Stima di un integrale doppio sul piano complesso
Ciao a tutti. Dopo una lunga assenza dovuta a una temporanea caduta di entusiasmo verso la matematica, torno a scrivere finalmente su questo bel forum.
Non sono sicuro che questa sia la sezine adatta, nel caso mi scuso, ma il problema che ho da proporre non ha trovato soluzione nemmeno da parte di alcuni miei docenti a cui mi sono rivolto, quindi ho preferito non postare nella sezione Analisi.
Veniamo al dunque. Col mio relatore di tesi stiamo analizzando un articolo di S. S. Chern (a fine post trovate le info).
Ad un certo punto, si considera, sul piano complesso, un disco di centro l'origine e raggio $R$. Sia $ \xi = \zeta + i \eta $ un fissato punto interno al disco diverso dall'origine. Posto $ z = x + iy $, il generico punto del disco, allora viene data come nota la maggiorazione
$ int int_D\frac{dxdy}{|z-\xi|}<2R $.
Purtroppo non riusciamo affatto a trovare una spiegazione di questa stima.
L'articolo si intitola "On special W-Surfaces", scritto da S.S. Chern e pubblicato nel novembre 1954 (purtroppo non ho altre informazioni).
Non sono sicuro che questa sia la sezine adatta, nel caso mi scuso, ma il problema che ho da proporre non ha trovato soluzione nemmeno da parte di alcuni miei docenti a cui mi sono rivolto, quindi ho preferito non postare nella sezione Analisi.
Veniamo al dunque. Col mio relatore di tesi stiamo analizzando un articolo di S. S. Chern (a fine post trovate le info).
Ad un certo punto, si considera, sul piano complesso, un disco di centro l'origine e raggio $R$. Sia $ \xi = \zeta + i \eta $ un fissato punto interno al disco diverso dall'origine. Posto $ z = x + iy $, il generico punto del disco, allora viene data come nota la maggiorazione
$ int int_D\frac{dxdy}{|z-\xi|}<2R $.
Purtroppo non riusciamo affatto a trovare una spiegazione di questa stima.
L'articolo si intitola "On special W-Surfaces", scritto da S.S. Chern e pubblicato nel novembre 1954 (purtroppo non ho altre informazioni).
Risposte
Se ti serve proprio [tex]$2$[/tex] come costante, ci devo pensare un po'...
Se invece vuoi un bound con una costante più grande puoi ragionare così: l'integrando è positivo, quindi allargando l'insieme d'integrazione aumenta l'integrale; se [tex]$D^\prime$[/tex] è il disco di centro [tex]$\xi$[/tex] e raggio [tex]$2R$[/tex], si ha [tex]$D\subseteq D^\prime$[/tex] e quindi:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} \leq \iint_{D^\prime} \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =4\pi R$[/tex],
in cui l'ultimo integrale è calcolato passando in coordinate polari con centro in [tex]$\xi$[/tex]:
[tex]$ \iint_{D^\prime} \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =\int_0^{2R} \int_0^{2\pi} \frac{1}{r}\ r\ \text{d} r\ \text{d} \theta =4\pi R$[/tex].
*** EDIT (una costante un po' più piccola):
A meno di rotazioni (che comunque non alterano il valore dell'integrale) si può sempre ritenere che [tex]$\eta =0$[/tex] e [tex]$\xi =\zeta \in [0,R[$[/tex]. Introducendo le coordinate polari con centro in [tex]$\xi$[/tex] l'integrale doppio si scrive:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\rho (\theta)} \frac{1}{r}\ r\ \text{d} r\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=\int_0^{2\pi} \rho (\theta)\ \text{d} \theta$[/tex],
ove [tex]$\rho(\theta)$[/tex] è la funzione che descrive il bordo di [tex]$D$[/tex] in coordinate polari; ora (se non ho sbagliato i conti) si ha [tex]$\rho (\theta)=\sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}-\zeta \cos \theta$[/tex], quindi:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =\int_0^{2\pi} \Big( \sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}-\zeta \cos \theta \Big)\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=\int_0^{2\pi} \sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=2R\ \int_0^\pi \sqrt{1-\tfrac{\zeta^2}{R^2}\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$\leq 2\pi R$[/tex],
ed evidentemente [tex]$2\pi <4\pi$[/tex]... Tuttavia ancora non ho capito come arrivare a [tex]$2$[/tex].
Se invece vuoi un bound con una costante più grande puoi ragionare così: l'integrando è positivo, quindi allargando l'insieme d'integrazione aumenta l'integrale; se [tex]$D^\prime$[/tex] è il disco di centro [tex]$\xi$[/tex] e raggio [tex]$2R$[/tex], si ha [tex]$D\subseteq D^\prime$[/tex] e quindi:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} \leq \iint_{D^\prime} \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =4\pi R$[/tex],
in cui l'ultimo integrale è calcolato passando in coordinate polari con centro in [tex]$\xi$[/tex]:
[tex]$ \iint_{D^\prime} \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =\int_0^{2R} \int_0^{2\pi} \frac{1}{r}\ r\ \text{d} r\ \text{d} \theta =4\pi R$[/tex].
