Sistema dinamico e stabilità

[Covenant]

Vediamo se qualcuno tira fuori una soluzione diversa dalla mia per il seguente problema:

Si consideri il sistema dinamico planare

\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x}= -2xy+x^3 \\\dot{y}=-y+x^2
\end{cases}
\end{equation}
[nota]Ovviamente $\dot{x} = \frac{d x}{dt}$ e $\dot{y} = \frac{d y}{ dt}$[/nota]
si provi che l'origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.

[Covenant]

Nessuno che si cimenta?

[Rigel1]

Io userei una funzione di Lyapunov del tipo \(V(x,y) = (x^2+y^2) e^{-2y}\).

[Covenant]

Giusto! quella è una funzione di Lyapunov debole ma per il principio Krasovskii–LaSalle si vede che la stabilità è asintotica. Appena posso posto anche la mia soluzione che fa uso del metodo della varietà centrale.

[Rigel1]

In effetti si può osservare che la varietà centrale è del tipo \(\{x, \varphi(x)): x\in (-a, a)\}\) con
\[
\varphi(x) = x^2 + O(x^4).
\]
La dinamica sulla varietà centrale è dunque \(\dot{x} = -x^3 + O(x^5)\) e di conseguenza l'origine è asintoticamente stabile.

[Covenant]

That's right!