Somma dei reciproci dei quadrati dei primi

[And_And92]

Buongiorno a tutti, poiché non so dove chiedere una soluzione a questo problema, spero di aver scelto la sezione più appropriata.
E' una curiosità che mi assilla da qualche giorno.
La mia domanda è:

$ lim_(n -> oo ) sum_2^n 1/p_i^2=L_2 $

Dove $ p_i $ è l'i-esimo primo. Si dimostra abbastanza agevolmente che $ 0
A questo punto se vi parrà banale il problema, ci si potrebbe domandare

$ lim_(n -> oo ) sum_2^n 1/p_i^x=L_x $

che valori può assumere l' $ L_x $ così definito con $ x in NN $

E se $ x in CC $ la funzione è interessante? Spero di non aver posto domande banali

[And_And92]

Nessuno ha qualche idea? neanche per limitare ulteriormente il valore a cui converge?

[paolo.papadia]

come dimostri che $L<1/2$?

[gugo82]

@paolo.papadia: Mi chiedevo la stessa cosa.

Un argomento semplice, che fa uso della serie telescopica e delle disuguaglianze elementari:

[tex]$\forall n\geq 2,\quad p_n^2 \geq p_{n-1} p_n$[/tex] e [tex]$p_n-p_{n-1}\geq 1$[/tex]

(qui [tex]$p_n$[/tex] è l'[tex]$n$[/tex]-esimo numero primo, quindi [tex]$p_1=2$[/tex], [tex]$p_2=3$[/tex], etc...), consente di affermare che [tex]$L<\tfrac{3}{4}$[/tex]; ma suppongo che si possa fare meglio sempre con tecniche elementari.

@And_And92: Delle stime numeriche buone si possono dare usando un software numerico e le disuguaglianze di Rossert e Dusart (cfr. Lemma 1 e Theorem 3 questo articolo):

[tex]$\forall n\geq 6,\quad n(\ln (n\ln n)-1) \leq p_n\leq n\ln (n \ln n)$[/tex];

dato che:

[tex]$\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\frac{1}{{11}^2} +\sum_{n=6}^{+\infty} \frac{1}{n^2 \ln^2 (n\ln n)} \approx 0.447549$[/tex]

[tex]$\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\frac{1}{{11}^2} +\sum_{n=6}^{+\infty} \frac{1}{n^2 [\ln (n\ln n)-1]^2} \approx 0.472349$[/tex]

si ha [tex]$0.447549 \leq L\leq 0.472349$[/tex].