*** EDIT (una costante un po' più piccola):
A meno di rotazioni (che comunque non alterano il valore dell'integrale) si può sempre ritenere che [tex]$\eta =0$[/tex] e [tex]$\xi =\zeta \in [0,R[$[/tex]. Introducendo le coordinate polari con centro in [tex]$\xi$[/tex] l'integrale doppio si scrive:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\rho (\theta)} \frac{1}{r}\ r\ \text{d} r\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=\int_0^{2\pi} \rho (\theta)\ \text{d} \theta$[/tex],
ove [tex]$\rho(\theta)$[/tex] è la funzione che descrive il bordo di [tex]$D$[/tex] in coordinate polari; ora (se non ho sbagliato i conti) si ha [tex]$\rho (\theta)=\sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}-\zeta \cos \theta$[/tex], quindi:
[tex]$\iint_D \frac{\text{d} x\ \text{d} y}{|z-\xi|} =\int_0^{2\pi} \Big( \sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}-\zeta \cos \theta \Big)\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=\int_0^{2\pi} \sqrt{R^2-\zeta^2\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$=2R\ \int_0^\pi \sqrt{1-\tfrac{\zeta^2}{R^2}\sin^2 \theta}\ \text{d} \theta$[/tex]
[tex]$\leq 2\pi R$[/tex],
ed evidentemente [tex]$2\pi <4\pi$[/tex]... Tuttavia ancora non ho capito come arrivare a [tex]$2$[/tex].
Grazie gugo per la risposta. Purtroppo però, la stima con $2\pi$ l'avevamo trovata.. Quello che non riusciamo a capire è se l'autore abbia dimenticato il $\pi$ (cosa poco probabile, trattandosi di Chern) o se effettivamente quella maggiorazione con $2R$ sia effettivamente valida e, nel caso, perchè..
Ma vi serve proprio [tex]$2$[/tex]? Non potete accontentarvi di [tex]$2\pi$[/tex]? 
*** EDIT:
Aspetta, però... Se prendi [tex]$\xi=0$[/tex] nell'integrando, allora l'integrale si calcola esplicitamente ed è proprio uguale a [tex]$2\pi R$[/tex].
Quindi il bound [tex]$\leq 2R$[/tex] è sbagliato in generale.
Forse esso è vero se si prende [tex]$\xi$[/tex] sufficientemente lontano dal centro del cerchio (infatti mi sembra che l'integrale, pensato come funzione di [tex]$\xi$[/tex], debba prendere massimo in [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo per [tex]$\xi \in \partial D$[/tex] per ragioni geometriche).
*** Aggiunta all'EDIT:
Per mostrare che quell'integrale è massimo per [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo per [tex]$\xi \in \partial D$[/tex] ragioniamo come segue.
Chiamato [tex]$u_\xi(z)$[/tex] l'integrando, l'integrale da calcolare coincide con la norma di [tex]$u_\xi (z)$[/tex] in [tex]$L^1(D)$[/tex], che denotiamo con [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D}$[/tex]; dal teorema di Fubini discende che:
(*) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}= \int_0^{+\infty} \Big| \{ z\in D:\ u_\xi (z)>t\}\Big|_2\ \text{d} t$[/tex]
ove [tex]$|\cdot |_2$[/tex] è la misura di Lebesgue nel piano (insomma, l'integrale di [tex]$u_\xi$[/tex] si calcola sommando l'area di quei foglietti sottilissimi che sono i suoi sopralivelli).
Supponiamo di prendere [tex]$\xi,\sigma \in D$[/tex] sullo stesso raggio in modo che [tex]$|\xi|>|\sigma|$[/tex] e mostriamo che [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex].
Fissato [tex]$t>0$[/tex]:
- se [tex]$t\geq \tfrac{1}{R-|\xi|}$[/tex], si ha [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 =|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex], perchè entrambi gli insiemi sono cerchi di raggio [tex]$\tfrac{1}{t}$[/tex];
- se [tex]$ \tfrac{1}{R-|\sigma|} \leq t< \tfrac{1}{R-|\xi|}$[/tex], l'insieme [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] è un cerchio completo di raggio [tex]$\tfrac{1}{t}$[/tex], mentre l'insieme [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] è un cerchio d'ugual raggio ma privato di una parte (i.e. della parte esterna al cerchio [tex]$D$[/tex]), ergo [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
- se [tex]$\tfrac{1}{R+|\sigma|}\leq t<\tfrac{1}{R-|\sigma|}$[/tex], allora gli insiemi [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] e [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] sono cerchi di raggio [tex]\tfrac{1}{t}[/tex] privati entrabi di una parte, ma mi pare si possa dimostrare con un pò di pazienza che [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex] (infatti i due insiemi sono l'uno il traslato dell'altro, quindi è chiaro che quello più vicino al centro di [tex]$D$[/tex] copre un'area maggiore);
- se [tex]$\tfrac{1}{R+|\xi|}\leq t<\tfrac{1}{R+|\sigma|}$[/tex], allora l'insieme [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] coincide con [tex]$D$[/tex], mentre [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] ne è una parte propria, quindi [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
- se [tex]$0\leq t<\tfrac{1}{R+|\xi|}$[/tex], allora gli insiemi [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] e [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] coincidono entrambi con [tex]$D$[/tex] e perciò [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 =|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
conseguentemente la (*) implica che [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex].
D'altra parte, dato che le rotazioni non cambiano l'integrale, la quantità [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D}$[/tex] non dipende dall'anomalia di [tex]$\xi$[/tex] ma solo dal suo modulo; conseguentemente per ogni [tex]$\xi,\sigma \in D$[/tex] si ha [tex]$|\xi|>|\sigma| \Rightarrow \lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex], come volevamo.
