SISSA 2010 problema sui compatti e funzioni continue.

[onlynose]

Ciao a tutti ragazzi. Vi propongo questo problema dell'ammissione per la SISSA.

Sia $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione continua, e $\{K_i\}$ una famiglia numerabile di compatti tale che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.
(i) Si mostri che
$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)=\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$
(ii) Si dia un controesempio al Punto (i) nel caso che $\{K_i\}$ sia una famiglia numerabile non necessariamente compatti tali che $K_{i+1}\subset K_i \subset[0, 1]$ per ogni $i\in\mathbb{N}$.

Vi lascio nascoste le mie idee.

(i) Per mostrare la prima parte pensavo di usare una doppia inclusione. La prima da sinistra verso destra è abbastanza scontata: sia $x\in\cap_{i=1}^{\infty}K_i$, allora avrò che $x_i\in K_i$ per ogni $i\in\mathbb{N}$. Si ha che $f(x)\in f(K_i)$ per ogni $i\in\mathbb{N}$. Allora segue da ciò che

$$f(x)\in\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i).$$

e quindi

$$f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right)\subset\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$$.

La seconda implicazione non ho finito di risolverla, vi lascio ciò che ho provato a fare:
sia $y\in\cap_{i=1}^{\infty}f(K_i)$, allora $y\in f(K_i)$ per ogni $i\ge1$. Questo vuol dire che esiste $x_i\in K_i$ tale che $y=f(x_i)$ per ogni $i\ge1$. Inoltre poiché la successione degli insiemi $K_i$ è "decrescente avrò che" $x_i\in K_j$ per $j=1,\cdots, i$. Ho così costruito una successione ${x_i}$ con le proprietà descritte sopra. Ciò che mi manca è far vedere che tale successione converga (basta che abbia un'estratta convergente, da qui l'ipotesi della compattezza) ad un elemente $x\in\cap_{i=1}^{\infty}K_i$. Se così fosse per continuità avrei $y=f(x)$ poiché $f(x_i)\rightarrow f(x)$.
Qualcuno sa come completare questa parte?

Il secondo punto ho fornito questo controesempio. Sia $k_i=(0,1/i)$ per $i\ge1$ (questa successione ha le proprietà richieste). Sia $f$ una funzione costante, ad esempio $f(x)=1$ per ogni $x\in[0,1]$.

Ovviamente la differenza con il primo punto è chiara: nel secondo caso per ogni $i$ esiste $x_i$ con le proprietà prima descritte, ma venuta meno la compattezza, non ho convergenza essendo l'intersezione dei $K_i$ vuota.
Non riesco a formalizzare il punto (i) detto sopra. Fatemi sapere.

[Bremen000]

Ciao,

(i) L'inclusione
\[ f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right) \subseteq\bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i) \]
è ovvia. Bisogna mostrare l'altra.
Sia \( y \in \bigcap_{i=1}^{\infty}f(K_i) \), allora \( y \in f(K_i) \) per ogni \( i \in \mathbb{N} \). Cioè
\[ \forall \, i \in \mathbb{N} \, \, \exists \, x_i \in K_i \mid y = f(x_i) \]
Abbiamo che \( \{x_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subset K_1 \) e dunque possiamo estrarne una sottosuccessione \( \{x_{i_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \) convergente diciamo a $x \in K_1$. Siccome definitivamente la successione (e dunque anche la sottosuccessione) appartiene a $K_i$ per ogni $i \in \mathbb{N}$, ne deduciamo che $x \in \bigcap K_i$. Per continuità di $f$ si ha che $y=f(x)$ e dunque \( y \in f\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}K_i\right) \).

(ii) Basta prendere \( K_i = (0,1/i) \) e $f(x)=0$. Allora l'intersezione dei $K_i$ è il vuoto mentre l'intersezione delle immagini è \( \{0 \} \).

[onlynose]

Grazie Bremen000, mi mancava proprio un pelo per arrivare a concludere.

[Bremen000]

Di nulla, ho letto ora quello che avevi scritto ed in effetti è praticamente uguale a quello che ho messo io!

[vict85]

Si tratta, di fatto, di un corollario del fatto che una successione decrescente di compatti non vuota non è mai vuota. Per comodità sia \(K_{\infty} = \searrow K_i\). Sia inoltre \(C_i = f^{-1}(\{y\})\cap K_i\). È immediato verificare che \(C_i\) è un insieme compatto e \(C_{i+1}\subseteq C_i\) per ogni \(i\). Inoltre \(C_i\) non è vuoto per le ipotesi su \(y\). Siccome \(f^{-1}(\{y\})\) è un insieme fissato, \(C_{\infty} = \searrow C_i = f^{-1}(\{y\})\cap (\searrow K_i) = f^{-1}(\{y\})\cap K_\infty \subseteq K_\infty\). Per il teorema che ho citato, \(C_{\infty}\) è non vuoto e per definizione \(f(C_{\infty}) = \{y\}\).