Successioni con qualcosa in comune con quella di Fibonacci
I primi termini della successione di Fibonacci F(n) sono:
Si noti che
F(0) = 0
F(1) = 1
F(5) = 5
Cioè: per n = 0, n = 1 e n = 5 si ha F(n) = n.
E' noto che questa successione verifica la legge di ricorrenza:
Per ogni n intero non negativo: F(n+2) = F(n+1) + F(n).
E' questo un caso particolare di ricorrenza lineare di ordine 2, cioè delle successioni S(n) che verificano la legge:
S(n+2) = A·S(n+1) + B·S(n) per ogni n ≥ 0 (dove A e B sono costanti).
[size=120]Quiz:
1) Determinare TUTTE le successioni S(n) nelle quali
• Come nella successione di Fibonacci: S(0) = 0; S(1) = 1; S(5) = 5;
• Come nella successione di Fibonacci tutti i termini siano interi;
• Per ogni n intero non negativo S(n+2) = A·S(n+1) + B·S(n)
[similmente alla successione F(n) nella quale A = B = 1]. [/size]
NB. Ovviamente fra le successioni siffatte una è proprio la successione di Fibonacci F(n)
.
[size=120]
2) Scrivere espressamente i primi 7 termini di almeno altre tre di queste successioni e la rispettiva legge di ricorrenza (ossia le rispettive costanti A e B). [/size]
NB.
Dicendo "Determinare TUTTE le scucessioni" con le elencate proprietà non intendo propriamente di elencarle tutte, ma piuttosto di dare la legge alla quale debbono sottostare le costanti A e B.
Risolto il quiz, si vedrà che non è possibile sapere se di siffatte successioni ce n'è un numero finito o ce n'è una infinità.
–––––––
:hello:
n ––> 0 1 2 3 4 5 6 7 ... F(n) ––> 0 1 1 2 3 5 8 13 ...
Si noti che
F(0) = 0
F(1) = 1
F(5) = 5
Cioè: per n = 0, n = 1 e n = 5 si ha F(n) = n.
E' noto che questa successione verifica la legge di ricorrenza:
Per ogni n intero non negativo: F(n+2) = F(n+1) + F(n).
E' questo un caso particolare di ricorrenza lineare di ordine 2, cioè delle successioni S(n) che verificano la legge:
S(n+2) = A·S(n+1) + B·S(n) per ogni n ≥ 0 (dove A e B sono costanti).
[size=120]Quiz:
1) Determinare TUTTE le successioni S(n) nelle quali
• Come nella successione di Fibonacci: S(0) = 0; S(1) = 1; S(5) = 5;
• Come nella successione di Fibonacci tutti i termini siano interi;
• Per ogni n intero non negativo S(n+2) = A·S(n+1) + B·S(n)
[similmente alla successione F(n) nella quale A = B = 1]. [/size]
NB. Ovviamente fra le successioni siffatte una è proprio la successione di Fibonacci F(n)
.[size=120]
2) Scrivere espressamente i primi 7 termini di almeno altre tre di queste successioni e la rispettiva legge di ricorrenza (ossia le rispettive costanti A e B). [/size]
NB.
Dicendo "Determinare TUTTE le scucessioni" con le elencate proprietà non intendo propriamente di elencarle tutte, ma piuttosto di dare la legge alla quale debbono sottostare le costanti A e B.
Risolto il quiz, si vedrà che non è possibile sapere se di siffatte successioni ce n'è un numero finito o ce n'è una infinità.
–––––––
:hello:
Risposte
Forse non ho avuto molto tempo di rifletterci, ma ancora non capisco i passaggi che fa nel teorema 1. Applicando la proprietà 11, senza fare pasticci con le notazioni, mi pare possa dedurre:
$L_n \equiv -1$, $mod \ L_{3^r k}$
Ma quindi come fa ad usare la 10, visto che $3^r k$ è spesso multiplo di $3$, a meno che $r=0$?