Ne viene che:
[tex]$\max_{\xi \in D} \lVert u_\xi \lVert_{1,D} =\lVert u_0 \lVert_{1,D}=2\pi R$[/tex] e [tex]$\min_{\xi \in D} \lVert u_\xi \lVert_{1,D} =\lVert u_1 \lVert_{1,D}=4 R$[/tex]
se non ho fatto male i conti.
Di conseguenza la maggiorazione [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D} \leq 2R$[/tex] non è mai vera.
Tirando le somme, tendo a credere che un [tex]$\pi$[/tex] si sia perso per strada...
*** EDIT:
Aspetta, però... Se prendi [tex]$\xi=0$[/tex] nell'integrando, allora l'integrale si calcola esplicitamente ed è proprio uguale a [tex]$2\pi R$[/tex].
Quindi il bound [tex]$\leq 2R$[/tex] è sbagliato in generale.
Forse esso è vero se si prende [tex]$\xi$[/tex] sufficientemente lontano dal centro del cerchio (infatti mi sembra che l'integrale, pensato come funzione di [tex]$\xi$[/tex], debba prendere massimo in [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo per [tex]$\xi \in \partial D$[/tex] per ragioni geometriche).
*** Aggiunta all'EDIT:
Per mostrare che quell'integrale è massimo per [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo per [tex]$\xi \in \partial D$[/tex] ragioniamo come segue.
Chiamato [tex]$u_\xi(z)$[/tex] l'integrando, l'integrale da calcolare coincide con la norma di [tex]$u_\xi (z)$[/tex] in [tex]$L^1(D)$[/tex], che denotiamo con [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D}$[/tex]; dal teorema di Fubini discende che:
(*) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}= \int_0^{+\infty} \Big| \{ z\in D:\ u_\xi (z)>t\}\Big|_2\ \text{d} t$[/tex]
ove [tex]$|\cdot |_2$[/tex] è la misura di Lebesgue nel piano (insomma, l'integrale di [tex]$u_\xi$[/tex] si calcola sommando l'area di quei foglietti sottilissimi che sono i suoi sopralivelli).
Supponiamo di prendere [tex]$\xi,\sigma \in D$[/tex] sullo stesso raggio in modo che [tex]$|\xi|>|\sigma|$[/tex] e mostriamo che [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex].
Fissato [tex]$t>0$[/tex]:
- se [tex]$t\geq \tfrac{1}{R-|\xi|}$[/tex], si ha [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 =|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex], perchè entrambi gli insiemi sono cerchi di raggio [tex]$\tfrac{1}{t}$[/tex];
- se [tex]$ \tfrac{1}{R-|\sigma|} \leq t< \tfrac{1}{R-|\xi|}$[/tex], l'insieme [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] è un cerchio completo di raggio [tex]$\tfrac{1}{t}$[/tex], mentre l'insieme [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] è un cerchio d'ugual raggio ma privato di una parte (i.e. della parte esterna al cerchio [tex]$D$[/tex]), ergo [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
- se [tex]$\tfrac{1}{R+|\sigma|}\leq t<\tfrac{1}{R-|\sigma|}$[/tex], allora gli insiemi [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] e [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] sono cerchi di raggio [tex]\tfrac{1}{t}[/tex] privati entrabi di una parte, ma mi pare si possa dimostrare con un pò di pazienza che [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex] (infatti i due insiemi sono l'uno il traslato dell'altro, quindi è chiaro che quello più vicino al centro di [tex]$D$[/tex] copre un'area maggiore);
- se [tex]$\tfrac{1}{R+|\xi|}\leq t<\tfrac{1}{R+|\sigma|}$[/tex], allora l'insieme [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] coincide con [tex]$D$[/tex], mentre [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] ne è una parte propria, quindi [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 <|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
- se [tex]$0\leq t<\tfrac{1}{R+|\xi|}$[/tex], allora gli insiemi [tex]$\{ u_\sigma >t\}$[/tex] e [tex]$\{ u_\xi >t\}$[/tex] coincidono entrambi con [tex]$D$[/tex] e perciò [tex]$|\{ u_\xi >t\}|_2 =|\{ u_\sigma >t\}|_2$[/tex];
conseguentemente la (*) implica che [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex].
D'altra parte, dato che le rotazioni non cambiano l'integrale, la quantità [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D}$[/tex] non dipende dall'anomalia di [tex]$\xi$[/tex] ma solo dal suo modulo; conseguentemente per ogni [tex]$\xi,\sigma \in D$[/tex] si ha [tex]$|\xi|>|\sigma| \Rightarrow \lVert u_\xi \rVert_{1,D}< \lVert u_\sigma \rVert_{1,D}$[/tex], come volevamo.
Ne viene che:
[tex]$\max_{\xi \in D} \lVert u_\xi \lVert_{1,D} =\lVert u_0 \lVert_{1,D}=2\pi R$[/tex] e [tex]$\min_{\xi \in D} \lVert u_\xi \lVert_{1,D} =\lVert u_1 \lVert_{1,D}=4 R$[/tex]
se non ho fatto male i conti.
Di conseguenza la maggiorazione [tex]$\lVert u_\xi \lVert_{1,D} \leq 2R$[/tex] non è mai vera.
Tirando le somme, tendo a credere che un [tex]$\pi$[/tex] si sia perso per strada...
