Sottospazio di $L^2$ di dimensione finita
Problema. Sia \((X,\mathscr M, \mu)\) uno spazio di misura, con $\mu$ di probabilità[nota]Penso basti $\mu$ finita.[/nota]. Sia $E$ un sottospazio chiuso di $L^2(X)$ tale che esista una costante positiva $C>0$
\[
\Vert f \Vert_{\infty} \le C \Vert f \Vert_{2}, \qquad \forall f \in E.
\]
Mostrare che $E$ ha dimensione finita.
A voi.
\[
\Vert f \Vert_{\infty} \le C \Vert f \Vert_{2}, \qquad \forall f \in E.
\]
Mostrare che $E$ ha dimensione finita.
A voi.
Risposte
Nessuno? Sarà che questi sono giorni di lauree (ogni riferimento a moderatori triestini è puramente casuale e non voluto... 
).
Comunque ho pronto un piccolo rilancio, ma prima vediamo se qualcuno si cimenta con questo.
).Comunque ho pronto un piccolo rilancio, ma prima vediamo se qualcuno si cimenta con questo.
[ot]
[/ot]
"Paolo90":Ah sì!?
...Sarà che questi sono giorni di lauree (ogni riferimento a moderatori triestini è puramente casuale e non voluto...
[/ot]
[ot]
Sì, ma il riferimento non era a te (e infatti ho scritto moderatori proprio per evitare possibili ambiguità).[/ot]
"j18eos":
Ah sì!?
Sì, ma il riferimento non era a te (e infatti ho scritto moderatori proprio per evitare possibili ambiguità).[/ot]
Scusate se tiro fuori un po' di scheletri dagli armadi.. Se la dimostrazione è toppata imparerò comunque dai miei errori e ripasserò un po' 
Supponiamo E di dimensione infinita e vediamo che la condizione non si può verificare (proof by contradiction). Grazie alla dimensione infinita esistono un numero numerabile di funzioni $f_n$ in $E$ t.c. $||f_n||_{L^2}=1$ e $ = 0$ per $i$ diverso da $j$. Inoltre possiamo considerare che le $f_n$ siano limitate da una costante $K$ ($|f_n(x)|<=K$ per ogni $n$ e $x$), altrimenti avremmo già concluso in quanto avremmo trovato funzioni limitate in norma $L_2$ ma di norma infinito grande a piacere, che rendono la disuguaglianza in ipotesi falsa portando alla contraddizione cercata. Consideriamo una funzione definita da dei parametri $\alpha_n$ reali:
$f=\sum _n \alpha_n f_n$
Allora la sua norma $||f||_{L^2}=\sum |\alpha_n|^2 $. Ed in particolare se $\alpha_n=1/n$ abbiamo che la norma L2 è limitata da una costante. Dobbiamo vedere che riusciamo con delle scelte opportune a far divergere la norma infinito mantenendo limitata la norma L2. Per questo provo a dimostrare questo lemma:
LEMMA: con le ipotesi date esiste un punto $x$ di $M$ ed un $\epsilon$ t.c. frequentemente $|f_n(x)|>\epsilon$.
Dim lemma: supponiamo sia falso, ovvero che per ogni $x$, $f_n(x)->0$. Allora anche $|f_n(x)|^2->0$ e per il teorema della convergenza dominata (applicabile grazie alla costante $K$ ed alla misura finita), abbiamo che $||f_n||_{L^2}->0$, che è una contraddizione, in quanto le $f_n$ sono normalizzate. c.v.d.
Quindi prendendo questo punto $x$ ed estraendo una sottosuccessione possiamo supporre $f_n(x)>\epsilon$ per ogni $n$ (o $f_n(x)<-\epsilon$ ma si conclude in modo analogo). Così possiamo far divergegere la norma infinito, rimanendo sempre limitati in norma L2, in quanto nel punto $x$:
$f(x)=\sum_n 1/n f_n(x)>\epsilon \sum_n 1/n =+\infty$..
Come vi sembra???
