[SISSA 2005] Esercizio sui limiti delle derivate

[Gaal Dornick]

Vi propongo un altro esercizio, dalla prova d'ammissione in SISSA 2005.

Sia $f:RR \to RR$, $f in C^2(RR)$,
supponiamo che $lim_{x \to +oo} f(x)=lim_{x \to -oo} f(x)=0$.
Allora $f''$ ha almeno due zeri distinti.

Non saprei come procedere. Ho inziato così.
Se la $f$ è identicamente nulla l'asserto è provato.
Altrimenti $EE barx in RR t.c. f(barx)!=0$, per esempio $f(barx)>0$.
Allora (con Lagrange) ci saranno $x_10$,$f'(x_2)<0$.
Allora (sempre Lagrange) ci sarà $x_3$ tale che $f''(x_3)<0$.
Qui mi fermo.
Secondo me mi sto allontanando troppo...

Edit:aggiustata notazione

[Gaal Dornick]

Velocemente prima di andare a nanna. Poi magari domani scrivo meglio...

non è detto che $lim_(x \to +oo) f(x)=0 => lim_(x \to +oo) f'(x)=0$.
Come controesempio propongo $(sin(x))^2/x$.

Speriamo che la notte mi porti consiglio..

[dissonance]

"Sergio":c) da $lim_(x to +- oo)f(x)=0$ segue $lim_(x to +- oo)f'(x)=0$ (ho provato a dimostrarlo, ma mi viene una dimostrazione così banale che i casi sono due: è praticamente evidente, oppure ho preso una cantonata grossa come una casa, vedi tu);

Mmmmmhhh... mi sa che questo è falso, purtroppo. Secondo me il fatto che una funzione decada all'infinito non implica che il decadimento avvenga in maniera regolare.
Ad esempio: $f(x)=(sinx^2)/x$, definita per $x!=0$, verifica $lim_{|x|\toinfty}f(x)=0$, ma essendo $f'(x)=-\frac{2x^2cosx^2-sinx^2}{x^2}=2cosx^2-\frac{sinx^2}{x^2}$, non esistono i limiti per $x\to+infty, -infty$ di $f'(x)$. (Questa funzione decade sì, grazie al termine $1/x$, ma oscillando sempre più rapidamente. Il che non viene perdonato dalla derivata prima che reagisce con una mancanza di regolarità all'infinito).

Naturalmente questa funzione non è $C^1(RR)$, anzi in $0$ non è nemmeno definita.

[edit] Scrivevo in contemporanea a Gaal.

[dissonance]

Non ci provare, Sergio!
Non è questione di regolarità intorno allo $0$. Possiamo esibire un esempio di funzione addirittura $C^infty(RR)$ che decade all'infinito ma con derivata prima irregolare all'infinito. Io farei così, poi magari Gaal ha una soluzione più semplice:

sia $f(x)=sin(x^2)/x$, funzione di classe $C^infty(RR-{0})$. La definisco anche in $0$: $f(0)=0$.
Questa funzione ha il problema di esplodere in $0$, voglio quindi moltiplicarla con una funzione $zeta$ di classe $C^infty(RR)$ che abbia un comportamento del genere:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=0; ymax=1; axes("labels"); line([-3, 1], [-2, 1]); arc([-1, 0], [-2, 1], 2);line([-1, 0], [1, 0]); arc([2, 1], [1, 0], 2); line([2, 1], [3, 1]);[/asvg]
(ti prego, fai finta che per $x=-2, -1, 1, 2$ non ci siano punti angolosi ma raccordi lisci ). L'esistenza di una funzione come questa l'abbiamo dimostrata tempo fa qui (se necessario ne possiamo riparlare, ma in un altro topic per evitare l'OT).

Bene, allora la funzione definita da $bar{f}(x)=zeta(x)*f(x)$ fa al caso nostro.

[Gaal Dornick]

Si, il controesempio che volevo proporre è quello di Dissonance, ieri ero troppo stanco per provare, l'ho scritto senza pensarci troppo su..
A noi serve il comportamento della $f$ all'infinito, tutto sommato possiamo raccordare i due lati della funzione di Dissonance ( ) come ci pare con continuità..
Ma tutto questo non fa che non rispondere al quesito!!

P.S. tutto sommato possiamo salvare un po' di Sergio. Sfruttando i risultati che ottiene sulla $f'$, e usandoli per la $f$ (dove vale l'ipotesi all' infinito) otteniamo che c'è almeno un minimo o un massimo! Il "Weierstrass generalizzato" mi garantisce che esiste un minimo o un massimo, non necessariamente entrambi. Controesempio: $1/(1+x^2)$.
Quasi mi odio.

[Gaal Dornick]

Non saprei! però ad esempio: se $f$ è un infinito all'infinito.. allora è un infinito di ordine superiore al primo.
Basta usare un Hopital.

