Somma positiva - SNS 1968
"Dire per quali interi positivi $n$ e per quali numeri reali $q$ la somma $1+q+q^2+...+q^n$ è positiva."
Se $q>=0$ la somma data è positiva, essendo $q^x>0$ per ogni $x$ reale e $q$ positivo, e quindi lo è indipendentemente da $n$.
Se invece $q<0$, la somma totale è positiva se la somma dei $q^(2t+1)$ è minore, in valore assoluto, alla somma dei $q^(2t)$.
Non so come rendere questa condizione..
Grazie dell'aiuto..
Se $q>=0$ la somma data è positiva, essendo $q^x>0$ per ogni $x$ reale e $q$ positivo, e quindi lo è indipendentemente da $n$.
Se invece $q<0$, la somma totale è positiva se la somma dei $q^(2t+1)$ è minore, in valore assoluto, alla somma dei $q^(2t)$.
Non so come rendere questa condizione..
Grazie dell'aiuto..
Risposte
puoi fare molto di meglio, la tua considerazione è troppo superficiale, prova a ragionare meglio, magari fare o pensare qualche grafico.
Ma la fattorizzazione, valida per $q\ne 1$,
$1+q+q^2+...+q^{n-1}+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
non ti dà informazioni?
$1+q+q^2+...+q^{n-1}+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
non ti dà informazioni?
Partendo dalla formula suggerita da dissonance, ho la condizione $(1-q^(n+1))/(1-q) >0$
- Se $q>=0$, come già osservato la somma è positiva. Infatti per $01$ sono entrambi minori di zero. Comunque sia, la frazione è positiva.
- Se $q<0$, devo distinguere il caso in cui $n$ sia pari (e allora $q^n$ è positivo) e il caso in cui $n$ sia dispari ($q^n$ negativo). Comunque sia, il denominatore della frazione, cioè $1-q$, è positivo.
- se $n$ è pari, allora $n+1$ è dispari, e perciò $q^(n+1)<0$. Si ha perciò che $1-q^(n+1)$ è positivo. La frazione è quindi positiva.
- se $n$ è dispari, allora $n+1$ è pari, e perciò $q^(n+1)>0$. La frazione sarebbe positiva solo se $1-q^(n+1)$ fosse maggiore di zero, ma ciò è impossibile.
Concludendo, la somma data è positiva per:
-gli $q$ positivi, con qualunque $n$;
-gli $q$ negativi, con $n$ pari.
- Se $q>=0$, come già osservato la somma è positiva. Infatti per $0
- Se $q<0$, devo distinguere il caso in cui $n$ sia pari (e allora $q^n$ è positivo) e il caso in cui $n$ sia dispari ($q^n$ negativo). Comunque sia, il denominatore della frazione, cioè $1-q$, è positivo.
- se $n$ è pari, allora $n+1$ è dispari, e perciò $q^(n+1)<0$. Si ha perciò che $1-q^(n+1)$ è positivo. La frazione è quindi positiva.
- se $n$ è dispari, allora $n+1$ è pari, e perciò $q^(n+1)>0$. La frazione sarebbe positiva solo se $1-q^(n+1)$ fosse maggiore di zero, ma ciò è impossibile.
Concludendo, la somma data è positiva per:
-gli $q$ positivi, con qualunque $n$;
-gli $q$ negativi, con $n$ pari.
Che ne dite?
quasi, perchè se $q$ è negativo e $n$ è dispari dici che la somma è sempre negativa?
Sono d'accordo con blackbishop: prendi ad esempio $q=-0.5$ e $n=1$. Non mi pare che $0.5=1-0.5$ sia negativo...
Sotto le condizioni n dispari e q<0 si avrà al numeratore una differenza fra un positivo e un negativo, positiva se il negativo in modulo è minore del positivo, e al denominatore necessariamente un positivo. Quindi il segno del numeratore influenza la frazione e è positivo se 0<|q|<1 e n>0...