Penso che per i nostri scopi ci possiamo accontentare di $2\pi$, era solo che volevamo capire..
Purtroppo a me mancano un sacco di basi per capire la tua argomentazione, quindi la proporrò al mio prof..
Ti ringrazio tantissimo per il tuo aiuto =)
Purtroppo a me mancano un sacco di basi per capire la tua argomentazione, quindi la proporrò al mio prof..
Ti ringrazio tantissimo per il tuo aiuto =)
Guarda, secondo me non ti manca nulla. 
Per capire la (*) basta conoscere il principio di Cavalieri della Geometria classica; mentre, per capire i vari punti del ragionamento, basta fare dei disegnini dei sopralivelli di [tex]$u_\xi$[/tex]... Insomma, mi pare molto semplice e poco formale come cosa.
Prova un po'.
Per capire la (*) basta conoscere il principio di Cavalieri della Geometria classica; mentre, per capire i vari punti del ragionamento, basta fare dei disegnini dei sopralivelli di [tex]$u_\xi$[/tex]... Insomma, mi pare molto semplice e poco formale come cosa.
Prova un po'.
Io "sopralivello" non ho idea di cosa voglia dire.. Così come non conosco la misura di Lebesgue nè lo spazio $L^1(D)$ di cui tu parli..
Sono un povero laureando di laurea triennale a Cagliari..
Sono un povero laureando di laurea triennale a Cagliari..
Non hai mai visto la misura di Lebesgue alla triennale? 
Strano.
***
Vabbè, allora immaginala così.
Tanto per capirci meglio, al posto del dominio bidimensionale [tex]$D$[/tex] prendiamo un intervallo di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ad esempio [tex]$[-1,1]$[/tex], e scelto [tex]$\xi \in [-1,1]$[/tex] consideriamo la funzione [tex]$u_\xi (x)=\tfrac{1}{\sqrt{|x-\xi|}}$[/tex].
La funzione [tex]$u_\xi (x)$[/tex] è integrabile secondo Riemann in [tex]$[-1,1]$[/tex]: infatti essa è positiva e continua tranne che nel punto [tex]$\xi$[/tex], in cui è un infinito d'ordine [tex]$=\tfrac{1}{2}<1$[/tex] (Analisi I!); conseguentemente la quantità:
(*) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} :=\int_{-1}^1 u_\xi (x)\ \text{d} x$[/tex]
è finita per ogni [tex]$\xi$[/tex].
Per trovare un modo alternativo di esprimere [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex], facciamo un disegno.
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);[/asvg]
Per l'interpretazione geometrica dell'integrale, la quantità [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex] rappresenta l'area della regione di piano [tex]$R_\xi$[/tex] compresa tra il grafico di [tex]$u_\xi$[/tex] e l'asse delle ascisse.
Euristicamente, l'integrale (*) ti sta dicendo che puoi calcolare l'area di [tex]$R_\xi$[/tex] "sommando" le lunghezze degli infiniti segmenti verticali che si ottengono sezionando [tex]$R_\xi$[/tex] con rette verticali (parallele all'asse [tex]$y$[/tex]) moltiplicate per [tex]$\text{d} x$[/tex] (in figura qualche segmento è tracciato in arancione):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="orange"; line([-1,0],[-1,0.79]); line([-0.66,0],[-0.66,0.89]); line([-0.33,0],[-0.33,1.035]); line([0,0],[0,1.29]); line([0.33, 0],[0.33,1.94]); line([0.66,0],[0.66,3.87]); line([1,0],[1,1.58]);[/asvg]
Ebbene, il teorema di Fubini ti dice che puoi fare lo stesso, ma con i segmenti orizzontali: invero, l'area di [tex]$R_\xi$[/tex] si può ottenere "sommando" le lunghezze di tutti gli infiniti segmentini che si ottengono intersecando [tex]$R_\xi$[/tex] con rette parallele all'assa [tex]$x$[/tex] moltiplicate per [tex]$\text{d} y$[/tex] (in figura alcuni segmentini in rosso):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([-0.4,1],[1,1]); line([0.489,3],[0.711,3]); line([0.35,2],[0.85,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.537,4],[0.662,4]); line([0.155,1.5],[1,1.5]); line([0.44,2.5],[0.76,2.5]); line([0.518,3.5],[0.681,3.5]);[/asvg]
Il problema è: quanto sono lunghi i segmentini in rosso?
Fissiamo un livello [tex]$y\in [0,+\infty[$[/tex]: il segmentino che si ottiene sezionando [tex]$R_\xi$[/tex] all'altezza [tex]$y$[/tex] si può proiettare sull'asse [tex]$x$[/tex] in un insieme (che è un intervallo) e si vede dal disegno che tale insieme contiene tutti i soli i punti [tex]$x\in [-1,1]$[/tex] per i quali risulta [tex]$u_\xi (x)>y$[/tex] (in blu nella figura che segue):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
stroke="grey"; line([0.35,0],[0.35,2]); line([0.85,0],[0.85,2]);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([0.35,2],[0.85,2]);
stroke="blue"; strokewidth="2"; line([0.35,0],[0.85,0]);[/asvg]
Conseguentemente, la lunghezza della sezione di [tex]$R_\xi$[/tex] all'altezza [tex]$y$[/tex] coincide con la lunghezza dell'insieme [tex]$\{ x\in [-1,1]:\ u_\xi (x)>y\}$[/tex]: tale insieme si chiama sopralivello di [tex]$u_\xi$[/tex] ad altezza [tex]$y$[/tex] (o anche, più semplicemente, insieme di livello [tex]$y$[/tex] di [tex]$u_\xi$[/tex]) e si denota sinteticamente col simbolo [tex]$\{ u_\xi >y\}$[/tex].
