Serie e trasformata di Fourier

[tuixte]

Ciao ragazzi, il testo dell'esercizio è il seguente:

Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2, della funzione:
$ x_0(t) = t e^(2|t|) [u(t+1) - u(t-1)] $

Ciò che mi crea difficoltà è quell'esponente: infatti, elaborando l'espressione della $x_0(t)$, ottengo due gradini moltiplicati per $t e^(2t)$. Avendo la t all'esponente un coefficiente positivo, la trasformata di Fourier non esiste.. o sto sbagliando qualcosa?

Per quanto riguarda invece la serie,la prima cosa che noto è che $x_0(t)$ è dispari; di conseguenza, la serie di Fourier sarà del tipo $x(t) = sum_{n=1}^\infty b_n sin(k \omega t)$, dove $\omega = (2\pi)/T = \pi$

Resta allora da calcolare i valore dei coefficienti:
$ b_n = 4/T \int_{0}^{T/2} x_0(t) sen(n \omega t) dt = 2\int_0^1 te^(2t) sen(n \pi t) dt $

Ho provato a risolvere questo integrale con Wolframalpha e viene fuori un bel malloppo.. ma in ogni caso, è il procedimento che mi interessa; è corretto?
Non c'è nulla da fare per la trasformata?

Grazie mille a tutti!

[Erasmus_First]

"tuixte":[...]
Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2, della funzione:
$ x_0(t) = t e^(2|t|) [u(t+1) - u(t-1)] $

Non capisco questo testo!
a) Che funzione è la u(t)?
[Sospetto che nelle intenzioni dell'autore $u(t+1)–u(t–1)$ valga 1 nell'intervallo –1 < t < 1, valga 1/2 (o non sia definita) per |t| = 1 e valga 0 altrove (cioè per |t| > 1). Ossia, che $u(t)$ sia il gradino unitario che vale $1/2$ per $t > 0$, vale $-1/2$ per $t < 0$ e vale 0 (oppure non è definito) per $t=0$.
Allora cadrebbe l'obiezione di tuixte in quanto la funzione da Fourier-trasformare sarebbe impulsiva, cioè:
• integrabile (con integrale finito) in ogni intervallo
• integrabile (con integrale finito) da $-∞$ a $+∞$.
b) Che si intende per "prolungamento periodico"?
Se ho una funzione – diciamola y = f(x) – definita in ogni x reale, posso prenderne la fetta tra x e x + X (con x arbitrario e X > 0) e pensarla un periodo di una funzione periodica di periodo X. Ma quest'ultima funzione dipende anche dalla x iniziale del tratto considerato.
Insomma: non so come è fatto 'sto prolungamento periodico di periodo T = 2.
Suppongo che l'autore dell'esercizio, detta $h(t)$ la funzione impulsiva (nulla per $|t| > 1$) da Fourier-trasformare, intenda che la funzione periodica da sviluppare in serie di Fouriert sia la somma delle infinite $h(t+2n)$ per ogni $n$ intero, ossia
$sum_(n=-∞)^(+∞) h(t + 2n)$.
Se così, la cosa è facilissima (e siccome $h(t)$ è "pari", nella serie di Fourier non ci saranno gli addendi in seno).
c) Di una funzione periodica c'è lo sviluppo in serie di Fourier. Ma perché una funzione sia Fourier-trasformabile occorre che sia impulsiva.
Ma allora, che significa «Fourier-trasformata e serie di Fourier della funziomne, ecc» ?
Insomma: Non si trovano Fourier trasformata e serie di Fourier della medesima funzione!
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Forse –ma chissà se ci indovino – l'esercizio va inteso come segue:
E' data la funzione $h(t)$ reale [impulsiva] di variabile reale $t$ definita come segue:
• Se $|t| < 1$ allora $h(t) = e^(2|t|)$, altrimenti
• • se $!t| = 1$ allora $h(t)= 1/2·e^2$, altrimenti
• • • {cioè se $|t|> 1$} $h(t) = 0$.
Calcolare la Fourier trasformata di $h(t)$ e lo sviluppo in serie di Fourier della funzione [periodica di periodo X = 2]:
$x_0(t) =sum_(n=-∞)^(+∞)h(t+2n)$.

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[Erasmus_First]

"tuixte":[...]Per quanto riguarda invece la serie, la prima cosa che noto è che $x_0(t)$ è dispari

Guarda che, (dovendo essere sempre $|x| ≥ 0$ per qualunque $x$), si può definire $|x|$ come segue:
• se $x ≥ 0$ allora $|x| = x$, se invece $x < 0$ allora $|x| = – x$.
Insomma: $e^(2|t|)$ è una funzione pari.
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