$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)<=1/8$

[Gaal Dornick]

Propongo un esercizio da un test. Anche se l'argomento è (sembra) semplice, viene da un test per laureati brevi.. insomma ve lo propongo. Se i moderatori riterranno che andrà spostato in Superiori, allora non sia fatta la mia ma la sua volontà.

Siano $x$,$y$,$z$ i tre angoli di un triangolo. Provare che:
$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)<=1/8$.
Per quale valore si ha l'uguaglianza?

Non l'ho risolto. Pubblico in spoiler le mie idee:

Anzitutto: per un triangolo equilatero l'uguaglianza è soddisfatta. Boh, ho provato ad occhio e ho avuto fortuna.
Io direi: $z=\pi -x-y$, da cui $sin(z/2)=cos(x/2+y/2)$. A questo punto, formule di addizione.
Si ottiene, sfruttando le formule di duplicazione ($sin2x=2sinx cosx$)
$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)=1/4 (sinxsiny-(1-cosx)(1-cosy))$. Ma questo non mi dice niente!

[salvozungri]

Potremmo utilizzare i moltiplicatori di Lagrange con vincolo $g(x,y,z)= x+y+z= \pi$, solo che questo metodo è davvero una forzatura, ci sarà sicuramente una soluzione elementare (mi sembra di averla già vista da qualche parte quella disuguaglianza ). Dammi qualche minuto (ora, giorno ) per riguardare alcune disuguaglianze note

[salvozungri]

Dopo qualche giorno ritorno su questo argomento perchè l'ho trovato davvero interessante.

Metto in spoiler per due motivi:
•Mi auguro che qualcun altro trovi la soluzione in modo diverso.
• La soluzione non è tutta farina del mio sacco, ma è stata costruita assieme ad alcuni miei colleghi

(Attenzione, da qui in poi inizia la dimostrazione)
Consideriamo la funzione [tex]\phi(x)= \log\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)[/tex] con [tex]x\in(0, \pi)_{(1.1)}[/tex]. Essa è concava nell'intervallo di definizione. Per la disuguaglianza di Jensen (per le funzioni concave) abbiamo che:
[tex]\displaystyle\frac{\log\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)\right)}{3}=[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{\log\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\log\left(\sin\left(\frac{y}{2}\right)\right)+\log\left(\sin\left(\frac{z}{2}\right)\right)}{3}\le[/tex]
[tex]\le \log\left(\sin\left(\frac{x+y+z}{6}\right)\right) =_{(1.2)} -\log(2)[/tex]
dunque:
[tex]\displaystyle\log\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)\right)\le -3\log(2)[/tex]
di conseguenza
[tex]\displaystyle\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)\le \frac{1}{8}[/tex]
Si ha l'uguaglianza se e solo se x=y=z cioè se e solo se il triangolo in questione è equilatero
______
(1.1) Ho escluso [tex]0, \pi[/tex] perchè se uno degli angoli assumesse tali valori, allora non avremmo più un triangolo.
(1.2) Ricordo che [tex]x+y+z = \pi[/tex], poichè per ipotesi abbiamo che x, y, z sono angoli di un triangolo

Devo essere sincero, non è stato immediato raggiungere questo risultato.

[Seneca1]

Provo io...

$sin(x/2) sin(y/2) sin(z/2) <= 1/8$

Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è $pi$, si deduce che


$sin(x/2) sin(y/2) sin(z/2) = sin(x/2) sin(y/2) cos(x/2 + y/2) <= 1/8$

Supponiamo $x/2 <= y/2 <= z/2$. Essendo $z/2$ tra gli angoli del triangolo quello di ampiezza maggiore, è $pi/6 <= z/2$.

Maggioriamo: $ - cos(x/2 + y/2) <= - 1/2$

Quindi

$- sin(x/2) sin(y/2) ( - cos(x/2 + y/2)) <= 1/2 sin(x/2) sin(y/2)$

Per le formule di Werner:

$1/2 sin(x/2) sin(y/2) = 1/4 [ cos( x/2 - y/2 ) - cos( x/2 + y/2 ) ]$

Maggioriamo nuovamente:

$1/4 [ cos( x/2 - y/2 ) - cos( x/2 + y/2 ) ] <= 1/4 [ cos( x/2 - y/2 ) - 1/2 ]$

Constatando che $cos( x/2 - y/2 ) <= 1$ si ha:

$sin(x/2) sin(y/2) sin(z/2) <= 1/4 [ cos( x/2 - y/2 ) - 1/2 ] <= 1/4 [ 1 - 1/2 ] = 1/8$

Quindi:

$sin(x/2) sin(y/2) sin(z/2) <= 1/8$

Spero di non aver commesso sviste a forza di maggiorazioni.

