Simmetrizzazione di Steiner riduce il perimetro
Salve a tutti,
posto in questa sezione perchè mi pare la più appropriata.
Mi trovo a dover dimostrare che la Simmetrizzazione di Steiner riduce il perimetro.
In particolare, dato un triangolo $T$ a cui viene applicata la Simmetrizzazione di Steiner ottenendo il triangolo $T_1=s_uT$. Come posso dimostrare che $p(T_1)
Intuitivamente, $T_1$ è un triangolo equilatero. Come faccio a provarlo in maniera rigorosa?
Qualcuno riesce a darmi una mano?
posto in questa sezione perchè mi pare la più appropriata.
Mi trovo a dover dimostrare che la Simmetrizzazione di Steiner riduce il perimetro.
In particolare, dato un triangolo $T$ a cui viene applicata la Simmetrizzazione di Steiner ottenendo il triangolo $T_1=s_uT$. Come posso dimostrare che $p(T_1)
Intuitivamente, $T_1$ è un triangolo equilatero. Come faccio a provarlo in maniera rigorosa?
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Risposte
Innanzitutto, simmetrizzando un triangolo non sempre ottieni un triangolo.
Ad esempio simmetrizzando il triangolo:
[asvg]xmin=-4; xmax= 6;
noaxes();
line([0,-6],[0,6]);
stroke="red";
strokewidth=2;
path([[0,0],[3,-2],[5,4],[0,0]]);[/asvg]
rispetto all'asse disegnato in figura si ottiene un quadrilatero:
[asvg]xmin=-4; xmax= 6;
noaxes();
line([0,-6],[0,6]);
stroke="orange";
strokewidth=2;
path([[0,-2],[2,0],[0,4],[-2,0],[0,-2]]);[/asvg]
come puoi facilmente verificare "a mano".[nota]Se serve un esempio numerico, prova a mettere i vertici in $(0,0)$, $(3,-2)$ e $(5,4)$.[/nota]
Quella descritta sopra sembra essere la "situazione generale", dato che (vado "a occhio") le uniche simmetrizzazioni di Steiner che trasformano triangoli in triangoli dovrebbero essere quelle fatte rispetto ad assi ortogonali ai lati (in particolare, rispetto alle altezze).
Ad ogni modo, la disuguaglianza sul perimetro, cioè:
\[
\operatorname{per} (T^s) \leq \operatorname{per} (T)\; ,
\]
rimane vera comunque (e, tra l'altro, l'uguaglianza vale solo se $T$ è già simmetrico rispetto ad una retta parallela all'asse scelto).
Tuttavia, non so quali strumenti tu abbia a disposizione per fare la dimostrazione...
Ad esempio simmetrizzando il triangolo:
[asvg]xmin=-4; xmax= 6;
noaxes();
line([0,-6],[0,6]);
stroke="red";
strokewidth=2;
path([[0,0],[3,-2],[5,4],[0,0]]);[/asvg]
rispetto all'asse disegnato in figura si ottiene un quadrilatero:
[asvg]xmin=-4; xmax= 6;
noaxes();
line([0,-6],[0,6]);
stroke="orange";
strokewidth=2;
path([[0,-2],[2,0],[0,4],[-2,0],[0,-2]]);[/asvg]
come puoi facilmente verificare "a mano".[nota]Se serve un esempio numerico, prova a mettere i vertici in $(0,0)$, $(3,-2)$ e $(5,4)$.[/nota]
Quella descritta sopra sembra essere la "situazione generale", dato che (vado "a occhio") le uniche simmetrizzazioni di Steiner che trasformano triangoli in triangoli dovrebbero essere quelle fatte rispetto ad assi ortogonali ai lati (in particolare, rispetto alle altezze).
Ad ogni modo, la disuguaglianza sul perimetro, cioè:
\[
\operatorname{per} (T^s) \leq \operatorname{per} (T)\; ,
\]
rimane vera comunque (e, tra l'altro, l'uguaglianza vale solo se $T$ è già simmetrico rispetto ad una retta parallela all'asse scelto).
