Successione di Fibonacci

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Salve a tutti. Sto facendo delle ricerche approfondite sulla successione di Fibonacci e sulla sua relazione con \( \phi \), il rapporto aureo. Se qualcuno sa qualche proprietà magari poco conosciuta di questo interessantissimo argomento che magari non si trova sul web potrebbe gentilmente postare? Qualsiasi spunto è ben accetto. Grazie a tutti.

[axpgn]

Sul web trovi di tutto e di più, è difficile suggerirti qualcosa di poco conosciuto (anche perché cosa ne sappiamo noi di quello che conosci tu?).
Cerca libri nelle biblioteche, senz'altro troverai qualcosa in più ...
Un link comunque te lo do ...

Cordialmente, Alex

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Grazie tante . In particolare cercavo la dimostrazione di questo, dato che non riesco a trovarla da nessuna parte.
$\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887...$
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n}}{F_{n+1}}=\frac{1}{\phi }=\phi -1=0,6180339887....$
Grazie

[Half95]

"#DIV/0!":Grazie tante . In particolare cercavo la dimostrazione di questo, dato che non riesco a trovarla da nessuna parte.
$\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887...$
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n}}{F_{n+1}}=\frac{1}{\phi }=\phi -1=0,6180339887....$
Grazie

Allora il primo punto hai che $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ dunque
$\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n}}{F_{n}}+\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n}$
da cui passando al limite trovi $x=1+\frac{1}{x}$ risolvi l equazione e trovi $\phi$.
Ora che sai che $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ è soluzione di $x=1+\frac{1}{x}$ ti ricavi banalmente il secondo punto.

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Ah ok era così semplice.

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"Half95":[quote="#DIV/0!"]Grazie tante . In particolare cercavo la dimostrazione di questo, dato che non riesco a trovarla da nessuna parte.
$\lim_{n\to \infty}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887...$
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n}}{F_{n+1}}=\frac{1}{\phi }=\phi -1=0,6180339887....$
Grazie

da cui passando al limite trovi $x=1+\frac{1}{x}$ risolvi l equazione e trovi $\phi$.
[/quote]Intendi risolvendo il limite?

[Half95]

più che risolvere intendo chiami x il suo risultato che è quello che cerchi

[bellerofonte02]

ciao a tutti. mi potreste spiagare perchè il limite si scompone in $\lim_{n\to \infty}{\frac{F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{F_{n}}{F_{n}}}+\lim_{n\to \infty}{\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}$ e come poi si passa all'equazione $x=1+1/x$. Grazie mille

[axpgn]

Dovresti saperlo dopo quel thread ...

La successione di Fibonacci è $ F_(n+1)=F_n+F_(n-1)$, dividi tutto per $F_n$ e passi al limite $ lim_(n+infty) F_(n+1)/F_n=lim_(n+infty) F_n/F_n + lim_(n+infty) F_(n-1)/F_n$.

Ora, ammesso che esista finito il limite di sinistra (anche questo andrebbe dimostrato ...) lo chiamiamo $x$.

Perciò l'espressione diventa $x=1+1/x$

Cordialmente, Alex

[bellerofonte02]

Ah ok grazie. È che con i limiti non ho molta dimestichezza (anzi proprio per niente :-)).Grazie ancora una volta