Sistema lineare... eh eh!

[maurer]

Quando l'ho capito sono rimasto parecchio sorpreso...

Poniamo, per chiarezza, [tex]\mathbb N := \{1, 2, \ldots\}[/tex].

Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo. Sia assegnata una famiglia di coefficienti [tex]\{a_{ij}, i,j \in \mathbb N\} \subset K[/tex] tali che per ogni [tex]i \in \mathbb N[/tex] esista solo un numero finito di [tex]j \in \mathbb N[/tex] tali che [tex]a_{ij} \ne 0[/tex]. Siano anche assegnati [tex]\{b_i\}_{i \in \mathbb N} \subset K[/tex]. Infine, siano [tex]\{x_i\}_{i \in \mathbb N}[/tex] variabili algebricamente indipendenti. Denotiamo con [tex]E_n[/tex] l'equazione [tex]\displaystyle \sum_{j = 1}^{+\infty} a_{n j} x_j = b_n[/tex]. Supponiamo che per ogni [tex]N \in \mathbb N[/tex] il sistema formato dalle equazioni [tex]E_1, \ldots, E_N[/tex] ammetta una soluzione in [tex]K[/tex]. Mostrare che esiste [tex]\mathbf x \in K^\omega[/tex] tale da soddisfare tutte le equazioni.

Hint:

Potrebbe essere davvero utile mostrare che se [tex]K \subset L[/tex] è un'estensione di campi e se il precedente sistema infinito ha soluzione in [tex]L[/tex], allora ha anche soluzione in [tex]K[/tex].

Nota. Con [tex]K^\omega[/tex] non intendo la somma diretta del campo [tex]K[/tex] una quantità numerabile di volte; intendo proprio il prodotto infinito (quindi ci sono elementi con infinite entrate non nulle).

[dissonance]

E' una specie di risultato di "compattezza", questo, o mi sbaglio? Se pensiamo $E_1 E_2 ... E_N$ come degli insiemi, stiamo dimostrando che se essi si intersecano al finito allora si intersecano, proprio come in un compatto una famiglia di chiusi che si interseca al finito si interseca.

Il problema mi interessa, ma ho bisogno di pensarci un po' (nei ritagli di tempo, purtroppo...).

[maurer]

Sì, in effetti il termine compattezza è un termine molto appropriato. Combinato con l'hint che ho dato porta sostanzialmente alla soluzione. Naturalmente, bisogna capire in quale ambito utilizzare la compattezza!

Inoltre, la descrizione geometrica che suggerisci è veramente suggestiva. Il mio primissimo approccio lavorava proprio su quell'interpretazione, passando da un tentativo di compattificare alla Alexandrov lo spazio per ottenere dei compatti.
Inutile dire che è stato un fallimento... e per ottenere la soluzione ho cambiato radicalmente punto di vista!

[j18eos]

La mia prima difficoltà è definire la topologia di Zariski su \(\mathbb{K}^{\omega}\) o una simile; l'unica idea decente è considerare la classica base \(\mathcal{B}\) costituita dai complementari delle ipersuperfici algebriche, cioè \[\mathcal{B}=\bigg\{\mathbb{K}^{\omega}\setminus I\in\mathcal{P}(\mathbb{K}^{\omega})\text{ ove $I$ è il luogo degli zeri di un polinomio, con finiti coefficienti non nulli in }\mathbb{K}\bigg\};\] infatti, siano \(A_1=\mathbb{K}^{\omega}\setminus I_1;A_2=\mathbb{K}^{\omega}\setminus I_2\in\mathcal{B}\mid \emptyset\neq A_1\cap A_2=...=\mathbb{K}^{\omega}\setminus(I_1\cup I_2),\)
ma per definizione \(\mathbb{K}^{\omega}\setminus(I_1\cup I_2)\in\mathcal{B}\).

Detta \(\mathcal{T}\,\) la topologia che resta definita su \(\mathbb{K}^{\omega}\), si ha che \(\{E_h\subseteq\mathbb{K}^{\omega}\}_{h\in\mathbb{N}}\) è una famiglia di chiusi, le cui intersezioni finite sono non vuote.

Una nota personale: ogni volta che ho utilizzato la compattificazione di Alexandrov per un qualche problema di topologia, ho sempre perso tempo. -_-

[j18eos]

La topologia definita non è compatta!

Preliminarmente si nota che tale topologia è più fine della topologia conumerabile; essendo quest'ultima non compatta allora nemmeno quella che ho proposto può essere compatta!