Tuttavia, non so quali strumenti tu abbia a disposizione per fare la dimostrazione...
Grazie per aver risposto!
Hai ragione, in effetti ho fatto riferimento ad un caso particolare. Anche se il tutto è per me permeato da un alone di mistero..
Ho posto male la domanda, provo a riformulare in termini generali.
Intuitivamente la simmetrizzazione di Steiner mi è chiara: preso un corpo convesso $K \sube \mathbb (R)^2$, se scelgo di simmetrizzare rispetto alla direzione $\hat u$ riporto tutti i segmenti costituenti il corpo sulla retta con vettore direttore $\hat u_{_|_ }$, avendo cura di posizionare sulla retta i punti medi.
Come questo venga definito rigorosamente non è un'informazione in mio possesso. Ho fatto qualche ricerca ma non trovato nulla su questo. Diciamo pure che il materiale in rete è molto vago oppure fin troppo tecnico per me. Non ho un testo di riferimento.
So che tale simmetrizzazione conserva l'area, e lo si può dimostrare sfruttando il principio di Cavalieri (o Fubini-Tonelli).
Poichè il problema è sorto nell'ambito della geometria convessa ho pensato di sfruttare le nozioni in relazione alla convessità (sono in possesso delle nozioni di base). La via che mi sembrava più plausibile era sfruttare la copertura convessa ma non ne ho cavato nulla.
Penso proprio che nozioni del tipo "un insieme denso e numerabile di direzioni, soddisfacenti opportune condizioni, può far si che $K$ converga a $K^**$, qui inteso come la palla di centro l'origine e raggio unitario", la costruzione di Gronchi non è tale, non mi siano d'aiuto.
Spero che questa panoramica su quello che so in merito sia d'aiuto nell'individuazione degli strumenti in mio possesso e non sia servita solo a tediare.
Hai ragione, in effetti ho fatto riferimento ad un caso particolare. Anche se il tutto è per me permeato da un alone di mistero..
Ho posto male la domanda, provo a riformulare in termini generali.
Dato un corpo convesso $K \sube \mathbb (R)^2$ non avente un asse di simmetria $a$, la cui direzione è individuata dal versore $\hat a$, applicando la Simmetrizzazione di Steiner rispetto ad un vettore parallelo a $\hat a_{_|_ }$ il perimetro di $K$ si riduce.
Come faccio a dimostrarlo?
Intuitivamente la simmetrizzazione di Steiner mi è chiara: preso un corpo convesso $K \sube \mathbb (R)^2$, se scelgo di simmetrizzare rispetto alla direzione $\hat u$ riporto tutti i segmenti costituenti il corpo sulla retta con vettore direttore $\hat u_{_|_ }$, avendo cura di posizionare sulla retta i punti medi.
Come questo venga definito rigorosamente non è un'informazione in mio possesso. Ho fatto qualche ricerca ma non trovato nulla su questo. Diciamo pure che il materiale in rete è molto vago oppure fin troppo tecnico per me. Non ho un testo di riferimento.
So che tale simmetrizzazione conserva l'area, e lo si può dimostrare sfruttando il principio di Cavalieri (o Fubini-Tonelli).
Poichè il problema è sorto nell'ambito della geometria convessa ho pensato di sfruttare le nozioni in relazione alla convessità (sono in possesso delle nozioni di base). La via che mi sembrava più plausibile era sfruttare la copertura convessa ma non ne ho cavato nulla.
Penso proprio che nozioni del tipo "un insieme denso e numerabile di direzioni, soddisfacenti opportune condizioni, può far si che $K$ converga a $K^**$, qui inteso come la palla di centro l'origine e raggio unitario", la costruzione di Gronchi non è tale, non mi siano d'aiuto.
Spero che questa panoramica su quello che so in merito sia d'aiuto nell'individuazione degli strumenti in mio possesso e non sia servita solo a tediare.
Che studi? Che background hai?
(Un po' di Teoria della Misura for beginners almeno?)
Comunque in \(\mathbb{R}^2\) la cosa non è tanto traumatica.