Supponiamo E di dimensione infinita e vediamo che la condizione non si può verificare (proof by contradiction). Grazie alla dimensione infinita esistono un numero numerabile di funzioni $f_n$ in $E$ t.c. $||f_n||_{L^2}=1$ e $
$f=\sum _n \alpha_n f_n$
Allora la sua norma $||f||_{L^2}=\sum |\alpha_n|^2 $. Ed in particolare se $\alpha_n=1/n$ abbiamo che la norma L2 è limitata da una costante. Dobbiamo vedere che riusciamo con delle scelte opportune a far divergere la norma infinito mantenendo limitata la norma L2. Per questo provo a dimostrare questo lemma:
LEMMA: con le ipotesi date esiste un punto $x$ di $M$ ed un $\epsilon$ t.c. frequentemente $|f_n(x)|>\epsilon$.
Dim lemma: supponiamo sia falso, ovvero che per ogni $x$, $f_n(x)->0$. Allora anche $|f_n(x)|^2->0$ e per il teorema della convergenza dominata (applicabile grazie alla costante $K$ ed alla misura finita), abbiamo che $||f_n||_{L^2}->0$, che è una contraddizione, in quanto le $f_n$ sono normalizzate. c.v.d.
Quindi prendendo questo punto $x$ ed estraendo una sottosuccessione possiamo supporre $f_n(x)>\epsilon$ per ogni $n$ (o $f_n(x)<-\epsilon$ ma si conclude in modo analogo). Così possiamo far divergegere la norma infinito, rimanendo sempre limitati in norma L2, in quanto nel punto $x$:
$f(x)=\sum_n 1/n f_n(x)>\epsilon \sum_n 1/n =+\infty$..
Come vi sembra???
Ottimo, direi che funziona tutto. Grazie per l'interessamento. Ovviamente la parola magica è "sistema ortonormale": si sfrutta in modo essenziale la struttura di spazio di Hilbert di $L^2$.
Rilancio. Generalizzare il risultato precedente a sottospazi chiusi in $L^p$ per ogni $p \in (0,+\infty)$. In altre parole, mostrare che se $S \subset L^p$ è un sottospazio chiuso tale che $S\subset L^{\infty}$ e la misura è finita allora $S$ è finito dimensionale.
Grazie per l'interessamento. Ovviamente la parola magica è "sistema ortonormale": si sfrutta in modo essenziale la struttura di spazio di Hilbert di $L^2$.Rilancio. Generalizzare il risultato precedente a sottospazi chiusi in $L^p$ per ogni $p \in (0,+\infty)$. In altre parole, mostrare che se $S \subset L^p$ è un sottospazio chiuso tale che $S\subset L^{\infty}$ e la misura è finita allora $S$ è finito dimensionale.
Ah ma allora lo fai apposta a togliere le armi a disposizione! ...
Grazie a te per il problema, avevo un po' di tempo libero e mi sembrava una buona occasione per ripassare..
Vorrei però chiedere, per quanto riguarda il problema iniziale, se la mia dimostrazione "fila" dove uso l'ipotesi che il sottospazio è chiuso? Alla fine mi sembra, se il procedimento è corretto, che questa ipotesi non si usa per costruire funzioni limitate in $L^2$ ma di norma $L^\infty$ arbitrariamente grandi. Servirebbe solo se si volesse dimostrare che delle funzioni NON APPARTENENTI ad $L^\infty$ stiano in $E$, che però è più forte della tesi...
Am I wrong?
... Grazie a te per il problema, avevo un po' di tempo libero e mi sembrava una buona occasione per ripassare..
Vorrei però chiedere, per quanto riguarda il problema iniziale, se la mia dimostrazione "fila" dove uso l'ipotesi che il sottospazio è chiuso? Alla fine mi sembra, se il procedimento è corretto, che questa ipotesi non si usa per costruire funzioni limitate in $L^2$ ma di norma $L^\infty$ arbitrariamente grandi. Servirebbe solo se si volesse dimostrare che delle funzioni NON APPARTENENTI ad $L^\infty$ stiano in $E$, che però è più forte della tesi...
Am I wrong?
Peraltro mi sta anche venendo il dubbio che per come ho scritto la dimostrazione sembra che ho verificato che le funzioni divergano solo in un punto x, il che probabilmente non è sufficiente in quanto nelle definizioni che mi sono rivisto compaiono sempre dei "quasi ovunque" (ovviamente, visto che le funzioni L qualcosa sono classi di equivalenza) e io non sono stato attento a prendere funzioni continue...
Si salva cmq il procedimento in qualche modo
? Probabilmente quel che dimostro nel lemma con i ragionamenti sopra in realta' e' questa tesi:
LEMMA: le $f_n(x)$ non tendono a zero quasi ovunque.