Inoltre, per il ragionamento euristico fatto in precedenza si ha:
(**) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} =\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\xi >y\}\Big|_1\ \text{d} y$[/tex]
ove [tex]$|\cdot |_1$[/tex] è la misura degli insiemi della retta reale (almeno questa, quando hai studiato l'integrazione di Riemann, l'hai dovuta vedere...) e la "somma delle infinite lunghezze moltiplicate per [tex]$\text{d} y$[/tex]" è sostituita con un intergale esteso a [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
La (**) si può usare per mostrare facilmente che presi [tex]$0\leq \sigma <\xi \leq 1$[/tex] si ha [tex]$\lVert u_\xi\rVert_{1,[-1,1]} <\lVert u_\sigma \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex].
Fissiamo [tex]$\sigma$[/tex] e [tex]$\xi$[/tex] come richiesto e facciamo due grafici di [tex]$u_\xi$[/tex] ed [tex]$u_\sigma$[/tex], evidenziando le sezioni delle regioni [tex]$R_\xi$[/tex] ed [tex]$R_\sigma $[/tex] a stesse altezze [tex]$y$[/tex] (in rosso quelle in [tex]$R_\xi$[/tex], in azzurro quelle in [tex]$R_\sigma$[/tex]):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes(1,0.5,"labels",1,0.5,"grid");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([-0.4,1],[1,1]); line([0.489,3],[0.711,3]); line([0.35,2],[0.85,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.537,4],[0.662,4]); line([0.155,1.5],[1,1.5]); line([0.44,2.5],[0.76,2.5]); line([0.518,3.5],[0.681,3.5]);[/asvg]
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes(1,0.5,"labels",1,0.5,"grid");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.3)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="dodgerblue"; line([-0.7,1],[1,1]); line([0.189,3],[0.41,3]); line([0.05,2],[0.55,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.237,4],[0.36,4]); line([-0.144,1.5],[0.744,1.5]); line([0.14,2.5],[0.46,2.5]); line([0.218,3.5],[0.38,3.5]);[/asvg]
Confrontando le lunghezze dei segmenti evidenziati, si vede che per [tex]$y$[/tex] sufficientemente grande e sufficientemente piccolo le lunghezze degli insiemi [tex]$\{ u_\xi >y\}$[/tex] ed [tex]$\{ u_\sigma >y\}$[/tex] coincidono; d'altra parte ci sono infiniti [tex]$y$[/tex] (nella figura sono più o meno quello compresi tra [tex]$1.6$[/tex] e [tex]$0.8$[/tex]; nella realtà sono i valori di [tex]$y$[/tex] compresi tra [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{1+\xi}}$[/tex] e [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{1-\xi}}$[/tex]) per i quali si ha evidentemente [tex]$|\{ u_\sigma >y\}|_1 >|\{ u_\xi >y\}|_1$[/tex]; conseguentemente risulta:
[tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} =\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\xi >y\}\Big|_1\ \text{d} y <\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\sigma >y\}\Big|_1\ \text{d} y=\lVert u_\sigma \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex],
come volevamo.
Non è difficile altresì mostrare (basta usare il cambiamento di variabile [tex]$t=-x$[/tex] nella (*)) che [tex]$\lVert u_{-\xi} \rVert_{1,[-1,1]} =\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex], sicché il valore dell'integrale non dipende dal segno di [tex]$\xi$[/tex], ma solo da [tex]$|\xi|$[/tex] (ossia dalla distanza di [tex]$\xi$[/tex] da [tex]$0$[/tex]).
Consideriamo allora la funzione:
[tex]$\mathcal{N}:[-1,1]\ni \xi \mapsto \lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} \in [0,+\infty[$[/tex];
per quanto appena detto risulta [tex]$\mathcal{N}(\xi)=\mathcal{N}(-\xi)$[/tex] per cui la funzione è pari; inoltre, per quanto visto più sopra, la [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] risulta decrescente in [tex]$[0,1]$[/tex] e dunque crescente in [tex]$[-1,0]$[/tex] (per simmetria).
Ne viene che [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] prende massimo assoluto in [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo assoluto in [tex]$\xi =\pm 1$[/tex]; facendo i conti si trova:
[tex]$\mathcal{N}(0)=\int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{|x|}}=2\int_0^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{x}} =[4\sqrt{x}]_0^1=4$[/tex]
[tex]$\mathcal{N}(\pm 1)=\int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{x+1}} =[2\sqrt{x+1}]_{-1}^1=2\sqrt{2}$[/tex],
ergo:
[tex]$\max_{\xi \in [-1,1]} \mathcal{N}(\xi)=4$[/tex] e [tex]$\min_{\xi \in [-1,1]} \mathcal{N}(\xi)=2\sqrt{2}\approx 2.828$[/tex],
ossia:
[tex]$2\sqrt{2}\leq \int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{|x-\xi|}} \leq 4$[/tex].
Il grafico della funzione [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] è grossomodo il seguente:
***
Lo stesso discorso si può fare nel tuo caso.
