Spezzate inscritte in un cerchio [costruzione]

[Seneca1]

Provo a raccontarvi il seguente problemino come posso (nel senso che probabilmente non è il miglior modo per porlo). Comunque...

Problema. Sia $Gamma$ una circonferenza nel piano euclideo $RR^2$ e siano, sempre in $RR^2$, $d_1 , d_2 , d_3$ tre direzioni fissate. Sia $x_0 \in Gamma$ fissato. Partendo da $x_0$ tracciamo una corda avente $d_1$ come direzione e incidente $Gamma$ nel punto $x_1$; da $x_1$ tracciamo una corda avente $d_2$ come direzione e incidente $Gamma$ nel punto $x_2$ e poi ancora un'altra corda, da $x_2$ con direzione $d_3$ incidente $Gamma$ in $x_3$.

Si ripeta la costruzione fatta partendo stavolta da $x_3$ ($d_1 , d_2 , d_3$ quelle fissate inizialmente). La spezzata che si ottiene "incollando" le 6 corde risulta chiusa.

Giustificare formalmente questo fatto. Buon divertimento.

EDIT: Possiedo una soluzione.

[totissimus]

Faccio un tentativo

Le corde \( AB\) e \( CD\) sono parallele.

\( \displaystyle A\widehat{B}O=\frac{\pi-\alpha}{2}\)


\( \displaystyle O\widehat{B}C=\frac{\pi-\omega}{2}\)


\( \displaystyle B\widehat{C}D=\pi-A\widehat{B}C=\pi-\left( \pi-\frac{\alpha+\omega}{2}\right)=\frac{\alpha+\omega}{2}\) ( angoli coniugati interni di rette parallele )

\( \displaystyle O\widehat{C}D=B\widehat{C}D-O\widehat{C}D=\frac{\alpha+\omega}{2}-\frac{\pi-\omega}{2}=\frac{\alpha+2\omega-\pi}{2}\)

\( \displaystyle \beta=2\pi-\alpha-2\omega\)

Semplici considerazioni mostrano che la relazione rimane valida qualunque sia la posizione dei punti pur di considerare gli angoli orientati.

Consideriamo adesso come origine degli angoli la retta \( \displaystyle Ox_0\) e siano \( \displaystyle \alpha_i\) \( \displaystyle i=1 \cdots 6\) gli angoli corrispondenti agli altri punti

Punto \(\displaystyle x_4\) :

\( \displaystyle \alpha=\alpha_1, \omega= \alpha_3-\alpha_1\) quindi: \( \displaystyle \beta= 2\pi-[\alpha_1+2(\alpha_3-\alpha_1)]=2\pi-2\alpha_3+\alpha_1\),

\( \displaystyle \alpha_4=\alpha_3+\beta=2\pi-\alpha_3+\alpha_1\)

Punto \( \displaystyle x_5\)

\( \displaystyle \alpha= \alpha_2-\alpha_1, \omega=\alpha_4-\alpha_2\) quindi \( \displaystyle \beta=2\pi -[\alpha_2-\alpha_1+2(\alpha_4-\alpha_2)]= \cdots =-2\pi+2\alpha_3-\alpha_1+\alpha_2\)

\( \displaystyle \alpha_5=\alpha_4+\beta=\alpha_2+\alpha_3\)

Punto \( \displaystyle x_6\)

\( \displaystyle \alpha=\alpha_3-\alpha_2, \omega=\alpha_5-\alpha_3\) quindi \( \displaystyle \beta=2\pi-[\alpha_3-\alpha_2+2(\alpha_5-\alpha_3)]=\cdot = 2\pi-\alpha_3-\alpha_2\)

\( \displaystyle \alpha_6=\alpha_5+\beta= 2\pi\)

Quindi \( X_6=X_0\)