Sns 2003-2004 numero 1

[Omar931]

Determinare il luogo delle proiezioni ortogonali di un punto dello spazio
sui piani che passano per un altro punto fissato.

che è una sfera?

[xXStephXx]

Sì

[Seneca1]

Una sfera intera, dite?

[xXStephXx]

Eddai non essere pignolo, il contenuto interno me lo sono già mangiato non ti preoccupare

[dissonance]

"xXStephXx":Eddai non essere pignolo, il contenuto interno me lo sono già mangiato non ti preoccupare

Prima di fare dello spirito spiega meglio la tua idea. Dov'è il centro di questa sfera? Qual è il suo raggio? Possibilmente esibisci una soluzione completa, mi piacerebbe vederla e secondo me il quesito non è ovvio.

[xXStephXx]

Allora... Prima costruisco e poi spiego. Chiamo $O$ il punto da cui si fanno le proiezioni e $K$ l'altro punto dello spazio fissato.
Collego i due punti $OK$, ottenendo un segmento. Prendo in considerazione la sfera avente centro sul punto medio di tale segmento e un raggio pari alla metà del segmento stesso. La superficie di questa sfera è il luogo geometrico.
Dimostrazione:
Per ogni punto $P$ che appartiene alla superficie della sfera è possibile prendere un piano passante per $K$ e tangente alla sfera in $P$. Ora collego $O$ con $P$ e collego $P$ con $K$. L'angolo [tex]O\widehat PK[/tex] insiste sul diametro della sfera e ha il vertice sulla superficie della sfera quindi è retto.. ( se vogliamo dimostrarlo meglio possiamo prendere la circonferenza passante per i punti $O$, $P$, $K$ e a questo punto si applica la proprietà della geometria piana degli angoli alla circonferenza insistenti sul diametro). Quindi in sostanza $OP$ è perpendicolare al piano, quindi $P$ soddisfa la condizione. Ok ora sappiamo che tutti i punti della superficie della sfera soddisfano.
Ora consideriamo un punto $Q$ generico. Se prendiamo un piano passante per $K$ e $Q$ e la retta $OQ$ è perpendicolare a quel piano, allora l'angolo [tex]O\widehat QK[/tex] è retto. Quindi ho che l'angolo in questione insiste su $OK$ diametro della sfera ed è retto, quindi $Q$ appartiene alla superficie della sfera.

[dissonance]

"xXStephXx":[...]
Collego i due punti $OK$, ottenendo un segmento. Prendo in considerazione la sfera avente centro sul punto medio di tale segmento e un raggio pari alla metà del segmento stesso. [...]
Dimostrazione:
Per ogni punto $P$ che appartiene alla superficie della sfera è possibile prendere un piano passante per $K$ e tangente alla sfera in $P$. [...]

Non mi pare: secondo me il piano tangente la sfera in $P$ passa per $K$ se e solo se $P=K$.


Forse ho capito male la costruzione?

[xXStephXx]

Ehm..... ok... continua a leggere saltando quella parte

[Seneca1]

Quindi in sostanza $OP$ è perpendicolare al piano, quindi P soddisfa la condizione. Ok ora sappiamo che tutti i punti della superficie della sfera soddisfano.

Quale piano?

[xXStephXx]

L'unico piano di cui ho parlato nella dimostrazione xD L'unica cosa da saltare, che non so da dove l'ho tirata fuori è "tangente alla sfera in P".

[ciampax]

Uh, carino.

Indichiamo con $Y_0$ il punto fissato per cui passano i piani e $X_0$ il punto da proiettare, e con $X$ la proiezione (variabile) del punto $X_0$ su questi piani. Se $n$ rappresenta la normale al piano allora, dalle definizioni stesse di piano e proiezione ortogonale, seguono le due condizioni

$(X-Y_0)\times n=0,\qquad (X-X_0)=\lambda n$

avendo indicato con $\times$ il prodotto scalare ed essendo $\lambda\in RR$. Ma allora si ha pure

$(X-Y_0)\times(X-X_0)=0$

o equivalentemente

$|X|^2-(X_0+Y_0)\times X+X_0\times Y_0=0$

Sommando e sottraendo $1/4|X_0+Y_0|^2=1/4(|X_0|^2+2X_0\times Y_0+|Y_0|^2)$ si ha

$|X-{X_0+Y_0}/2|^2=1/4|X_0-Y_0|^2$

che è l'equazione di una sfera di centro il punto medio del segmento $X_0 Y_0$ e raggio la meta della lunghezza di tale segmento.