Serie dell’esponenziale troncata

[Bremen000]

Esercizio: Sia
\[ f_n(x) := \sum_{k=0}^{2n} \frac{x^k}{k!} \quad \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} \]

Si dimostri che per ogni $x \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$ vale $f_n(x) >0 $.

[onlynose]

Un modo di risolvere potrebbe essere questo:

Si ha che, fissato $n\in\mathbb{N}$,
$$f_n(x)=f_n'(x)+\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
per ogni $x\in\mathbb{R}$. Poiché $f_n(x)$ è un polinomio di grado pari, ben definito in tutto $\mathbb{R}$, tale che $\lim_{x\rightarrow-\infty}f_n(x)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_n(x)=+\infty$, si avrà che esso ammette minimo assoluto in un certo punto $x_0\in\mathbb{R}$. Poiché $f_n(x)$ è derivabile si avrà che $f_n'(x_0)=0$ e quindi per la relazione scritta sopra avremo che $f_n(x_0)=f_n'(x_0)+\frac{x_0^{2n}}{(2n)!}=\frac{x_0^{2n}}{(2n)!}\ge0$.
Essendo $f_n(0)=1$ allora $f_n(x_0)\>0$, da cui si ricava che per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)>0$.

[dissonance]

@onlynose:

Però questo dimostra solo che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\in\mathbb R\). Il fatto che \(f(0)=1\) non implica niente, perché per definizione \(f(x_0)\le f(0)\). O forse non ho capito io il tuo ragionamento?

EDIT: AAh forse ho capito. Quel ragionamento serve a escludere che \(x_0=0\). Giusto; rinnovo gli applausi.

[Bremen000]

@onlynose