Ovviamente, questa volta i sopralivelli di [tex]$u_\xi$[/tex] non saranno più intervalli di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ma cerchi di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], e la rappresentazione grafica sarà un po' diversa (con una dimensione in più!); tuttavia la situazione teorica è più o meno la stessa... Basta farsi dei disegnini per rendersene conto e capire il mio post precedente.
Ed è proprio perchè i tuoi sopralivelli sono dei cerchi che viene fuori quel [tex]$\pi$[/tex] nella disuguaglianza.
Strano.
***
Vabbè, allora immaginala così.
Tanto per capirci meglio, al posto del dominio bidimensionale [tex]$D$[/tex] prendiamo un intervallo di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ad esempio [tex]$[-1,1]$[/tex], e scelto [tex]$\xi \in [-1,1]$[/tex] consideriamo la funzione [tex]$u_\xi (x)=\tfrac{1}{\sqrt{|x-\xi|}}$[/tex].
La funzione [tex]$u_\xi (x)$[/tex] è integrabile secondo Riemann in [tex]$[-1,1]$[/tex]: infatti essa è positiva e continua tranne che nel punto [tex]$\xi$[/tex], in cui è un infinito d'ordine [tex]$=\tfrac{1}{2}<1$[/tex] (Analisi I!); conseguentemente la quantità:
(*) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} :=\int_{-1}^1 u_\xi (x)\ \text{d} x$[/tex]
è finita per ogni [tex]$\xi$[/tex].
Per trovare un modo alternativo di esprimere [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex], facciamo un disegno.
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);[/asvg]
Per l'interpretazione geometrica dell'integrale, la quantità [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex] rappresenta l'area della regione di piano [tex]$R_\xi$[/tex] compresa tra il grafico di [tex]$u_\xi$[/tex] e l'asse delle ascisse.
Euristicamente, l'integrale (*) ti sta dicendo che puoi calcolare l'area di [tex]$R_\xi$[/tex] "sommando" le lunghezze degli infiniti segmenti verticali che si ottengono sezionando [tex]$R_\xi$[/tex] con rette verticali (parallele all'asse [tex]$y$[/tex]) moltiplicate per [tex]$\text{d} x$[/tex] (in figura qualche segmento è tracciato in arancione):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="orange"; line([-1,0],[-1,0.79]); line([-0.66,0],[-0.66,0.89]); line([-0.33,0],[-0.33,1.035]); line([0,0],[0,1.29]); line([0.33, 0],[0.33,1.94]); line([0.66,0],[0.66,3.87]); line([1,0],[1,1.58]);[/asvg]
Ebbene, il teorema di Fubini ti dice che puoi fare lo stesso, ma con i segmenti orizzontali: invero, l'area di [tex]$R_\xi$[/tex] si può ottenere "sommando" le lunghezze di tutti gli infiniti segmentini che si ottengono intersecando [tex]$R_\xi$[/tex] con rette parallele all'assa [tex]$x$[/tex] moltiplicate per [tex]$\text{d} y$[/tex] (in figura alcuni segmentini in rosso):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([-0.4,1],[1,1]); line([0.489,3],[0.711,3]); line([0.35,2],[0.85,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.537,4],[0.662,4]); line([0.155,1.5],[1,1.5]); line([0.44,2.5],[0.76,2.5]); line([0.518,3.5],[0.681,3.5]);[/asvg]
Il problema è: quanto sono lunghi i segmentini in rosso?
Fissiamo un livello [tex]$y\in [0,+\infty[$[/tex]: il segmentino che si ottiene sezionando [tex]$R_\xi$[/tex] all'altezza [tex]$y$[/tex] si può proiettare sull'asse [tex]$x$[/tex] in un insieme (che è un intervallo) e si vede dal disegno che tale insieme contiene tutti i soli i punti [tex]$x\in [-1,1]$[/tex] per i quali risulta [tex]$u_\xi (x)>y$[/tex] (in blu nella figura che segue):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
stroke="grey"; line([0.35,0],[0.35,2]); line([0.85,0],[0.85,2]);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([0.35,2],[0.85,2]);
stroke="blue"; strokewidth="2"; line([0.35,0],[0.85,0]);[/asvg]
Conseguentemente, la lunghezza della sezione di [tex]$R_\xi$[/tex] all'altezza [tex]$y$[/tex] coincide con la lunghezza dell'insieme [tex]$\{ x\in [-1,1]:\ u_\xi (x)>y\}$[/tex]: tale insieme si chiama sopralivello di [tex]$u_\xi$[/tex] ad altezza [tex]$y$[/tex] (o anche, più semplicemente, insieme di livello [tex]$y$[/tex] di [tex]$u_\xi$[/tex]) e si denota sinteticamente col simbolo [tex]$\{ u_\xi >y\}$[/tex].
Inoltre, per il ragionamento euristico fatto in precedenza si ha:
(**) [tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} =\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\xi >y\}\Big|_1\ \text{d} y$[/tex]
ove [tex]$|\cdot |_1$[/tex] è la misura degli insiemi della retta reale (almeno questa, quando hai studiato l'integrazione di Riemann, l'hai dovuta vedere...) e la "somma delle infinite lunghezze moltiplicate per [tex]$\text{d} y$[/tex]" è sostituita con un intergale esteso a [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
La (**) si può usare per mostrare facilmente che presi [tex]$0\leq \sigma <\xi \leq 1$[/tex] si ha [tex]$\lVert u_\xi\rVert_{1,[-1,1]} <\lVert u_\sigma \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex].
