Somma di medie geometriche
Data una \(\displaystyle n \)-upla di reali positivi \(\displaystyle \lambda_1,.....,\lambda_n \) mostrare che:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^i \lambda_{j}^{\frac{1}{i}} \leq e \cdot \sum_{i=1}^n \lambda_i\)
Esiste addirittura una versione più forte che sostituisce \(\displaystyle e \) con \(\displaystyle \frac{(n+1)^n}{n^n} \).
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^i \lambda_{j}^{\frac{1}{i}} \leq e \cdot \sum_{i=1}^n \lambda_i\)
Esiste addirittura una versione più forte che sostituisce \(\displaystyle e \) con \(\displaystyle \frac{(n+1)^n}{n^n} \).
Risposte
Uh è vero, ho sbagliato a ricopiare, era tutto il contrario. Però non la conoscevo quella disuguaglianza che praticamente è il mio problema, ora vedo come si dimostra. Grazie.
Se non erro questa è un'applicazione della classica disuguaglianza di Hardy:
Infatti, prendendo \(a_n=\lambda_n^{1/p}\), dalla (H) segue:
\[
\tag{1}
\sum_{n=1}^N \left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p \leq H(p)\ \sum_{n=1}^N \lambda_n\; ;
\]
tenendo presente che la quantità:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p
\]
è la media d'ordine \(1/p\) dei \(\lambda_1,\lambda_n\), quindi essa tende alla media geometrica di \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n\) quando \(p\to \infty\), e che:
\[
\lim_{p\to \infty} H(p) = \lim_{p\to \infty} \left( \frac{p}{p-1}\right)^p =e\; ,
\]
mandando \(p\to \infty\) nella (1) si ritrova:
\[
\sum_{n=1}^N \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n} \leq e\ \sum_{n=1}^N \lambda_n
\]
come si voleva.
Se non vuoi passare al limite con le medie, nota che dalla disuguaglianza tra medie generalizzata segue:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p \geq \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n}
\]
per ogni \(n\), sicché dalla (1) si trae:
\[
\sum_{n=1}^N \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n} \leq \left( \frac{p}{p-1}\right)^p\ \sum_{n=1}^N \lambda_n\; .
\]
Dato che la funzione \(H(p)=\left( \frac{p}{p-1}\right)^p\) mappa in maniera biunivoca e bicontinua \(]1,\infty[\) su \(]e,\infty[\), hai che la tua disuguaglianza vale per ogni \(c>e\); quindi per continuità essa vale anche per \(c=e\).
Sulla versione più forte, non so se essa si può attaccare con questa stessa tecnica: ci si deve pensare un po'.
Sia \(p\in ]1,\infty[\).
Esiste qualche costante \(h>0\) tale che, comunque si scelgano \(N\in \mathbb{N}\) ed \(a_1,\ldots ,a_N\geq 0\), risulti:
\[
\tag{H}
\sum_{n=1}^N \left( \frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right)^p \leq h\ \sum_{n=1}^N a_n^p\; .
\]
Inoltre, la migliore costante nella (H) è:
\[
H(p) := \left( \frac{p}{p-1}\right)^p\; .
\]
Infatti, prendendo \(a_n=\lambda_n^{1/p}\), dalla (H) segue:
\[
\tag{1}
\sum_{n=1}^N \left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p \leq H(p)\ \sum_{n=1}^N \lambda_n\; ;
\]
tenendo presente che la quantità:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p
\]
è la media d'ordine \(1/p\) dei \(\lambda_1,\lambda_n\), quindi essa tende alla media geometrica di \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n\) quando \(p\to \infty\), e che:
\[
\lim_{p\to \infty} H(p) = \lim_{p\to \infty} \left( \frac{p}{p-1}\right)^p =e\; ,
\]
mandando \(p\to \infty\) nella (1) si ritrova:
\[
\sum_{n=1}^N \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n} \leq e\ \sum_{n=1}^N \lambda_n
\]
come si voleva.
Se non vuoi passare al limite con le medie, nota che dalla disuguaglianza tra medie generalizzata segue:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{1/p}+\cdots +\lambda_n^{1/p}}{n}\right)^p \geq \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n}
\]
per ogni \(n\), sicché dalla (1) si trae:
\[
\sum_{n=1}^N \left( \lambda_1\cdots \lambda_n\right)^{1/n} \leq \left( \frac{p}{p-1}\right)^p\ \sum_{n=1}^N \lambda_n\; .
\]
Dato che la funzione \(H(p)=\left( \frac{p}{p-1}\right)^p\) mappa in maniera biunivoca e bicontinua \(]1,\infty[\) su \(]e,\infty[\), hai che la tua disuguaglianza vale per ogni \(c>e\); quindi per continuità essa vale anche per \(c=e\).
Sulla versione più forte, non so se essa si può attaccare con questa stessa tecnica: ci si deve pensare un po'.
Sicuramente sbaglio qualcosa ma...
$e \sum_{i=1}^n \lambda_i >= \frac{ \sum_{i=1}^n \lambda_i }{N} >=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} >= \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^i \lambda_j^{\frac{1}{i}}$
$e \sum_{i=1}^n \lambda_i >= \frac{ \sum_{i=1}^n \lambda_i }{N} >=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} >= \sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^i \lambda_j^{\frac{1}{i}}$
"Ariz93":
Sicuramente sbaglio qualcosa ma...
$\frac{ \sum_{i=1}^n \lambda_i }{n} >=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i}$
Questa non mi è chiara.
"Rigel":
[quote="Ariz93"]Sicuramente sbaglio qualcosa ma...
$\frac{ \sum_{i=1}^n \lambda_i }{n} >=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i}$
Questa non mi è chiara.[/quote]
Disuguaglianza media aritmetica e media armonica.
Beh, non è esattamente così: prendi \(n=2\), \(\lambda_1 = \lambda_2 = 1\) e vedi subito che c'è qualcosa che non va...
"Ariz93":
[quote="Rigel"][quote="Ariz93"]Sicuramente sbaglio qualcosa ma...
$ \frac{ \sum_{i=1}^n \lambda_i }{n} >=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda_i} $
Questa non mi è chiara.[/quote]
Disuguaglianza media aritmetica e media armonica.[/quote]
Occhio, che la media armonica di \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_N\) è definita come:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{-1} + \cdots + \lambda_N^{-1}}{N}\right)^{-1} = \frac{N}{\frac{1}{\lambda_1} +\cdots +\frac{1}{\lambda_N}}\; .
\]
"gugo82":
Occhio, che la media armonica di \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_N\) è definita come:
\[
\left( \frac{\lambda_1^{-1} + \cdots + \lambda_N^{-1}}{N}\right)^{-1} = \frac{N}{\frac{1}{\lambda_1} +\cdots +\frac{1}{\lambda_N}}\; .
\]
Ecco appunto scusate la mia memoria fallace, ora mi invento qualcos'altro
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