Somma positiva di coseni

[dan952]

Siano $\theta_1, \cdots, \theta_k$ numeri reali positivi dimostrare che esiste $n \in NN$ tale che
$$\sum_{i=1}^{k} \cos(n\theta_{i})>0$$

[Rigel1]

Non mi è venuta in mente nessuna dimostrazione semplice; propongo quindi questa.

Dato \(N\in\mathbb{N}^+\) definiamo la funzione
\[
f^N(x) := \frac{\pi}{2N} - |x|
\qquad |x| \leq \frac{\pi}{N},
\]
estesa con periodicità (con periodo \(T = 2\pi / N\)).

Definiamo
\[
\mu := \frac{1}{k} \sum_{k=1}^N |\theta_i|.
\]
Non è difficile verificare che esiste \(N\in\mathbb{N}^+\) tale che \(f^N(\mu) > 0\).
Fissato un tale \(N\), indichiamo \(f \equiv f^N\) per semplicità.

Supponiamo per assurdo che la proprietà da dimostrare sia falsa.
In particolare, per ogni \(j\in\mathbb{N}^+\) avremo che
\[
(1) \qquad \sum_{i=1}^k \cos(N(2j-1) \theta_i) \leq 0.
\]
Osserviamo che la sommatoria a primo membro è \(2\pi/N\)-periodica, quindi non è restrittivo supporre \(|\theta_i| \leq \pi/N\) per ogni \(i\in \{1,\ldots k\}\); in particolare, \(0\leq \mu \leq \pi/N\).

Consideriamo ora la funzione
\[
(2) \qquad f_n(x) := \frac{2}{N\pi} \sum_{j=1}^n \frac{1}{(2j-1)^2} \cos(N(2j-1)x),
\]
che è la somma parziale \(n\)-esima della serie di Fourier di \(f\), e converge uniformemente a \(f\) su tutto \(\mathbb{R}\).


Essendo \(|\theta_i| \leq \pi/N\) per ogni \(i\), si ha che
\[
\sum_{i=1}^k f(\theta_i) = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\pi}{2N} - |\theta_i| \right) = k \left(\frac{\pi}{2N} - \mu\right) = k f(\mu) > 0.
\]
D'altra parte, \(\sum_{i=1}^k f_n(\theta_i)\) converge, per \(n\to +\infty\), a \(\sum_{i=1}^k f(\theta_i)\),
quindi esiste \(n\in\mathbb{N}^+\) tale che
\[
\sum_{i=1}^k f_n(\theta_i) > 0.
\]
Ma questo è assurdo in virtù di (1) e della definizione (2) di \(f_n\).

Edit: corretti segni dopo segnalazione di dan95.

[dan952]

A me i coefficienti di Fourier vengono negativi

[Rigel1]

"dan95":A me i coefficienti di Fourier vengono negativi

E c'hai anche ragione (sono andato a memoria senza rifare i conti).
Mi sembra comunque sia solo meglio: basta ragionare su \(-f\) e \(-f_N\). In particolare, quale che sia la media \(\mu\), trovi \(N\) tale che \(-f_N(\mu) > 0\).

[dan952]

Non mi convince. Se si corregge nel caso 1) abbiamo che $\sum_{j=1}^{n} -\frac{1}{(2j-1)^2}\sum_{i=1}^k \cos((2j-1)\theta_i) \geq 0$ e $\sum (\theta_i-\pi/2 )>0$.

[Rigel1]

@dan95: ho cambiato i segni e cercato di aggiungere qualche dettaglio.

[dan952]

Veramente bella

[Rigel1]

"dan95":Veramente bella

Per caso sei a conoscenza di qualche dimostrazione più diretta?

[dan952]

No, ci sto pensando. Sarebbe interessante anche vedere se esiste un naturale tale che la somma si annulla

[Dobrogost]

Premetto che non ci ho tirato fuori molto, ma...

Consideriamo i polinomi di Chebyshev $T_n$. Per relazione nota sappiamo che: $T_n(cos(\theta_i))=cos(n\theta_i)$. Pertanto il problema iniziale diventa: "trovare $n$ tale che: $\sum_{i} T_n(x_i) > 0$ con $x_i\in[-1,1]$"
Ora, i polinomi in questione si annullano in $x_k=cos(\frac{(2i-1)pi}{2n})$ per $i\in\{1,2,...,n\}$. Inoltre, $T_n(1)=1 \forall n$. Pertanto si verifica "ad occhio" che viene richiesto di trovare $n$ tale che, dati $x_i\in[-1,1]$ questi si trovino per certi $m_i=m(x_i)$ in: \begin{align} \left(cos\left(\frac{m_i}{2n}\pi\right),cos\left(\frac{m_i+2}{2n}\pi\right)\right) \end{align}con $m_i \equiv 1 mod 4$. A questo punto non so come continuare, nè se ne valga la pena. Intuitivamente, mi sembra sia fattibile da dimostrare, ma proprio non so.

[razorbak901]

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che PUO' essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina." [semi-citazione]

$n=0$

[dissonance]

@Dobrogost: Buona idea quella di tirare in ballo i polinomi di Chebyshev. Le espressioni come $\sum_i T_n(x_i)$ si incontrano nelle questioni di interpolazione sulla circonferenza (o sulle sfere di qualsiasi dimensione, sostituendo a $T_n$ degli altri sistemi di polinomi ortogonali. In questo link si parla in generale di "polinomi di Legendre in dimensione $q$", intesi come il sistema di polinomi ortogonali su $[-1, 1]$ rispetto al peso $(1-x^2)^\frac{q-3}{2}$. Per $q=2$ si ritrovano i polinomi di Chebyshev):

https://books.google.fr/books?id=9hx6Cw ... &q&f=false

Secondo me da "Theorem 3" della pagina del link si potrebbe ottenere una dimostrazione diretta. Inoltre credo che questo approccio sia facilmente generalizzabile alle somme di polinomi di Legendre in tutte le dimensioni.

[dan952]

Voglio farvi notare che ho rilanciato con la congettura che possa annullarsi la somma per qualche $n$.

[dissonance]

Il rilancio è falso senza ulteriori ipotesi su $\theta_i$. Per esempio, se $k=1$ e $theta_1=1$. In questo caso semplice il problema ha soluzione se e solo se $\theta_1$ è un sottomultiplo di $\pi/2$ (mi pare). In ogni caso il problema generale *mi pare* senza speranza.

[dan952]

Perfetto, restate in attesa per qualche mia altra intuizione da dimostrare