[Gaal Dornick]

E' un controesempio per il teorema di Weierstrass generalizzato.
Si ha che il limite a più e meno infinito è 0, però non è vero che la funzione ammette massimo e minimo.
E' però vero che ammette massimo o minimo (e questo è vero in generale).

[Gaal Dornick]

Penso d'esserci!

"Sergio":Ricomincio

Esclusi $f(x)=0$ (caso banale) e in generale $f(x)=k$ (non coerente con il tendere a $0$ per $x to +-oo$), $f(x)$ ha un massimo in cui, essendo $f in C^2(RR)$, $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)<0$.
Esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione è concava e in cui $f'(x)>0$ per $x Tale intorno non può coincidere con $RR$, in quanto... se la funzione fosse sempre convaca, si avrebbe $lim_(x to -oo)f(x) !in RR$. Infatti:

Fin qui ti seguo, poi non ho la testa di andare avanti.
Però lo risolverei così: (con le notazioni del mio primo post)
Sappiamo che c'è $x_3 in RR$ tale che $f''(x_3)<0$ (con le ripetute applicazioni di Lagrange che dicevo)
Supponiamo per assurdo che $f''$ rimanga $<0$ in $(-oo,x_3]$.
Allora stiamo dicendo che la $f$ è strettamente concava.
Quindi è sempre al disotto di una tangente in un punto, ad esempio $x_1$. Cioè $AA x <= x_3: f(x)<=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)$ Ma $f'(x_1)>0$, quindi $lim_(x \to -oo) f(x)=-oo$, che contraddice l'ipotesi.
Quindi c'è un punto in cui la $f''$ si annulla in $(-oo,x_3)$.

Ragionando analogamente in $[x_3,+oo)$ e usando la tangente in $x_2$ otteniamo $lim_(x \to +oo) f(x)=-oo$, e assurdo ancora.

Funziona?

[Gaal Dornick]

Esatto. Tu dici "$f''(x)$ non sarebbe definita in $0$", che non è l'obiezione da fare, ma immagino che tu volessi dire "non assume il valore $0$", e non può non assumerlo per l'ipotesi $f in C^2$.
In realtà basterebbe un $f in C^1$, dal momento che la proprietà dei valori intermedi vale per la derivata di una funzione continua, anche se quest'ultima non è continua (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Darboux).

Io ragiono per assurdo supponendo che "sempre $f''<0$. Assurdo, quindi da qualche parte $f''>=0$, quindi se la disuguaglianza è provata con l'uguaglianza, bene; altrimenti se è provata con la disuguaglianza stretta, per la proprietà di Darboux ci sarà un punto in cui s'annulla. QED

[Gaal Dornick]

Ma il titolo l'avevo inventato io!
Il titolo giusto sarebbe:
Ammissione in SISSA!?!?!?!?!?!??!

[Marco512]

Io lo risolverei così:

se $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, la funzione la posso considerare continua a destra di $+\infty$ e a sinistra di $-\infty$, dunque continua tra $-\infty$ e $+\infty$, e derivabile in tutto $\RR$, allora posso applicare il teorema di Rolle: $EE$ $c \in ]-\infty,+\infty( $ tale che $f'(c)=0$. Ora, se $f'$ ha un punto stazionario ($c$) e $f'$ è continua (è di classe $C^2$..), può essere: o è identicamente nulla (caso banale), oppure è diversa da zero tra $-\infty$ e $c$ e tra $c$ e $+\infty$. Applico di nuovo Rolle,alla $f'$, tra $]-\infty,c) $ e $]c, +\infty($, dunque $EE$ $\bar c \in ]-\infty,c[[ $ e $ \bar \bar c \in ]c, +\infty[$ tali che $f''(\bar c)=0$ e $f''(\bar \bar c) =0$.

[Marco512]

Infatti, devono essere continue in intervalli chiusi, ma io pensavo a quella funzione continua anche in $+- \infty$, dato che esistono i rispettivi limiti, dunque continua in $\RR uu ({+\infty},{-\infty})$

[Marco512]

la funzione che ha $f'(x)=x^2$ è $f(x)=(x^3)/3$ e $\lim_{x \to +-\infty}(x^3)/3 !=0$

[Marco512]

No no, è Rolle, la derivata prima ha un punto stazionario ($c$) e l'asse delle ascisse è l'asintoto di $f$, sia dalla parte positiva che da quella negativa, dunque geometricamente le tangenti si avvicinano sempre di più all'asse coordinato, dunque si può assumere che per $x \to \infty$ $f'(x)=0$

[Marco512]

A parte il fatto che quella funzione controesempio di Gaal ha la derivata prima che si annulla per $x \to \infty$, questo non contraddice quello che sostengo.
Detto questo può darsi che la mia soluzione non sia valida (oppure anche la vostra, che da quel che ho capito è un po' la parafrasi della mia), non posso mica sapere tutto!
Mi piacerebbe sapere il parere dei vari Lussardi, Gugo82, sul problema di questo topic...

[Marco512]

Ok, capito. Sei stato molto chiaro.