Ah giusto.. Allora si deve dividere il caso in cui il modulo sia maggiore o minore di 1.. Grazie mille a tutti..
PS: c'era un modo per risolverlo senza utilizzare la formula ricordata da dissonance?
PS: c'era un modo per risolverlo senza utilizzare la formula ricordata da dissonance?
Penso che una strada alternativa di risoluzione sia il principio di induzione. Facciamo ad esempio il caso $|q|<1$, per gli altri casi presumo si potranno fare considerazioni simili.
Denotiamo con $S_n=1+q+...+q^n$. Vediamo i primi indici per farci un'idea:
$S_1=1>0$;
$S_2=1+q>0$ ($q$ è troppo piccolo per trascinare $1$ oltre lo zero);
$S_3=1+q+q^2>0$ (stiamo sommando $q^2$ che è positivo a $S_2$ che pure è positivo);
$S_4=1+q+q^2+q^3=(1+q)+(q^2+q^3)>0$ (perché, essendo $|q|<1$, $|q|^3$ è più piccolo di $|q|^2$, e dunque la quantità nella seconda parentesi è positiva); [size=75](*)[/size]
$vdots$
Ci viene quindi la geniale idea: "vuoi vedere che $S_n$ è positivo per ogni $n$"? Supponiamo, per ipotesi di induzione, che questo sia vero per $S_1 ... S_n$ e vediamo cosa si può dire di $S_{n+1}$. C'è da distinguere due casi:
se $n+1$ è pari, allora $S_{n+1}=S_{n}+q^{n+1}$ è positivo perché somma di $S_n$, positivo per ipotesi di induzione, e $q^{n+1}$, positivo perché potenza ad esponente pari;
se $n+1$ è dispari, scriviamo $S_{n+1}=S_{n-1}+q^{n}+q^{n+1}$. $S_{n-1}$ è positivo per ipotesi di induzione, $q^{n}$ è positivo perché potenza ad esponente pari e $q^{n}+q^{n+1}$ è positivo perché $|q|^{n+1}<|q|^{n}$ (sto ripetendo il ragionamento fatto in [size=75](*)[/size]).
In conclusione $S_n>0$ per ogni $n$.
Denotiamo con $S_n=1+q+...+q^n$. Vediamo i primi indici per farci un'idea:
$S_1=1>0$;
$S_2=1+q>0$ ($q$ è troppo piccolo per trascinare $1$ oltre lo zero);
$S_3=1+q+q^2>0$ (stiamo sommando $q^2$ che è positivo a $S_2$ che pure è positivo);
$S_4=1+q+q^2+q^3=(1+q)+(q^2+q^3)>0$ (perché, essendo $|q|<1$, $|q|^3$ è più piccolo di $|q|^2$, e dunque la quantità nella seconda parentesi è positiva); [size=75](*)[/size]
$vdots$
Ci viene quindi la geniale idea: "vuoi vedere che $S_n$ è positivo per ogni $n$"? Supponiamo, per ipotesi di induzione, che questo sia vero per $S_1 ... S_n$ e vediamo cosa si può dire di $S_{n+1}$. C'è da distinguere due casi:
se $n+1$ è pari, allora $S_{n+1}=S_{n}+q^{n+1}$ è positivo perché somma di $S_n$, positivo per ipotesi di induzione, e $q^{n+1}$, positivo perché potenza ad esponente pari;
se $n+1$ è dispari, scriviamo $S_{n+1}=S_{n-1}+q^{n}+q^{n+1}$. $S_{n-1}$ è positivo per ipotesi di induzione, $q^{n}$ è positivo perché potenza ad esponente pari e $q^{n}+q^{n+1}$ è positivo perché $|q|^{n+1}<|q|^{n}$ (sto ripetendo il ragionamento fatto in [size=75](*)[/size]).
In conclusione $S_n>0$ per ogni $n$.
Sì, è abbastanza lineare anche la soluzione usando l'induzione, anche se forse un po' più lunga. Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo