Serie geometrica sugli $n$ tali che $\lfloor n x \rfloor$ è pari

[Sk_Anonymous]

Problema. Per ogni numero reale \(x\) sia \[f(x) = \sum_{ n \in S_x} \left( \frac{1}{2} \right)^n \]ove \[ S_x = \{ n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \, : \, \lfloor n x \rfloor \equiv 0 \, (\text{mod } 2) \}. \] Mostrare che \[ f(x) \ge 1/2 + 1/16 + 1/128 \]per ogni \(x \in [0,1)\).

Nota.

Ho la sensazione che in realtà valga \[f(x) \ge \sum_{i=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^{1 + 3i} = \frac{4}{7}\]per ogni \(x \in [0,1)\), ma non riesco a dimostrarlo...

[Vincent46]

Mmh... provo a dimostrare la cosa in spoiler.

Immagino di essere un puntino che si muove a salti lunghi $x$ a partire da $0$ lungo la direzione positiva della retta reale. Quando, dopo un saltino, ricado nell'intervallo $[2i, 2i+1)$, aggiungo il termine corrispondente alla mia serie. Posso supporre che $x > \frac{1}{2}$, altrimenti è facile convincersi che la proposizione è vera.
Osservo che il primo salto ricade in $[0, 1)$. Procediamo per induzione. Suppongo dunque di trovarmi nell'intervallo $[2i, 2i+1)$ per qualche $i$, e di aver toccato tutti gli intervalli "buoni" utilizzando al più $3$ salti per andare dall'uno all'altro. Dimostriamo che deve verificarsi uno dei seguenti casi:

$1)$ entro 3 salti raggiungo l'intervallo $[2i+2, 2i+3)$, e allora la proposizione è dimostrata per induzione;

$2)$ col prossimo salto ricado nel medesimo intervallo $[2i, 2i+1)$, e allora la proposizione è dimostrata in quanto riaggungo alla serie il termine $\frac{1}{2^n}$ che avevo già aggiunto in precedenza, avendo cura di osservare che
\[ \frac{1}{2^n} > \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+3i}} = \frac{1}{7*2^n}\,. \]

Supponiamo dunque di ricadere nell'intervallo cattivo $[2i+1, 2i+2)$ dopo il primo salto, altrimenti ricado nel caso $2)$ e posso concludere. Siccome abbiamo supposto $x > \frac{1}{2}$, percorrerò il suddetto intervallo cattivo in al più altri due salti. Poiché inoltre $x < 1$ e quindi nessun intervallo unitario può essere saltato, questo vuol dire che andrò a finire nell'intervallo buono $[2i+2, 2i+3)$ e quindi ricado nel caso $1)$.