La brutta notizia è che così non si ottiene che tutti gl'insiemi chiusi sono compatti, in particolare gl'insiemi chiusi ottenuti come complementari degli aperti della base non sono compatti; in quanto contengono sottoinsiemi chiusi non compatti.

Tenterò nel seguito un approccio più da geometra algebrico!

[Principe2]

Ok... mi butto, anche se non sono affatto esperto in logica e spero di non dire cazzate troppo grosse.

Sia $\omega$ un ultrafiltro non principale sui naturali. Allora l'ultrapotenza $K^\omega$ e' ancora un campo e il sistema infinito di equazioni in considerazione diventa una equazione in questo campo, che e' risolubile dal teorema di compattezza di Godel-Maltsev.

[maurer]

O (equivalentemente?) esiste un'estensione elementare di [tex]K[/tex] in cui il sistema ammette soluzioni, perché è finitamente coerente. A patto di dimostrare quello che avevo messo in spoiler, segue la tesi.

Comunque c'è un modo più facile.

[j18eos]

Inizio col costruirmi una topologia adatta!

Primo tentativo nella categoria \(\mathbf{Set}\)! (1)

Considerato il sistema induttivo \(\{(\mathbb{K}^n;i_{n;m})\}_{n\leq m\in\mathbb{N}}\) ove:
\[
\forall n\leq m\in\mathbb{N},\,(x_1;...;x_n)\in\mathbb{K}^n\xrightarrow{i_{n;m}}\left(x_1;...;x_n;\underbrace{0;...;0}_{(m-n)\,\text{volte}}\right)\in\mathbb{K}^m
\]
voglio dimostrare che in \(\mathbf{Set}\):
\[
\left(\mathbb{K}^{(\omega)};j_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\lim_{\overrightarrow{n\in\mathbb{N}}}(\mathbb{K}^n;i_{n;\cdot});
\]
ove:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,(x_1;...;x_n)\in\mathbb{K}^n\xrightarrow{j_n}\left(x_1;...;x_n;\underbrace{0;...;0}_{\text{una infinità numerabile}}\right)\in\mathbb{K}^{(\omega)}.
\]
Banalmente si ha che:

[tex]\xymatrix{
\ar@{}[ddr] |{=}
\mathbb{K}^m\ar[dr]^{j_m} & \\
& \mathbb{K}^{(\omega)} \\
\mathbb{K}^n\ar[uu]^{i_{n;m}}\ar[ur]_{j_n} &
}[/tex]

ove al solito \(n\leq m\in\mathbb{N};\) se \(H\) è un altro insieme tale che:

[tex]\xymatrix{
\mathbb{K}^m\ar[dr]_{j_m}\ar[drr]^{l_m} & & \\
& \mathbb{K}^{(\omega)}\ar@{.>}[r]^{\lambda} & H\\
\mathbb{K}^n\ar[uu]^{i_{n;m}}\ar[ur]^{j_n}\ar[urr]_{l_n} & &
}[/tex]

si definisca
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda((x_m)_{m\in\mathbb{N}})= l_n(x_1;...;x_n)\iff m\geq n,\,x_m=0;
\]
\(\lambda\) risulta essere ben definita, unica e \(\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda\circ j_n=l_n\) onde l'asserto!

Secondo tentativo nella categoria \(\mathbf{Set}\)! (2)

Considerato il sistema proiettivo \(\{(\mathbb{K}^n;p_{n;m})\}_{n\geq m\in\mathbb{N}}\) ove: \[
\forall n\geq m\in\mathbb{N},\,(x_1;...;x_n)\in\mathbb{K}^n\xrightarrow{p_{n;m}}(x_1;...;x_m)\in\mathbb{K}^m
\]
voglio dimostrare che in \(\mathbf{Set}\):
\[
\left(\mathbb{K}^{\omega};\pi_n\right)_{n\in\mathbb{N}}=\lim_{\overleftarrow{n\in\mathbb{N}}}(\mathbb{K}^n;p_{n;\cdot});
\]
ove:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\in\mathbb{K}^{\omega}\xrightarrow{\pi_n}(x_1;...;x_n)\in\mathbb{K}^n.
\]
Banalmente si ha che:

[tex]\xymatrix{
\ar@{}[ddr]|{=}
& \mathbb{K}^n\ar[dd]^{p_{n;m}} \\
\mathbb{K}^{\omega}\ar[ur]^{\pi_n}\ar[dr]_{\pi_m} & \\
& \mathbb{K}^m
}[/tex]

ove al solito \(n\geq m\in\mathbb{N};\) se \(H\) è un altro insieme tale che:

