Somma e prodotto di interi positivi - SNS 2003
"a) Si sa che la somma di due interi positivi è 30030. Si dimostri che il loro prodotto non è divisibile per 30030.
b) E' ancora vera questa proprietà se si sostituisce il numero 30030 con 11550?
c) E, in generale, per quali numeri $a$ il prodotto di due interi positivi con somma $a$ è divisibile per $a$?"
Io l'ho risolto in questo modo:
a) $p+q=30030$, $p=30030-q$
$p*q=(30030-q)*q=30030*q-q^2=30030(q-q^2/30030)$, che è divisibile per 30030 solo se $q-q^2/30030$ è un numero intero, e lo è solo se $q^2/30030$ è un numero intero:
$q^2=k*30030$, con $k$ numero intero.
$q=sqrt(k*30030)$.
Essendo $30030=2*3*5*7*11*13$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*30030)$ sia un numero intero è $k=2*3*5*7*11*13=30030$. Ma in tal caso $q=30030$, $p=0$, $p*q=0$, che è l'unico caso per cui $p*q$ è divisibile per 30030. (Infatti per $k$ maggiori al valore minimo, $q>30030$, il che preclude l'esistenza di $p$).
b) Per lo stesso ragionamento dovremmo avere
$q^2=k*11550$
$q=sqrt(k*11550)$.
Essendo $11550=2*3*5^2*7*11$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*11550)$ sia un numero intero è $k=2*3*7*11$, da cui $q=sqrt(2^2*3^2*5^2*7^2*11^2)=2*3*5*7*11=2310$, e $p=9240$, $p*q=21344400=11550*1848$.
Quindi no, questa proprietà non è vera per 11550.
c) $p+q=a$, $p=a-q$
$p*q=(a-q)*q=a*q-q^2=a(q-q^2/a)$
e per lo stesso ragionamento
$q^2=k*a$
$q=sqrt(k*a)$
Si ha risultato accettabile solo se $q$ risulta diverso da $a$, cioè se $k$ è diverso da $a$, sempre ottenendo che $k*a$ sia un quadrato perfetto. E per ottenere ciò la fattorizzazione di $a$ deve presentare degli esponenti diversi da 1.
E' corretto? Grazie.
b) E' ancora vera questa proprietà se si sostituisce il numero 30030 con 11550?
c) E, in generale, per quali numeri $a$ il prodotto di due interi positivi con somma $a$ è divisibile per $a$?"
Io l'ho risolto in questo modo:
a) $p+q=30030$, $p=30030-q$
$p*q=(30030-q)*q=30030*q-q^2=30030(q-q^2/30030)$, che è divisibile per 30030 solo se $q-q^2/30030$ è un numero intero, e lo è solo se $q^2/30030$ è un numero intero:
$q^2=k*30030$, con $k$ numero intero.
$q=sqrt(k*30030)$.
Essendo $30030=2*3*5*7*11*13$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*30030)$ sia un numero intero è $k=2*3*5*7*11*13=30030$. Ma in tal caso $q=30030$, $p=0$, $p*q=0$, che è l'unico caso per cui $p*q$ è divisibile per 30030. (Infatti per $k$ maggiori al valore minimo, $q>30030$, il che preclude l'esistenza di $p$).
b) Per lo stesso ragionamento dovremmo avere
$q^2=k*11550$
$q=sqrt(k*11550)$.
Essendo $11550=2*3*5^2*7*11$, il valore minimo di $k$ per cui $sqrt(k*11550)$ sia un numero intero è $k=2*3*7*11$, da cui $q=sqrt(2^2*3^2*5^2*7^2*11^2)=2*3*5*7*11=2310$, e $p=9240$, $p*q=21344400=11550*1848$.
Quindi no, questa proprietà non è vera per 11550.
c) $p+q=a$, $p=a-q$
$p*q=(a-q)*q=a*q-q^2=a(q-q^2/a)$
e per lo stesso ragionamento
$q^2=k*a$
$q=sqrt(k*a)$
Si ha risultato accettabile solo se $q$ risulta diverso da $a$, cioè se $k$ è diverso da $a$, sempre ottenendo che $k*a$ sia un quadrato perfetto. E per ottenere ciò la fattorizzazione di $a$ deve presentare degli esponenti diversi da 1.
E' corretto? Grazie.
Risposte
mi pare proprio di sì!
Quoto adaBTTLS.
Grazie mille della conferma
di nulla!
che cosa significa SNS 2003 ?
Scuola Normale Superiore Anno 2003.
Ci si riferisce in particolare alla SNS di Pisa.
Questi sono dei problemi presi dai test d'ammissione a Matematica.
Ci si riferisce in particolare alla SNS di Pisa.
Questi sono dei problemi presi dai test d'ammissione a Matematica.
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