Somma di norme

Bremen000
Probabilmente è un classicone, ma

Dimostrare o confutare la seguente affermazione:

Sia $X$ uno spazio lineare e siano \( \| \cdot \|_1 \) e \( \| \cdot \|_2 \) due norme su $X$ che lo rendono entrambe uno spazio di Banach. Allora \( (X , \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 ) \) è uno spazio di Banach.

Risposte
Sk_Anonymous
In dimensione finita e' ovviamente vero.

In dimensione infinita si possono apparentemente "costruire" Banach norme non equivalenti (modulo, mi pare di capire, assumere AC). Ma mi sembra un problema difficile; tu cosa avevi in mente?

Bremen000
A me è stata un po' spiegata una soluzione che poi ho cercato un po' di aggiustare.

Il succo è trovare due spazi normati infinito dimensionali per i quali esista un isomorfismo di spazi vettoriali non continuo. Infatti, detti \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_2 , \| \cdot \|_2 ) \) tali spazi e \( T: X_1 \to X_2 \) un tale un isomorfismo, considero gli spazi normati \( (X_1, \| \cdot \|_1) \) e \( (X_1, \| T ( \cdot ) \|_2 ) \), allora entrambi sono di Banach.
Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti, se l'isomorfismo non è continuo allora le due norme non sono equivalenti e dunque non è di Banach.

Un esempio può essere prendere \( (X_1, \| \cdot \|_1) = (l^1(\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^1}) \) e \( (X_2, \| \cdot \|_2) = (l^{\infty} (\mathbb{N}), \|\cdot \|_{l^{\infty}}) \). L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC). Il fatto che un tale isomorfismo non possa essere continuo è garantito dal fatto che uno è separabile e l'altro no.

Sk_Anonymous
Interessante da tenere a mente! Anche se è un po' abstract nonsense :-D

Bremen000
Dici? Purtoppo un esempio esplicito credo sia complicato da trovare. Tu che dici?

Sk_Anonymous
Penso anche io, la tua costruzione è relativamente "esplicita" (ma è una di quelle cose buffe con cui non si lavora granché)

otta96
Scusate se vi rompo ma leggendo questa discussione mi sono sorte alcune domande.
"Delirium":
In dimensione infinita si possono apparentemente "costruire" Banach norme non equivalenti

Che c'entra?

"Bremen000":
Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?

L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?

Sk_Anonymous
"otta96":
[...] Che c'entra? [...]

Se tutte le norme che rendono Banach \( X \) fossero equivalenti il problema sarebbe banale... e/ma a priori mica è ovvio (e infatti non lo è) che esistano due Banach norme non equivalenti per \(X\).

Bremen000
Ciao otta,

"otta96":
[...]
[quote="Bremen000"]Poiché \( (X_1, \| \cdot \|_1 + \| T ( \cdot ) \|_2 ) \) è di Banach se e solo se le due norme sono equivalenti

Perché?
[...]
[/quote]

Un'implicazione è evidente. Sia \( \| \cdot \|_3 = \| \cdot \|_1 + \| \cdot \|_2 \). Supponi che lo spazio \( (X, \| \cdot \|_3)\) sia di Banach. Sia
\[ f : ( X, \| \cdot \|_3 ) \to (X, \| \cdot \|_1) \quad \quad x \mapsto x \]

Allora f è una mappa lineare continua e suriettiva, infatti se \( x_n \to_3 y \in X \) allora \( x_n \to_1 y\). Allora l'inversa di $f$ è continua. Esiste quindi $C> 1 $ tale che \( \| \cdot \|_3 \le C \| \cdot \|_1 \) da cui \( \| \cdot \|_2 \le (C-1) \| \cdot \|_1 \).
Analogo con \( \| \cdot \|_2 \) al posto di \( \| \cdot \|_1 \).


"otta96":
[...]
L'esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali è garantita dal fatto che i due spazi hanno due basi di Hamel della stessa cardinalità (e qua si usa AC).

Come si vede questa cosa?


Teorema
Sia $E$ uno spazio di Banach infinito dimensionale su un campo $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ e sia $H$ una base di Hamel di $E$. Allora $|E|=|H|$.


Se due spazi hanno basi di Hamel della stessa cardinalità c'è una biiezione tra le basi. Estendi per linearità e hai il tuo isomorfismo di spazi vettoriali.

Bremen000
@otta, sei sparito. Ti torna tutto? Ho detto qualche castroneria?

otta96
In realtà mi ero scordato di questo post :oops:
"Bremen000":
Allora l'inversa di $f$ è continua. Esiste quindi $C> 1 $ tale che \( \| \cdot \|_3 \le C \| \cdot \|_1 \) da cui \( \| \cdot \|_2 \le (C-1) \| \cdot \|_1 \).\[ f : ( X, \| \cdot \|_3 ) \to (X, \| \cdot \|_1) \quad \quad x \mapsto x \]
Analogo con \( \| \cdot \|_2 \) al posto di \( \| \cdot \|_1 \).

Non capisco cosa c'entra che l'inversa di $f$ è continua.

TeoremaSia $E$ uno spazio di Banach infinito dimensionale su un campo $\mathbb{K} \subseteq \mathbb{C}$ e sia $H$ una base di Hamel di $E$. Allora $|E|=|H|$.

Non lo conosco.

Bremen000
"otta96":

Non capisco cosa c'entra che l'inversa di $f$ è continua.

Ti serve per far vedere che c'è una disuguaglianza inversa tra le norme, che è quello che ti serve!

otta96
Ah è vero.

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