... poi pero' si dovrebbe provare ad usare questo risultato ma ora non ho tanto tempo per vedere se si arriva cmq in fondo con una costruzione simile alla precedente...
Si salva cmq il procedimento in qualche modo
? Probabilmente quel che dimostro nel lemma con i ragionamenti sopra in realta' e' questa tesi:LEMMA: le $f_n(x)$ non tendono a zero quasi ovunque.
... poi pero' si dovrebbe provare ad usare questo risultato ma ora non ho tanto tempo per vedere se si arriva cmq in fondo con una costruzione simile alla precedente...
E sì, hai ragione, ieri sera ero stanco e mi sembrava funzionasse, invece non va, non basta che diverga in un punto. Scusami per la mia svista.
By the way, un modo per sistemare potrebbe essere quello di considerare $a_i(x):= f_i(x)$, cioè la funzione
\[
f(x) := \sum_{i} f_i^2(x).
\]
Chiaramente essa sta in $E$ (è c.l. del sistema ortonormale) e abbiamo che
\[
\sum_{i} f_i^2(x) \le \left\Vert \sum_i f_i^2(x) \right\Vert_{\infty} \le C\left\Vert \sum_i f_i^2(x) \right\Vert_{2} = C\sqrt{\sum_i f_i^2(x)}
\]
da cui elevando al quadrato
\[
\sum_{i} f_i^2(x) \le C^2
\]
e integrando (usando convergenza dominata e l'ortonormalità del sistema) si ha
\[
n \le C^2 <\infty.
\]
Che ne pensi? Ti torna? Mi scuso ancora per prima
P.S. Per quanto riguarda il discorso del chiuso, hai ragione, in effetti non lo si usa direttamente nel caso $p=2$ (mentre questa è un'ipotesi essenziale nel rilancio). Tuttavia, diciamo che è un'ipotesi di "comodo" (e.g., l'esistenza di un sistema ortonormale completo generalmente la si dimostra nel caso completo: infatti, un sottospazio denso potrebbe non avere base numerabile, anche se, quando lo spazio è separabile, ci si salva in corner).
By the way, un modo per sistemare potrebbe essere quello di considerare $a_i(x):= f_i(x)$, cioè la funzione
\[
f(x) := \sum_{i} f_i^2(x).
\]
Chiaramente essa sta in $E$ (è c.l. del sistema ortonormale) e abbiamo che
\[
\sum_{i} f_i^2(x) \le \left\Vert \sum_i f_i^2(x) \right\Vert_{\infty} \le C\left\Vert \sum_i f_i^2(x) \right\Vert_{2} = C\sqrt{\sum_i f_i^2(x)}
\]
da cui elevando al quadrato
\[
\sum_{i} f_i^2(x) \le C^2
\]
e integrando (usando convergenza dominata e l'ortonormalità del sistema) si ha
\[
n \le C^2 <\infty.
\]
Che ne pensi? Ti torna? Mi scuso ancora per prima
P.S. Per quanto riguarda il discorso del chiuso, hai ragione, in effetti non lo si usa direttamente nel caso $p=2$ (mentre questa è un'ipotesi essenziale nel rilancio). Tuttavia, diciamo che è un'ipotesi di "comodo" (e.g., l'esistenza di un sistema ortonormale completo generalmente la si dimostra nel caso completo: infatti, un sottospazio denso potrebbe non avere base numerabile, anche se, quando lo spazio è separabile, ci si salva in corner).
"Paolo90":
E sì, hai ragione, ieri sera ero stanco e mi sembrava funzionasse, invece non va, non basta che diverga in un punto. Scusami per la mia svista.
By the way, un modo per sistemare potrebbe essere quello di considerare $a_i(x):= f_i(x)$, cioè la funzione
\[
f(x) := \sum_{i} f_i^2(x).
\]
Chiaramente essa sta in $E$ (è c.l. del sistema ortonormale)
Beh si scusami tu per la svista invece
... Purtroppo non ancora avuto il tempo per vedere se il procedimento del mio primo post si sistema in maniera più banale...Anyway questo passaggio non mi è chiaro, il resto dei calcoli devo trovare un po' di tempo per vederlo. $L^2$ è uno spazio vettoriale su $R$ o mi sbaglio? E i coefficienti non dovrebbero essere funzioni di $x$ma costanti reali. Non mi è chiaro insomma perchè quella funzione stia in $E$.