Considera, tanto per cominciare, un corpo convesso $K$ delimitato (dopo opportuna scelta del sistema di riferimento) dai grafici di due funzioni, diciamole $f,g:[a,b]\to \RR$ ordinate (nel senso che $g(x)\leq f(x)$ in $[a,b]$), ed eventualmente dai due segmenti verticali che congiungono i punti $(a,g(a))$ con $(a,f(a))$ e $(b,g(b))$ con $(b,f(b))$; quindi $K$ è normale all'asse $x$ ed è descritto da:
\[ \tag{1}
K = \big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ a\leq x \leq b \text{ e } g(x)\leq y\leq f(x)\big\}\; .
\]
Le funzioni $f$ e $g$ devono essere necessariamente concava (la prima) e convessa (la seconda); dunque, per noti fatti di Analisi I, $f$ e $g$ sono continue e derivabili q.o. in $]a,b[$. Inoltre, dato che $K$ è chiuso, la continuità si può assumere anche negli estremi.
Per altri fatti di teoria (un po' più delicati), le derivate prime $f^\prime$ e $g^\prime$ sono $L^1(a,b)$.
Non facciamo grande danno se ci limitiamo a considerare il caso \(f^\prime , g^\prime \in C([a,b])\), poiché il caso generale segue più o meno allo stesso modo anche se con qualche technicality in più.
Ora, supponiamo di voler simmetrizzare $K$ à la Steiner secondo la direzione dell'asse $x$.
Per fare ciò, come notavi, bisogna prendere ogni segmento $K_x$ (ottenuto intersecando $K$ con una retta ortogonale all'asse delle ascisse passante per il punto d'ascissa $x\in \RR$) e traslare tale segmento in modo da far coincidere il suo punto medio col punto sull'asse delle ascisse con ascissa $x$.
Chiaramente, se $xb$, la retta ortogonale alle ascisse condotta per $x$ non interseca $K$; quindi non c'è nulla da simmetrizzare.
Consideriamo dunque $a<= x <= b$: in tal caso, il segmento $K_x$ coincide col segmento d'estremi $(x,g(x))$ ed $(x,f(x))$ (per (1)), dunque la sua lunghezza è $f(x)-g(x)$; spostando il segmento come detto più sopra, si ottiene il segmento $K_x^s$ d'estremi $(x, - (f(x)-g(x))/2 )$ $(x, (f(x)-g(x))/2 )$, avente il punto medio in $(x,0)$ e lunghezza uguale a quella di $K_x$.
Ne consegue che il simmetrizzato $K^s$, costituito dall'unione di tutti i segmenti $K_x^s$ al variare di $x\in [a,b]$, è l'insieme normale rispetto alle ascisse descritto da:
\[
K_x^s = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ a\leq x \leq b \text{ e } -\frac{f(x) - g(x)}{2}\leq y\leq \frac{f(x) - g(x)}{2} \right\}\; .
\]
Pertanto $K^s$ è l'insieme delimitato dai grafici delle funzioni \(\phi(x):=\frac{f(x) - g(x)}{2}\) e \(-\phi (x)\) (definite in $[a,b]$) e dai segmenti verticali che congiungono i punti \((a, -\phi (a))\) con \((a, \phi (a))\) e \((b, -\phi (b))\) con \((b, \phi (b))\).
Nota che la funzione $\phi$ è concava e che $-\phi$ è convessa, cosicché $K^s$ è un corpo convesso.
Ora, proviamo a confrontare \(\operatorname{per} (K)\) e \(\operatorname{per} (K^s)\).
Dato che i segmenti che delimitano $K^s$ all'estrema destra ed all'estrema sinistra hanno la stessa lunghezza dei corrispondenti segmenti che delimitano $K$, basta confrontare le lunghezze totali delle parti "curve" del bordo, i.e. dei grafici delle funzioni che delimitano le due figure.
