Serie con un parametro

[j18eos]

Studiare la convergenza della serie:
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}(\sqrt[n]{n}-1)^{\alpha}
\]
al variare del parametro \(\displaystyle\alpha\in\mathbb{R}\).

[otta96]

Confronto il termine n-esimo con $b_n=(lnn/n)^\alpha$.
$(root(n)n-1)^\alpha/b_n=(e^(lnn/n)-1)^\alpha/b_n=((e^(lnn/n)-1)/(lnn/n))^\alpha$, dato che $lnn/n$ è infinitesimo per n che tende a $+\infty$, passando al limite nella relazione precedente, si ottiene $\lim_{n->+\infty} (root(n)n-1)^\alpha/b_n=1$ dunque per il criterio del confronto si ha che la serie data converge sse converge quella di termine generico $(lnn/n)^\alpha$, ovvero sse $\alpha>1$.

[j18eos]

Forse è un risultato noto, che io non conosco; ma ho passato l'intero pomeriggio solo per dimostrare il "sse \(\displaystyle\alpha>1\)"...

Sono curioso di leggere una dimostrazione più corta della mia!

[otta96]

Se $\alpha>1$, $(lnn/n)^\alpha$ è un'o piccolo di $(1/n)^((\alpha+1)/2)$ per $n->+\infty$, quindi per confronto converge, per $\alpha<=1$, va più lentamente a 0 di $1/n^\alpha$ ($1/n^\alpha=o((lnn/n)^\alpha)$, quindi non può convergere.

[j18eos]

Rilancio: stimare la somma per \(\displaystyle\alpha>1\).