Sì, hai ragione, ho scritto male. Quello che voglio fare è considerare la funzione le cui componenti rispetto al sistema ortonormale scelto di $E$ sono esattamente $f_i(x)$, per un certo $x \in X$ fissato. Tuttavia, mi sfugge ancora come scrivere decentemente questa cosa...
Stavo ripensando un po' al problema con l'approccio iniziale. Volevo chiedere se a voi torna che sia vera questa congettura, che forse mi permetterebbe di concludere:
CONG: Sia $A_n$ una sequenza di insiemi. E sia $A=$limsup$ A_n$. Supponiamo $\mu(A)>0$. Allora esiste una sottosuccessione $A_{n'}$ ed un sottoinsieme $A'$ di $A$ di misura finita t.c. $A'=$liminf$ A_{n'}$.
In poche parole se $x$ sta frequentemente in un insieme allora a meno di estrarre una sottosuccessione possiabile dire che vi sta definitivamente, mantenendo in questa operazione insiemi di misura non nulla.
CONG: Sia $A_n$ una sequenza di insiemi. E sia $A=$limsup$ A_n$. Supponiamo $\mu(A)>0$. Allora esiste una sottosuccessione $A_{n'}$ ed un sottoinsieme $A'$ di $A$ di misura finita t.c. $A'=$liminf$ A_{n'}$.
In poche parole se $x$ sta frequentemente in un insieme allora a meno di estrarre una sottosuccessione possiabile dire che vi sta definitivamente, mantenendo in questa operazione insiemi di misura non nulla.
insomma in realtà non so se mi serve questa congettura (anche se mi interesserebbe sapere se è vera...ora come ora prendendola per vera arrivo a degli assurdi)... ci penso ancora un po'...
Va bè intanto scrivo come stavo procedendo, visto che cmq ho motivi per pensare che la congettura sia falsa:
Sia $A_{n,\epsilon}={|f_n|>\epsilon}$ e $\text{limsup}_n A_{n,\epsilon}=B_{\epsilon}$.
Allora vale che $\mu{\cap_{n>1} B_{1/n}}>0$ in quanto l'intersezione dei $B_{\epsilon}$ è proprio l'insieme in cui la successione $f_n$ non sta tendendo a zero (che si è dimostrato avere misura non nulla).
Da questo direi che segue che esiste un $\epsilon$ t.c. $\mu {B_{\epsilon}}>0$. Ovvero esiste un $\epsilon$ t.c. l'insieme dei punti per cui $|f_n(x)|>\epsilon$ frequentemente ha misura non nulla.
Ora volevo usare questo insieme per costruire la funzione $f$ di norma infinito grande a piacere ma norma $L^2$ limitata che dimostrerebbe la tesi, ma non ci sono ancora riuscito
Sia $A_{n,\epsilon}={|f_n|>\epsilon}$ e $\text{limsup}_n A_{n,\epsilon}=B_{\epsilon}$.
Allora vale che $\mu{\cap_{n>1} B_{1/n}}>0$ in quanto l'intersezione dei $B_{\epsilon}$ è proprio l'insieme in cui la successione $f_n$ non sta tendendo a zero (che si è dimostrato avere misura non nulla).
Da questo direi che segue che esiste un $\epsilon$ t.c. $\mu {B_{\epsilon}}>0$. Ovvero esiste un $\epsilon$ t.c. l'insieme dei punti per cui $|f_n(x)|>\epsilon$ frequentemente ha misura non nulla.
Ora volevo usare questo insieme per costruire la funzione $f$ di norma infinito grande a piacere ma norma $L^2$ limitata che dimostrerebbe la tesi, ma non ci sono ancora riuscito
mi sono dimenticato Paolo90 che non ho espresso esplicitamente una mia perplessita' sulla tua ultima risposta. Come puoi scegliere come coefficienti dei numeri $f_i(x)$ che non sono ben definiti in quanto le funzioni $L^2$ sono definite solo a meno di insiemi di misura non nulla? Non e' lo stesso problema che c'era nel mio primo approccio? Io per questo stavo provando ad 'incicciottire' il tutto, anche se finora il tentativo e' rimasto li'....
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