Sfruttando quanto è noto da Analisi II, si vede che i grafici delle funzioni hanno lunghezza data dalla nota formula:
\[
\ell (u) := \int_a^b \sqrt{1+\left( u^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\; ;
\]
quindi per ottenere la disuguaglianza del perimetro \(\operatorname{per} (K)\geq \operatorname{per} (K^s)\) occorre e basta mostrare che:
\[
\int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \int_a^b \sqrt{1+\left( g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x \geq 2\ \int_a^b \sqrt{1+\left( \phi^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\; .
\]
Ma ciò è molto semplice: infatti, essendo la funzione \(\xi \mapsto \sqrt{1+\xi^2}\) convessa in $\RR$ ed essendo:
\[
\phi^\prime (x) = \frac{f^\prime (x) - g^\prime (x)}{2} = \frac{1}{2}\ f^\prime (x) + \frac{1}{2}\ \big( - g^\prime (x)\big)\; ,
\]
si ha:
\[
2\ \int_a^b \sqrt{1+\left( \phi^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x \leq 2 \left( \frac{1}{2} \int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \frac{1}{2} \int_a^b \sqrt{1+\left( -g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\right) = \int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \int_a^b \sqrt{1+\left( g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x
\]
come volevamo.
D'altro canto, la funzione \(\xi \mapsto \sqrt{1+\xi^2}\) è addirittura strettamente convessa in $\RR$ e ciò ti consente di dire che l'uguaglianza vale solo se \(f^\prime (x) = -g^\prime(x)\), ossia quando esiste una costante $c \in \RR$ tale che $g(x) = c - f(x)$.
Ciò accade precisamente quando $K$ è già un corpo convesso simmetrico rispetto ad una retta parallela all'asse delle ascisse, poiché in tal caso i punti medi dei segmenti $K_x$ sono tutti allineati sulla retta di equazione $y=c$.
Faccio notare che nella dimostrazione della disuguaglianza del perimetro la convessità/concavità delle funzioni i cui grafici delimitano $K$ non svolge alcun ruolo; perciò questa dimostrazione si applica anche ai corpi non convessi normali all'asse delle $x$... Basta che gli integrali coinvolti abbiano senso.
(Un po' di Teoria della Misura for beginners almeno?)
Comunque in \(\mathbb{R}^2\) la cosa non è tanto traumatica.
Considera, tanto per cominciare, un corpo convesso $K$ delimitato (dopo opportuna scelta del sistema di riferimento) dai grafici di due funzioni, diciamole $f,g:[a,b]\to \RR$ ordinate (nel senso che $g(x)\leq f(x)$ in $[a,b]$), ed eventualmente dai due segmenti verticali che congiungono i punti $(a,g(a))$ con $(a,f(a))$ e $(b,g(b))$ con $(b,f(b))$; quindi $K$ è normale all'asse $x$ ed è descritto da:
\[ \tag{1}
K = \big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ a\leq x \leq b \text{ e } g(x)\leq y\leq f(x)\big\}\; .
\]
Le funzioni $f$ e $g$ devono essere necessariamente concava (la prima) e convessa (la seconda); dunque, per noti fatti di Analisi I, $f$ e $g$ sono continue e derivabili q.o. in $]a,b[$. Inoltre, dato che $K$ è chiuso, la continuità si può assumere anche negli estremi.
Per altri fatti di teoria (un po' più delicati), le derivate prime $f^\prime$ e $g^\prime$ sono $L^1(a,b)$.
Non facciamo grande danno se ci limitiamo a considerare il caso \(f^\prime , g^\prime \in C([a,b])\), poiché il caso generale segue più o meno allo stesso modo anche se con qualche technicality in più.
Ora, supponiamo di voler simmetrizzare $K$ à la Steiner secondo la direzione dell'asse $x$.
Per fare ciò, come notavi, bisogna prendere ogni segmento $K_x$ (ottenuto intersecando $K$ con una retta ortogonale all'asse delle ascisse passante per il punto d'ascissa $x\in \RR$) e traslare tale segmento in modo da far coincidere il suo punto medio col punto sull'asse delle ascisse con ascissa $x$.
