Spazi di Sobolev, derivate deboli.

[fu^2]

Ho tre dimostrazioni di questo fatto, due mie e una suggerita da un mio compagno di corso.

Sia [tex]u\in L_{loc}^1(I)[/tex] con [tex]I[/tex] un intervallo reale.
Dimostrare che se [tex]\displaystyle\int_I u \phi^{(k)}=0[/tex] per ogni [tex]\phi\in C_0^{\infty}(I)[/tex] allora [tex]u(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} A_j x^j[/tex] q.o., ovvero è un polinomio di grado al più [tex]k-1[/tex].

[dissonance]

Una risposta rapida ma non beliissima passa dalle distribuzioni. Come dicevamo in questo post, ogni distribuzione su un intervallo ha primitive e due primitive differiscono per una costante additiva. L'ipotesi data equivale a

[tex]u^{(k)}\equiv 0[/tex] in [tex]\mathcal{D}'(I)[/tex]

allora [tex]u^{(k-1)}\equiv A[/tex] per una costante [tex]A[/tex];

per lo stesso motivo,

[tex]$u^{(k-2)}\equiv Bx+C[/tex] per costanti [tex]B, C[/tex];

e così via, fino a

[tex]$u\equiv \sum_{j=0}^{k-1} A_jx^j[/tex].

Concludiamo che [tex]u[/tex] è una funzione e coincide q.o. con un polinomio di grado al più [tex]k-1[/tex].

[fu^2]

questa è la terza soluzione bravo dissonance !

vediamo se a qualcuno viene in mente una molto elegante a mio parere ... che non tira in ballo le distribuzioni.

[Rigel1]

Indichiamo con $(\rho_{\epsilon})$ la famiglia standard di mollificatori.
Sia $x\in I$ fissato, e consideriamo la funzione test $\phi(y) = \rho_{\epsilon}(x-y)$. Per ipotesi sappiamo che
$\int_I u(y) \phi^{(k)}(y) dy = 0$, vale a dire
$u_{\epsilon}^{(k)}(x) = \int_I u(y) \rho_{\epsilon}^{(k)}(x-y)dy = 0$.
Da questo concludiamo che $u_{\epsilon}^{(k)} = 0$ in $I$, e dunque $u_{\epsilon}$ è un polinomio di grado $ Poiché $u_{\epsilon}$ converge q.o. a $u$ in $I$ per $\epsilon\to 0$, anche $u$ è un polinomio di grado $

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[fu^2]

Bene Rigel! Qusta è quella elegante che pensavo

Una cosa però (precisazione): $u_{\epsilon}(x)$ è la successione di mollificate di $u(x)$. Hai dimostrato che esse sono dei polinomi. Però, fissato un compatto (così $u$ è $L^1$-integrabile), la convergenza q.o. ce l'hai solo di una sottosuccessione (in quanto $u_{\epsilon}\to u$ in $L^1$), non di tutto.

Però utilizzando questo fatto e tornando "dentro l'integrale" (non so se ho reso l'idea) puoi concludere che $u$ è un polinomio di grado al più $k$, su ogni compatto, da cui la tesi.

Correggimi pure se ho detto una cavolata

[Rigel1]

Certamente, quando lavori con le mollificazioni ragioni sempre in termini di compatti contenuti nell'aperto di riferimento.
Poi siccome tutto vale per ogni compatto contenuto nell'aperto etc etc etc...