Fissiamo [tex]$\sigma$[/tex] e [tex]$\xi$[/tex] come richiesto e facciamo due grafici di [tex]$u_\xi$[/tex] ed [tex]$u_\sigma$[/tex], evidenziando le sezioni delle regioni [tex]$R_\xi$[/tex] ed [tex]$R_\sigma $[/tex] a stesse altezze [tex]$y$[/tex] (in rosso quelle in [tex]$R_\xi$[/tex], in azzurro quelle in [tex]$R_\sigma$[/tex]):
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes(1,0.5,"labels",1,0.5,"grid");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.6)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="red"; line([-0.4,1],[1,1]); line([0.489,3],[0.711,3]); line([0.35,2],[0.85,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.537,4],[0.662,4]); line([0.155,1.5],[1,1.5]); line([0.44,2.5],[0.76,2.5]); line([0.518,3.5],[0.681,3.5]);[/asvg]
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=0;ymax=4;
axes(1,0.5,"labels",1,0.5,"grid");
plot("1/(sqrt(abs(x-0.3)))",-1,1);
strokewidth="1.5";
stroke="dodgerblue"; line([-0.7,1],[1,1]); line([0.189,3],[0.41,3]); line([0.05,2],[0.55,2]); line([-1,0.5],[1,0.5]); line([0.237,4],[0.36,4]); line([-0.144,1.5],[0.744,1.5]); line([0.14,2.5],[0.46,2.5]); line([0.218,3.5],[0.38,3.5]);[/asvg]
Confrontando le lunghezze dei segmenti evidenziati, si vede che per [tex]$y$[/tex] sufficientemente grande e sufficientemente piccolo le lunghezze degli insiemi [tex]$\{ u_\xi >y\}$[/tex] ed [tex]$\{ u_\sigma >y\}$[/tex] coincidono; d'altra parte ci sono infiniti [tex]$y$[/tex] (nella figura sono più o meno quello compresi tra [tex]$1.6$[/tex] e [tex]$0.8$[/tex]; nella realtà sono i valori di [tex]$y$[/tex] compresi tra [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{1+\xi}}$[/tex] e [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{1-\xi}}$[/tex]) per i quali si ha evidentemente [tex]$|\{ u_\sigma >y\}|_1 >|\{ u_\xi >y\}|_1$[/tex]; conseguentemente risulta:
[tex]$\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} =\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\xi >y\}\Big|_1\ \text{d} y <\int_0^{+\infty} \Big| \{ u_\sigma >y\}\Big|_1\ \text{d} y=\lVert u_\sigma \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex],
come volevamo.
Non è difficile altresì mostrare (basta usare il cambiamento di variabile [tex]$t=-x$[/tex] nella (*)) che [tex]$\lVert u_{-\xi} \rVert_{1,[-1,1]} =\lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]}$[/tex], sicché il valore dell'integrale non dipende dal segno di [tex]$\xi$[/tex], ma solo da [tex]$|\xi|$[/tex] (ossia dalla distanza di [tex]$\xi$[/tex] da [tex]$0$[/tex]).
Consideriamo allora la funzione:
[tex]$\mathcal{N}:[-1,1]\ni \xi \mapsto \lVert u_\xi \rVert_{1,[-1,1]} \in [0,+\infty[$[/tex];
per quanto appena detto risulta [tex]$\mathcal{N}(\xi)=\mathcal{N}(-\xi)$[/tex] per cui la funzione è pari; inoltre, per quanto visto più sopra, la [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] risulta decrescente in [tex]$[0,1]$[/tex] e dunque crescente in [tex]$[-1,0]$[/tex] (per simmetria).
Ne viene che [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] prende massimo assoluto in [tex]$\xi =0$[/tex] e minimo assoluto in [tex]$\xi =\pm 1$[/tex]; facendo i conti si trova:
[tex]$\mathcal{N}(0)=\int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{|x|}}=2\int_0^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{x}} =[4\sqrt{x}]_0^1=4$[/tex]
[tex]$\mathcal{N}(\pm 1)=\int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{x+1}} =[2\sqrt{x+1}]_{-1}^1=2\sqrt{2}$[/tex],
ergo:
[tex]$\max_{\xi \in [-1,1]} \mathcal{N}(\xi)=4$[/tex] e [tex]$\min_{\xi \in [-1,1]} \mathcal{N}(\xi)=2\sqrt{2}\approx 2.828$[/tex],
ossia:
[tex]$2\sqrt{2}\leq \int_{-1}^1 \frac{\text{d} x}{\sqrt{|x-\xi|}} \leq 4$[/tex].
Il grafico della funzione [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] è grossomodo il seguente:
***
Lo stesso discorso si può fare nel tuo caso.
Ovviamente, questa volta i sopralivelli di [tex]$u_\xi$[/tex] non saranno più intervalli di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], ma cerchi di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], e la rappresentazione grafica sarà un po' diversa (con una dimensione in più!); tuttavia la situazione teorica è più o meno la stessa... Basta farsi dei disegnini per rendersene conto e capire il mio post precedente.
Ed è proprio perchè i tuoi sopralivelli sono dei cerchi che viene fuori quel [tex]$\pi$[/tex] nella disuguaglianza.
M'è piaciuta la spiegazione della formula $int u(x)dx=int_0^infty |{u>t}|\ dt$. In effetti vista così, coi segmentini orizzontali, è perfettamente chiara ed intuitiva.