$L_n \equiv -1$, $mod \ L_{3^r k}$
Ma quindi come fa ad usare la 10, visto che $3^r k$ è spesso multiplo di $3$, a meno che $r=0$?
A me pare, vado a memoria, che la congruenza che hai scritto valga con $ L_k $. Con $ k $ che è pari, ma non divisibile per 3.
Ciao
B.
Ciao
B.
Dice che se $n \equiv 1 \ mod \ 4$, allora si può scrivere $n= 1+2*3^r*k$, con $k$ pari.
E va bene, non si capisce ancora a che serve fare spuntare $3^r$, ma è lecito.
La proprietà 11 che dice di usare è:
$L_{m+2k} \equiv -L_m \ mod \ L_k$,
Nel nostro caso, avendo scritto $n= 1+2*3^r*k$, mi pare che $m=1$ e $k=3^r*k$ (abuso di notazione).
Quindi a me viene $mod \ L_{3^r k}$, a lui viene $mod \ L_k$.
È questa non è l'unica cosa che non mi torna.
Molto probabilmente sono io che non capisco come usa le varie relazioni, ma non mi sembra spiegato in modo da farlo apparire chiaro.
E va bene, non si capisce ancora a che serve fare spuntare $3^r$, ma è lecito.
La proprietà 11 che dice di usare è:
$L_{m+2k} \equiv -L_m \ mod \ L_k$,
Nel nostro caso, avendo scritto $n= 1+2*3^r*k$, mi pare che $m=1$ e $k=3^r*k$ (abuso di notazione).
Quindi a me viene $mod \ L_{3^r k}$, a lui viene $mod \ L_k$.
È questa non è l'unica cosa che non mi torna.
Molto probabilmente sono io che non capisco come usa le varie relazioni, ma non mi sembra spiegato in modo da farlo apparire chiaro.
"robbstark":
non si capisce ancora a che serve fare spuntare $ 3^r $, ma è lecito.
Serve per utilizzare la congruenza modulo $ L_k $ con $ k $ pari, ma non divisibile per 3. Altrimenti potrebbero esistere quadrati con residuo -1 (o -4). La transizione è indolore perché $ L_x |L_{3x} $ e, in generale, vale per qualsiasi dispari al posto di 3.
Ciao
B-
"orsoulx":
La transizione è indolore perché $ L_x |L_{3x} $ e, in generale, vale per qualsiasi dispari al posto di 3.
[ot]Purtroppo non ho molto tempo di dedicarmi a fare matematica per ora, ma non vorrei dimenticarmi di questo problema, e a quanto pare ho bisogno dei sottotitoli[/ot]
Ok, questa relazione sono riuscito a dimostrarla (non rientrava nella lista). Questo però significa che (per $n \equiv 1 \ mod 4$):
$L_n = a*L_k -1$
Usando la relazione 10:
$L_n = a*(4b+3)-1 = 4ab + 3a - 1$
Da qui non capisco cosa si deduce su quale residuo rispetto a quale classe.
"[strike:
orsoulx[/strike] robbstark":3gjhqdxl]Da qui non capisco cosa si deduce su quale residuo rispetto a quale classe.
Credo proprio che nessun quadrato possa appartenere alle classi $ -1$ o $ -4 $, modulo un qualsiasi numero della forma $ 4k+3 $. Per la dimostrazione forse è meglio se posti un quesito specifico nella sezione "Algebra, logica, teoria dei numeri...".
Tieni conto che a malapena conosco il significato di 'teoria dei numeri', e per un vecchietto come me, pensare con questi intervalli è molto difficile.Ciao
B.
[Non so perché, ma come autore del citato comparivo io]
"orsoulx":
Credo proprio che nessun quadrato possa appartenere alle classi $ -1 $ o $ -4 $, modulo un qualsiasi numero della forma $ 4k+3 $.
Ok, trattandosi di proprietà a me non note, se non vengono menzionate (come nel paper), non capisco a cosa si allude.
Detto questo dovrei provare a dimostrare sia questa proprietà sia le altre indicate nel paper, ma almeno adesso ho il filo logico, grazie.
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