con l'indice del nucleo in $|G|$ quindi divide anche $|G|$, assurdo.

Formalizzando, supponiamo che esista un $x \in G$ tale che $f(x) \ne 1$, dunque $x notin \ker f$. In particolare, quindi $\ker f$ è un sottogruppo proprio di $G$.
Per il (solito) primo teorema di isomorfismo, [tex]G/\ker f \simeq f(H)[/tex]. Dunque passando agli ordini e ricordando Lagrange [tex]\frac{\vert G\vert}{\vert \ker f \vert} \mid \vert f(H) \vert \mid \vert H \vert[/tex] da cui, per transitività [tex]\frac{\vert G \vert}{\vert \ker f \vert} \mid \vert H \vert[/tex]: quindi [tex]\vert G \vert \mid \vert H \vert[/tex], assurdo.

P.S. Che libro stai leggendo?

[Sk_Anonymous]

Bravo Paolo!
Sto utilizzando il libro scritto dal professore che tiene da me il corso di Algebra I, ossia Algebra e matematica discreta, di Alberto Facchini.

[Paolo902]

Capisco, grazie per il titolo. Sono contento di sapere che l'Algebra astratta ti appassioni, trovo che sia una parte della Matematica molto, molto bella ed elegante.

Ti consiglio, se non lo conosci, di dare un'occhiata al celeberrimo libro di Herstein, Algebra.
E' davvero una miniera di problemi, alcuni molto semplici altri estremamente difficili. E' un po' un punto di riferimento per chi è alle prime armi con l'Algebra e vuole approfondire.

Un altro testo validissimo che ho scoperto grazie a maurer e che ti consiglio assolutamente è il Dummit & Foote, Abstract Algebra (su cui c'è davvero di tutto).

Auguri di buon anno e buona Algebra

[maurer]

"Paolo90":
Un altro testo validissimo che ho scoperto grazie a maurer e che ti consiglio assolutamente è il Dummit & Foote, Abstract Algebra (su cui c'è davvero di tutto).

Assolutamente!

E poi pian piano finirai nel vortice dell'algebra commutativa e della geometria algebrica e non potrai più uscirne!

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":Capisco, grazie per il titolo. Sono contento di sapere che l'Algebra astratta ti appassioni, trovo che sia una parte della Matematica molto, molto bella ed elegante.[...]

Devo dire che, per ora, l'Algebra è la parte della matematica che mi riesce più naturalmente (anche se sto litigando invece un po' con l'algebra lineare, e con chi me la insegna ). Quando mi trovo davanti ad un esercizio, e non sempre semplice o banale, la (ri)soluzione esce con l'inchiostro della penna quasi immediatamente, e spesso non ci devo nemmeno pensare troppo.

"Paolo90":Ti consiglio, se non lo conosci, di dare un'occhiata al celeberrimo libro di Herstein, Algebra.
E' davvero una miniera di problemi, alcuni molto semplici altri estremamente difficili. E' un po' un punto di riferimento per chi è alle prime armi con l'Algebra e vuole approfondire.

Un altro testo validissimo che ho scoperto grazie a maurer e che ti consiglio assolutamente è il Dummit & Foote, Abstract Algebra (su cui c'è davvero di tutto).

Auguri di buon anno e buona Algebra

Già sentito parlare dell'Herstein, mai però avuto occasione di acquistarlo. Rimedierò quanto prima.
Grazie dei consigli!

Il mio compagno di stanza, anch'egli apprendista matematico, mi parla bene di Basic Algebra I di Jacobson... Lo conoscete?

[j18eos]

TI dico che sei fortunato a iniziare dall'Herstein (io l'ho conosciuto quando non mi è più servito per studiare gli albori dell'algebra), ma pure dal Lang (Undergraduate algebra) e dall'Artin M. (non ci confondiamo con l'omonimo E.); dei Jacobson ho una buona opinione leggendo qualcosina, ma non li ho mai usati appieno.

L'algebra commutativa (con dei riflessi in geometria algebrica) la stò apprezzando ora che ho cambiato università, data che la maggior parte dei corsi che ho seguito (sotto obbligo da borsa di studi) ci sono presentati in modo interdisciplinare; mi sà che mi appoggerò a D&F!