[Seneca1]

"Gaal Dornick":
$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)=1/4 (sinxsiny-(1-cosx)(1-cosy))$. Ma questo non mi dice niente!

Siccome la storia che ho scritto ieri non mi convince molto, provo a ragionare altrimenti.

$sin(x/2)sin(y/2)sin(z/2)=1/4 (sinxsiny-(1-cosx)(1-cosy))$

Il prodotto $sin(x) sin(y)$ è maggiorabile con $1/2$. Infatti $sin(x) <= 1/2$ [size=75](1)[/size] $sin(y) <= 1$ [size=75](2)[/size].

$1/4 (sinxsiny-(1-cosx)(1-cosy)) <= 1/4 ( 1/2 - (1 - cos(x))( 1 - cos(y)))$

Si tratta ora di minorare $(1 - cos(x))( 1 - cos(y))$. Minoriamo ciascun fattore:

$(1 - cos(x)) <= 0$, $( 1 - cos(y)) <= 0$

Quindi:

$1/4 ( 1/2 - (1 - cos(x))( 1 - cos(y))) <= 1/8$

Secondo voi va bene?

[Gaal Dornick]

Scusate se non ho risposto per tutto questo tempo, ma nel frattempo ho fatto un esame..
La risposta di Mathematico mi è piaciuta molto, perchè chiara e immediata (dopo che la si è trovata, come tutte le cose in matematica ). La prima risposta di Seneca è corretta (a quanto mi pare), ed è effettivamente la strada che immaginavo di dover seguire. Anche se preferisco Mathematico's one. Nell'ultima di Seneca non riesco a trovare le giustificazioni di (1) e (2).

[ale.b14]

Scusate se riesumo...

Allora, visto che i tre fattori sono necessariamente positivi, per $AM-GM$ si ha:
$(\sin(x/2)\sin(y/2)\sin(z/2))^(1/3)<=(\sin(x/2)+\sin(y/2)+\sin(z/2))/3$;
inoltre la funzione $\sin(x/2)$ è concava in $x\in[0,\pi]$, quindi per Jensen:
$(\sin(x/2)+\sin(y/2)+\sin(z/2))/3<=\sin((x+y+z)/6)=\sin(\pi/6)=1/2$;
infine, elevando al cubo si ottiene la tesi.
Per quanto riguarda i casi di uguaglianza, nella prima disuguaglianza vale l'uguale se e solo se $x=y=z$ e tale condizione è compatibile con la seconda disuguaglianza (ovvero, l'uguaglianza vale se e solo se il triangolo è equilatero).

[totissimus]

Scusate se intervengo:

\(\displaystyle f=\sin\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)-\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\right]\sin\left(\frac{z}{2}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)-\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{z}{2}\right)\right]\)

\( \displaystyle =\frac{1}{4}\left[\sin\left(\frac{z+x-y}{2}\right)+\sin\left(\frac{z-x+y}{2}\right)-\sin\left(\frac{z+x+y}{2}\right)-\sin\left(\frac{z-x-y}{2}\right)\right]\)

Ponendo \( z=\pi-x-y\)

\( \displaystyle f= \frac{1}{4}\left[ \cos(x)+\cos(y)-\cos(x+y)-1\right]\)

Data la simmetria la funzione \(f\) deve assumere il massimo in un punto \( (x_0,x_0)\)

quindi
\( \displaystyle f \leq \frac{1}{4}[2 \cos(x_0)-\cos(2 x_0)-1]=\frac{1}{2}[\cos(x_0)-\cos^2(x_0)]\)

la funzione \( \cos(x)-\cos^2(x)\) assume il massimo in \( x=\frac{\pi}{3}\) e vale \( \frac{1}{4}\)

quindi

\( f \leq \frac{1}{8}\)