Stima di \( \Vert \nabla \phi \Vert \) con \(\Vert \phi \Vert\)

[Paolo902]

Problema. Sia \( \phi\ \colon \mathbb R^n \to [0,+\infty )\) una funzione di classe $C^2$ a supporto compatto. Allora la funzione
\[
\begin{split}
H \colon & \mathbb R^n \to [0,+\infty) \\
& x \mapsto \begin{cases} 0 & \phi(x)=0 \\ \frac{\vert \nabla \phi(x)\vert^2}{\phi(x)} & \text{ altrimenti }\end{cases}
\end{split}
\]
è limitata.
Non ho la soluzione, ma ho un'idea che illustro con dettagli di seguito.

Fissiamo $x \in \RR^n$ e sia $h>0$. Allora \( \phi(x+h)=\phi(x)+\phi^{\prime}(x)h + \frac{\phi^{\prime\prime}(\xi)}{2}h^2\) per Taylor (la notazione è quella per funzioni di una variabile, ma tutto si estende prendendo gradiente e hessiana per funzioni da $\RR^n$); dalla relazione di sopra si trae
\[
\phi^{\prime}(x) = \frac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h} -\frac{\phi^{\prime\prime}(\xi)}{2}h
\]
da cui
\[
\Vert \phi^{\prime} \Vert_{\infty} \le \frac{2\Vert \phi \Vert_{\infty}}{h} + \frac{\Vert \phi^{\prime\prime}\Vert_{\infty}}{2}h
\]
per ogni $h$; ergo prendendo l'inf a secondo membro (si studia la funzione di $h$) si trova che il minimo è assunto in corrispondenza di \( h=2\sqrt{\frac{\Vert \phi \Vert }{\Vert \phi^{\prime\prime} \Vert}}\) e si ha
\[
\Vert \phi^{\prime}\Vert \le 2 \sqrt{\Vert \phi \Vert \Vert \phi^{\prime\prime} \Vert}.
\]
Da questo segue l'asserto, perché si ha
\[
\Vert \phi^{\prime}\Vert^2 \le K \Vert \phi \Vert
\]
da cui
\[
H(x)\le K, \qquad \forall x \in \mathbb R^n
\]

Qualcuno ha voglia di darmi un parere? Ma dove ho usato l'ipotesi sul supporto?
Grazie in anticipo.

[Rigel1]

Hai implicitamente usato l'ipotesi sul supporto per dire che la derivata seconda è limitata (dal momento che le derivate parziali seconde sono funzioni continue a supporto compatto).
Lo svolgimento è corretto; trovi la versione unidimensionale dell'esercizio anche su Rudin, "Principles...".

[Paolo902]

Ah già, è vero. Grazie per il controllo, Rigel; e grazie anche per il riferimento bibliografico. Ho fatto qualche ricerca e lo stesso problema, in altra veste, si trova anche qui. Grazie ancora.