Spazio pettine

[red3]

in R² sia E = {(x, y):0≤ x ≤a, 0≤ Y≤1}, a>0.
In E si definisca, per ogni coppia di punti p =(x, y), p' =(x', y'):
|PP'|=|y-y'|se x=x'
|PP'| I = y+y' +|x-x'| se x≠x '.
Si dimostri che così E è uno spazio metrico e si descrivano le palle aperte di raggio R.
Si dimostri che lo spazio è connesso.

[hydro1]

E' connesso per archi, per andare da $(x,y)$ a $(x',y')$ basta andare in linea retta da $(x,y)$ a $(x,0)$, poi a $(x',0)$ e poi a $(x',y')$. I tre archi sono continui perchè intorni aperti sufficientemente piccoli dei punti di quello spazio sono omeomorfi ad intervalli aperti di $\mathbb R$.