[tex]\xymatrix{
& & \mathbb{K}^n\ar[dd]^{p_{n;m}}\\
H\ar@{.>}[r]^{\lambda}\ar[urr]^{\varpi_n}\ar[drr]_{\varpi_m} & \mathbb{K}^{\omega}\ar[ur]_{\pi_n}\ar[dr]^{\pi_m} & \\
& & \mathbb{K}^m
}[/tex]

volendo che sia \(\forall n\in\mathbb{N},\,\pi_n\circ\lambda=\varpi_n,\) non resta che costruire \(\lambda\) pezzo per pezzo!
Una maniera semplice è porre:
\[
\forall h\in H,\,\lambda(h)=\left(\pi_i^i(\varpi_i(h))\right)_{i\in\mathbb{N}}\in\mathbb{K}^{\omega}
\]
ove:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\pi_n^n:(x_1;...;x_n)\in\mathbb{K}^n\to x_n\in\mathbb{K};
\]
da ciò \(\lambda\) è ben definita, soddisfa quanto richiesto e si ha l'asserto!

A questo punto è facile capire dove voglio andare: nella categoria (anarchica) \(\mathbf{Top}\)!

Però non è facile quello che voglio fare.
Inizierò col capire chi è e se esiste:
\[
\lim_{\overleftarrow{n\in\mathbb{N}}}((\mathbb{K}^n;\mathrm{Zar});p_{n;\cdot})
\]
ove non sono cambiati i nomi dal precedente spoiler; tanto le applicazioni polinomiali sono contiue tra spazi affini con la topologia di Zariski!
Sempre dal precedente spoiler, il sostegno dello spazio topologico candidato è \(\mathbb{K}^{\omega}\); la topologia candidata è la topologia debole \(\mathcal{D}\mathrm{Zar}\) generata dalle proiezioni \(\pi_n\) e dalle varie topologie di Zariski considerate(4)!
Senza cambiare i nomi dal post precedente, considerato uno spazio topologico \((H;\mathcal{T})\) tale che:

[tex]\xymatrix{
& & (\mathbb{K}^n;\mathrm{Zar})\ar[dd]^{p_{n;m}}\\
(H;\mathcal{T})\ar@{.>}[r]^{\lambda}\ar[urr]^{\varpi_n}\ar[drr]_{\varpi_m} & (\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\ar[ur]_{\pi_n}\ar[dr]^{\pi_m} & \\
& & (\mathbb{K}^m;\mathrm{Zar})
}[/tex]

e non resta che studiare l'ipotetica continuità di \(\lambda\)!
Dallo spoiler precedente, si ha che le funzioni componenti di \(\lambda\) sono funzioni continue(3); inoltre per costruzione:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\varpi_n=\pi_n\circ\lambda\Rightarrow\forall x\in H,\,\varphi_n(x)=\pi_n(\lambda(x));
\]
esplicitato ciò, sia \(C\in\mathcal{D}\mathrm{Zar}\) allora:
\[
C=\bigcap_{\displaystyle{\left\{C_n\subseteq\mathbb{K}^n\mid C_n\in\mathrm{Zar};\,\pi_n^{-1}(C_n)\supseteq C\right\}}}\pi_n^{-1}(C_n)\equiv\bigcap_{\displaystyle{\mathscr{P}(C)}}\pi_n^{-1}(C)\Rightarrow\\
\Rightarrow\lambda^{-1}(C)=\lambda^{-1}\left(\bigcap_{\displaystyle{\mathscr{P}(C)}}\pi_n^{-1}(C)\right)=\bigcap_{\displaystyle{\mathscr{P}(C)}}\lambda^{-1}\left(\pi_n^{-1}(C)\right)=\bigcap_{\displaystyle{\mathscr{P}(C)}}\varpi_n^{-1}(C)\in\mathcal{T}
\]
ovvero le anti-immagini dei sottoinsiemi chiusi di \((\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\) mediante \(\lambda\) sono sottoinsiemi chiusi di \(H\), quindi \(\lambda\) è un'applicazione continua e si ha l'asserto!

Ho finalmente costruito la topologia adatta; infatti: le equazioni polinomiali (tra cui le lineari) di "lunghezza finita " determinano sottoinsiemi chiusi di \((\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\), per cui maurer cosidera una famiglia numerabile di insiemi chiusi che gode della proprietà della intersezione finita... domanda finale: tale topologia è numerabilmente compatta (5)? Ovvero, considerata la categoria \(\mathbf{NumComp}\) degli spazi topologici numerabilmente compatti risulta che \((\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\in\mathrm{Obj}(\mathbf{NumComp})\)?