OT
ciao gugo,
non è che per caso usi mathematica per fare i grafici?in caso affermativo, non è che potresti postare il codice?
quando devo fare i grafici uso la funzione plot ,tuttavia non riesco a fare grafici un po' più complessi.
grazie
OT
ciao gugo,
non è che per caso usi mathematica per fare i grafici?in caso affermativo, non è che potresti postare il codice?
quando devo fare i grafici uso la funzione plot ,tuttavia non riesco a fare grafici un po' più complessi.
grazie
OT
@dissonance: In quella formula, a primo membro, ci va [tex]$|u|$[/tex] in generale; ma in questo caso [tex]$u\geq0$[/tex], quindi non c'è problema.
E, per quanto riguarda la spiegazione, mi fa piacere ti sia piaciuta.
@baldo89:
Ho usato il seguente:
[tex]$\text{Plot} \left[ \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x-t}}\ \text{d}x,\ \{t,-1,1\},\ \text{PlotRange} \to \{\{ -1,1\}, \{0,4\}\} \right]$[/tex].
P.S.: Posto:
[tex]$\mathcal{N}(\xi):=\int_{D} \frac{1}{|x-\xi|^{N-1}}\ \text{d} x$[/tex],
ove: [tex]$N\geq 2$[/tex] è naturale, [tex]$D:=\overline{B}(o;R) \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] (con [tex]$R>0$[/tex]), [tex]$\xi \in D$[/tex]; con lo stesso tipo di ragionamento si può pensare di dimostrare che [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] è una funzione radiale decrescente e quindi prende il suo massimo in [tex]$0$[/tex] ed il suo minimo su [tex]$\partial D$[/tex].
Ovviamente il massimo è:
[tex]$\mathcal{N}(0)=\int_0^R \left\{ \int_{\partial B(o;r)} \frac{1}{r^{N-1}}\ \text{d} S\right\}\ \text{d} r$[/tex] (passaggio in coordinate polari con polo in [tex]$o$[/tex])
[tex]$=\int_0^R\frac{1}{r^{N-1}} N\omega_N\ r^{N-1}\ \text{d} r$[/tex] ([tex]$\omega_N$[/tex] è la misura della palla unitaria di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]*)
[tex]$=N\omega_N R$[/tex],
mentre il minimo è difficile da calcolare.
__________
* Ad esempio [tex]$\omega_2=\pi$[/tex], [tex]$\omega_3=\tfrac{4}{3}\pi$[/tex]; in generale la costante [tex]$\omega_N$[/tex] ha la seguente espressione:
[tex]$\omega_N=\frac{\pi^{\frac{N}{2}}}{\Gamma (\frac{N}{2} +1)}$[/tex],
ove [tex]$\Gamma (\cdot )$[/tex] è la funzione gamma di Eulero.
E, per quanto riguarda la spiegazione, mi fa piacere ti sia piaciuta.
@baldo89:
Ho usato il seguente:
[tex]$\text{Plot} \left[ \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x-t}}\ \text{d}x,\ \{t,-1,1\},\ \text{PlotRange} \to \{\{ -1,1\}, \{0,4\}\} \right]$[/tex].
P.S.: Posto:
[tex]$\mathcal{N}(\xi):=\int_{D} \frac{1}{|x-\xi|^{N-1}}\ \text{d} x$[/tex],
ove: [tex]$N\geq 2$[/tex] è naturale, [tex]$D:=\overline{B}(o;R) \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] (con [tex]$R>0$[/tex]), [tex]$\xi \in D$[/tex]; con lo stesso tipo di ragionamento si può pensare di dimostrare che [tex]$\mathcal{N}(\xi)$[/tex] è una funzione radiale decrescente e quindi prende il suo massimo in [tex]$0$[/tex] ed il suo minimo su [tex]$\partial D$[/tex].
Ovviamente il massimo è:
[tex]$\mathcal{N}(0)=\int_0^R \left\{ \int_{\partial B(o;r)} \frac{1}{r^{N-1}}\ \text{d} S\right\}\ \text{d} r$[/tex] (passaggio in coordinate polari con polo in [tex]$o$[/tex])
[tex]$=\int_0^R\frac{1}{r^{N-1}} N\omega_N\ r^{N-1}\ \text{d} r$[/tex] ([tex]$\omega_N$[/tex] è la misura della palla unitaria di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]*)
[tex]$=N\omega_N R$[/tex],
mentre il minimo è difficile da calcolare.
__________
* Ad esempio [tex]$\omega_2=\pi$[/tex], [tex]$\omega_3=\tfrac{4}{3}\pi$[/tex]; in generale la costante [tex]$\omega_N$[/tex] ha la seguente espressione:
[tex]$\omega_N=\frac{\pi^{\frac{N}{2}}}{\Gamma (\frac{N}{2} +1)}$[/tex],
ove [tex]$\Gamma (\cdot )$[/tex] è la funzione gamma di Eulero.
Il mio corso di laurea fa ridere.. ma purtroppo non lo potevo sapere prima di iscrivermi.. ho colmato alcuni buchi inammissibili (come le azioni di gruppo in algebra, che da noi non si fanno!!!) in erasmus, ma purtroppo non tutti..
Ok, ma non esagerare con le critiche.
Spero di averti chiarito un po' le idee, così da andare tranquillo dal tuo relatore.
Spero di averti chiarito un po' le idee, così da andare tranquillo dal tuo relatore.
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