Spazi compatti di $l^{\infty}$
in questa discussione insiemi-compatti-t66865.html si era parlato già di spazi compatti in $l^p$, ora il caso $p=\infty$!
"Dimostrare che data una successione a termini $a=a_n\to 0$ allora $C=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}| |x_n|\leq a_n\}$ è compatto."
(per fissare le idee uno può pensare $a_n=1/n$.
domanda opzionale: è vero che $C'=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}|\exists a_n\to 0, a_n\geq 0 : |x_n|\leq a_n\}$ è ancora compatto?
"Dimostrare che data una successione a termini $a=a_n\to 0$ allora $C=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}| |x_n|\leq a_n\}$ è compatto."
(per fissare le idee uno può pensare $a_n=1/n$.
domanda opzionale: è vero che $C'=\{x=(x_n)_n\in l^{\infty}|\exists a_n\to 0, a_n\geq 0 : |x_n|\leq a_n\}$ è ancora compatto?
Risposte
è un esercizio così standard da non attirare le voglie di nessuno? 
Hint:
Hint:
Per essere compatto $CC$ dev'essere chiuso e limitato...di certo tutti gli elementi di C hanno un sup che può essere al massimo $a_1$ poiché tende a zero $a_n$ ,ed è inferiormente limitato da 0, il problema è dimostrare che è chiuso..mi dai un hint? Inoltre non credo che il discorso cambi molto tra p finito e $p=\infty$
se $p$ è finito gli insiemi devono essere molto più piccoli, dal momento che devono convegere velocemente (non basta che va a zero la successione).
Attento che $l^{\infty}$ non ha dimensione finita, quindi un compatto è chiuso e limitato, ma non viceversa!!
devi mostrare a la mano la definizione di compattezza (o in questo caso è più semplice compattezza per successioni).
Attento che $l^{\infty}$ non ha dimensione finita, quindi un compatto è chiuso e limitato, ma non viceversa!!
devi mostrare a la mano la definizione di compattezza (o in questo caso è più semplice compattezza per successioni).
"fu^2":
se $p$ è finito gli insiemi devono essere molto più piccoli, dal momento che devono convegere velocemente (non basta che va a zero la successione).
Attento che $l^{\infty}$ non ha dimensione finita, quindi un compatto è chiuso e limitato, ma non viceversa!!
Che intendi per dimostrare a la mano la definizione di compattezza? Ho visto diversi post e un po' di sgoogolare mi ha fatto capire che non posso dimostrarlo con chiuso e limitato e con le successioni perché sono in $l^{infty}$ ..quindi non so che fare fu^2 mi spiace..spero qualcun'altro lo risolvi
"Ariz93":Sì, però così dimostri una condizione necessaria, svolgi un esercizio e forse puoi vedere qualcosa che ti può aiutare; non dico che così risolvi l'esercizio, ma male non ti farà!
...non posso dimostrarlo con chiuso e limitato e con le successioni perché sono in $l^{infty}$...
"j18eos":Sì, però così dimostri una condizione necessaria, svolgi un esercizio e forse puoi vedere qualcosa che ti può aiutare; non dico che così risolvi l'esercizio, ma male non ti farà![/quote]
[quote="Ariz93"]...non posso dimostrarlo con chiuso e limitato e con le successioni perché sono in $l^{infty}$...
ok anche se non posso ora che oggi pomeriggio ho ricevimenti vari,anche se per la cond sufficiente non credo basti il corso di analisi a Fisica.
devi lavorare con le successioni in $l^{\infty}$, ovvero successioni di successioni (detta così sembra brutta roba, ma è meno brutto di come sembra 
).
Hiint: dal momento che questo spazio è completo, dimostrare la compattezza è equivalente al dimostrare la totale limitatezza e dunque dimostrare che data ogni successione ne esiste una sottosuccessione convergente.
Per capire come gira il fumo devi usare l'hint che ho dato nel secondo post e poi lavorare un po'... (ultima cosa, anche se così dico quasi tutto) e dimostrare che la successione che trovi (cfr. il mio secondo post) è nell'insieme è lo stesso calcolo, più o meno, che devi fare per dimostrare che è chiuso l'insieme.
).Hiint: dal momento che questo spazio è completo, dimostrare la compattezza è equivalente al dimostrare la totale limitatezza e dunque dimostrare che data ogni successione ne esiste una sottosuccessione convergente.
Per capire come gira il fumo devi usare l'hint che ho dato nel secondo post e poi lavorare un po'... (ultima cosa, anche se così dico quasi tutto) e dimostrare che la successione che trovi (cfr. il mio secondo post) è nell'insieme è lo stesso calcolo, più o meno, che devi fare per dimostrare che è chiuso l'insieme.
O.o cioè in $l^{infty} $ le successioni in verità sono successioni di successioni ? Cioè sono considerate come sottosuccessioni di successioni? Quindi estrarre una sottosuccessione dalle successioni significa estrarre sottosuccessioni da successioni di successioni? Se così fosse devo prima dimostrare che una generica sottosuccessione converge da lì avrei la totale limitatezza per generalità di $((x_n)_n)_k$.
"Ariz93":Sì; e per correttezza notazionale il codice LaTeX per indicarlo è \ell \(\ell^p\) e non \(l^p\)
...cioè in $l^{infty} $ le successioni in verità sono successioni di successioni?...
ove \(p\in[1;+\infty[\cup\{\infty\}\)."Ariz93":No!
...Cioè sono considerate come sottosuccessioni di successioni?...
Poi a causa della stanchezza non ho capito più niente. X-D
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