Chiaramente, se $x
Consideriamo dunque $a<= x <= b$: in tal caso, il segmento $K_x$ coincide col segmento d'estremi $(x,g(x))$ ed $(x,f(x))$ (per (1)), dunque la sua lunghezza è $f(x)-g(x)$; spostando il segmento come detto più sopra, si ottiene il segmento $K_x^s$ d'estremi $(x, - (f(x)-g(x))/2 )$ $(x, (f(x)-g(x))/2 )$, avente il punto medio in $(x,0)$ e lunghezza uguale a quella di $K_x$.
Ne consegue che il simmetrizzato $K^s$, costituito dall'unione di tutti i segmenti $K_x^s$ al variare di $x\in [a,b]$, è l'insieme normale rispetto alle ascisse descritto da:
\[
K_x^s = \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ a\leq x \leq b \text{ e } -\frac{f(x) - g(x)}{2}\leq y\leq \frac{f(x) - g(x)}{2} \right\}\; .
\]
Pertanto $K^s$ è l'insieme delimitato dai grafici delle funzioni \(\phi(x):=\frac{f(x) - g(x)}{2}\) e \(-\phi (x)\) (definite in $[a,b]$) e dai segmenti verticali che congiungono i punti \((a, -\phi (a))\) con \((a, \phi (a))\) e \((b, -\phi (b))\) con \((b, \phi (b))\).
Nota che la funzione $\phi$ è concava e che $-\phi$ è convessa, cosicché $K^s$ è un corpo convesso.
Ora, proviamo a confrontare \(\operatorname{per} (K)\) e \(\operatorname{per} (K^s)\).
Dato che i segmenti che delimitano $K^s$ all'estrema destra ed all'estrema sinistra hanno la stessa lunghezza dei corrispondenti segmenti che delimitano $K$, basta confrontare le lunghezze totali delle parti "curve" del bordo, i.e. dei grafici delle funzioni che delimitano le due figure.
Sfruttando quanto è noto da Analisi II, si vede che i grafici delle funzioni hanno lunghezza data dalla nota formula:
\[
\ell (u) := \int_a^b \sqrt{1+\left( u^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\; ;
\]
quindi per ottenere la disuguaglianza del perimetro \(\operatorname{per} (K)\geq \operatorname{per} (K^s)\) occorre e basta mostrare che:
\[
\int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \int_a^b \sqrt{1+\left( g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x \geq 2\ \int_a^b \sqrt{1+\left( \phi^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\; .
\]
Ma ciò è molto semplice: infatti, essendo la funzione \(\xi \mapsto \sqrt{1+\xi^2}\) convessa in $\RR$ ed essendo:
\[
\phi^\prime (x) = \frac{f^\prime (x) - g^\prime (x)}{2} = \frac{1}{2}\ f^\prime (x) + \frac{1}{2}\ \big( - g^\prime (x)\big)\; ,
\]
si ha:
\[
2\ \int_a^b \sqrt{1+\left( \phi^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x \leq 2 \left( \frac{1}{2} \int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \frac{1}{2} \int_a^b \sqrt{1+\left( -g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x\right) = \int_a^b \sqrt{1+\left( f^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x + \int_a^b \sqrt{1+\left( g^\prime (x)\right)^2}\ \text{d} x
\]
come volevamo.
D'altro canto, la funzione \(\xi \mapsto \sqrt{1+\xi^2}\) è addirittura strettamente convessa in $\RR$ e ciò ti consente di dire che l'uguaglianza vale solo se \(f^\prime (x) = -g^\prime(x)\), ossia quando esiste una costante $c \in \RR$ tale che $g(x) = c - f(x)$.
Ciò accade precisamente quando $K$ è già un corpo convesso simmetrico rispetto ad una retta parallela all'asse delle ascisse, poiché in tal caso i punti medi dei segmenti $K_x$ sono tutti allineati sulla retta di equazione $y=c$.
Faccio notare che nella dimostrazione della disuguaglianza del perimetro la convessità/concavità delle funzioni i cui grafici delimitano $K$ non svolge alcun ruolo; perciò questa dimostrazione si applica anche ai corpi non convessi normali all'asse delle $x$... Basta che gli integrali coinvolti abbiano senso.
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