Per chi non la conosce ve la presento:

[*:1cw05jqz] gli oggetti di \(\mathbf{NumComp}\) sono gli spazi topologici numerabilmente compatti;[/*:m:1cw05jqz]
[*:1cw05jqz] i morfismi tra gli spazi topologici (numerabilmente compatti) sono le applicazioni continue;[/*:m:1cw05jqz]
[*:1cw05jqz] la composizione di morfismi è la usuale composizione di funzioni.[/*:m:1cw05jqz][/list:u:1cw05jqz] [size=150]Esercizio[/size]: dimostrare che effettivamente ho definito una categoria!

Chiudo in bellezza nella categoria \(\mathbf{NumComp}\).
Sia \(\mathcal{F}=\{C_i\in\mathcal{D}\mathrm{Zar}\}_{i\in\mathbb{N}}\) una famiglia numerabile di insiemi chiusi tali che:
\[
\emptyset=\bigcap\mathcal{F}=\bigcap_{i=1}^{+\infty}C_i=\bigcap_{i=1}^{+\infty}\bigcap_{j=1}^{+\infty}\pi_j^{-1}(C_i^j)=\bigcap_{j=1}^{+\infty}\pi_j^{-1}\left(\bigcap_{i=1}^{+\infty}C_i^j\right)
\]
e per assurdo ogni sottofamiglia finita di \(\mathcal{F}\) abbia intersezione non vuota; in particolare le famiglie \(\{C_i^j\subseteq\mathbb{K}^j\}_{i\in\mathbb{N}}\), per la compattezza di \((\mathbb{K}^j;\mathrm{Zar})\), hanno intersezione non vuota.
Sia \(\displaystyle\forall j\in\mathbb{N},\,E_j=\bigcap_{i=1}^{+\infty}C_i^j\) allora è:
\begin{gather*}
\emptyset=\bigcap\mathcal{F}=\bigcap_{j=1}^{+\infty}\pi_j^{-1}(E_j)=\pi_1^{-1}(E_1)\cap\pi_2^{-1}(E_2)\cap...\cap\pi_n^{-1}(E_n)\cap...=\\
=\pi_2^{-1}\left(p_{1;2}^{-1}(E_1)\cap E_2\right)\cap\pi_3^{-1}(E_3)\cap...\cap\pi_n^{-1}(E_n)\cap...=\\
=...=\\
=\pi_n^{-1}\left(p_{1;n}^{-1}(E_1)\cap p_{2;n}^{-1}(E_2)\cap...\cap E_n\right)\cap...
\end{gather*}
procedendo ad libitum si ottiene l'assurdo che \(\displaystyle\bigcap\mathcal{F}\neq\emptyset\).
Onde evitare l'assurdo, esiste una sottofamiglia finita di \(\mathcal{F}\) ad intersezione vuota; in particolare \((\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\) è uno spazio topologico numerabilmente compatto.
Spero che sia tutto corretto, perché così ho voluto festeggiare il mio quarto millesimo messagio!

P.S.: Avero scritto, manco a farlo apposta, il 19/V/2012

"j18eos":...Tenterò nel seguito un approccio più da geometra algebrico!

ma per adesso, potrei provare solo per il caso che \(\mathbb{K}\) sia algebricamente chiuso... forse!

§§§

(1) L'ho scritto, mi sono accorto che ho sbagliato e quindi ho deciso di lasciarlo... anche se in fondo è stato illuminante per il secondo tentativo!
(2) Questo è il tentativo giusto!
(3) Le funzioni polinomiali da ogni \((\mathbb{K}^n;\mathrm{Zar})\) a \((\mathbb{K};\mathrm{Zar})\) sono continue!
(4) Un sottoinsieme \(C\) è chiuso in \((\mathbb{K}^{\omega};\mathcal{D}\mathrm{Zar})\) se e solo se:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\exists C_n\subseteq\mathbb{K}^n\,\text{ chiuso}\mid C=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\pi_n^{-1}(C_n).
\]
(5) Uno spazio topologico \((X;\mathcal{T})\) si definisce numerabilmente compatto se per ogni famiglia numerabile di insiemi chiusi ad intersezione vuota esiste una sottofamiglia finita ad intersezione vuota.

[dissonance]

Questo tuo (chilometrico) post contiene effettivamente una soluzione completa del problema o no?

[j18eos]

A meno di miei errori\inconcludenze sì.