Scuola Superiore di Udine [probabilità] 2008/2009
Vi propongo questo problemino dato quest'anno al test d'ammissione di questa Scuola Superiore.
Considerare 3 città: A-B-C
Come in figura (fatta da me), sappiamo che A e B sono collegate da due strade. Stessa cosa per B e C.
Ma sappiamo anche che A e C sono collegate da una ferrovia.
A causa di una nevicata, si ha una probabilità $p$ che ogni singola strada risulti bloccata, e quindi impraticabile, stessa cosa per la ferrovia (bloccata con probabilità $p$).
Calcolare la probabilità che, partendo da A, io possa raggiungere C.
Purtroppo io ho commesso la leggerezza (grave) di non interrogarmi lì per lì sul risultato che mi veniva, ovvero $1-2p^3$, palesemente sbagliato perché se per caso $p=1$ si ha una probabilità negativa.
Il risultato giusto, trovato con il mio professore del liceo che sono andato a trovare, dovrebbe essere, se ricordo bene, $1-p^9$
Buon lavoro
Risposte
Non vorrei aver preso qualche abbaglio 
ma a me la probabilità viene $1-2p^3+p^5$.
ma a me la probabilità viene $1-2p^3+p^5$.
"MaMo":
Non vorrei aver preso qualche abbaglio
In effetti anche in questo caso tornano i casi particolari $p=0$ e $p=1$.
Mi farebbe piacere leggere il tuo ragionamento, se hai tempo
Io ho ragionato secondo la teoria delle catene di Markov.
Innanzitutto la probabilità che da A vado a B in un solo passo è $1/3*(1-p)+1/3(1-p)=2/3(1-p)$ e così anche viceversa.
Dunque, se con $v_i=P[X_T=c|X_0=i]$ indico la probabilità di andare dalla citta "i" alla "c", posso scrivere:
${(v_a=1/3*(1-p)+2/3*(1-p)*v_b),(v_b=2/3*(1-p)v_a+2/3*(1-p)):}$
risolvendo il sistema trovo:
$v_a=(1/3*(1-p)+(2/3(1-p))^2)/(1-(2/3*(1-p))^2)$
Innanzitutto la probabilità che da A vado a B in un solo passo è $1/3*(1-p)+1/3(1-p)=2/3(1-p)$ e così anche viceversa.
Dunque, se con $v_i=P[X_T=c|X_0=i]$ indico la probabilità di andare dalla citta "i" alla "c", posso scrivere:
${(v_a=1/3*(1-p)+2/3*(1-p)*v_b),(v_b=2/3*(1-p)v_a+2/3*(1-p)):}$
risolvendo il sistema trovo:
$v_a=(1/3*(1-p)+(2/3(1-p))^2)/(1-(2/3*(1-p))^2)$
io ho ottenuto lo stesso risultato di MaMo.
la probabilità dell'evento contrario è data da $p*(2p^2-p^4)$ con il principio d'inclusione-esclusione.
si ottiene lo stesso risultato procedendo in maniera diretta: perché non si possa raggiungere C da A è necessario e sufficiente che la ferrovia sia bloccata ed inoltre siano bloccate entrambe le strade che collegano A a B (comunque sia la situazione delle strade che collegano B a C) oppure, in caso contrario, siano bloccate entrambe le strade che collegano B a C. la probabilità cercata è dunque (la stessa considerando 1-P calcolata con il principio d'inclusione esclusione, come descritto su, e la stessa trovata da MaMo):
$P=1-p*[p^2+(1-p^2)*p^2]=1-p[2p^2-p^4]=1-2p^3+p^5$
spero di essere stata chiara. ciao.
la probabilità dell'evento contrario è data da $p*(2p^2-p^4)$ con il principio d'inclusione-esclusione.
si ottiene lo stesso risultato procedendo in maniera diretta: perché non si possa raggiungere C da A è necessario e sufficiente che la ferrovia sia bloccata ed inoltre siano bloccate entrambe le strade che collegano A a B (comunque sia la situazione delle strade che collegano B a C) oppure, in caso contrario, siano bloccate entrambe le strade che collegano B a C. la probabilità cercata è dunque (la stessa considerando 1-P calcolata con il principio d'inclusione esclusione, come descritto su, e la stessa trovata da MaMo):
$P=1-p*[p^2+(1-p^2)*p^2]=1-p[2p^2-p^4]=1-2p^3+p^5$
spero di essere stata chiara. ciao.
@clrscr: non conosco l'argomento che mi proponi, in realtà. 
Grazie lo stesso.
AdaBTTLS, non conosco il principio di inclusione-esclusione (le mie basi teoriche sulla probabilità sono scarsissime).
$P=1-p*[p^2+(1-p^2)*p^2]$
All'inizio non capivo quella tonda: $(1-p^2)$
Sarebbe la condizione da porre affinché trovo aperta almeno una strada AB (caso complementare all'evento: A e B non raggiungibili), per poi appunto moltiplicare per P^2 (strade BC bloccate insieme)?
Direi che è così.
Grazie mille per la disponibilità
Buona domenica!
Grazie lo stesso.AdaBTTLS, non conosco il principio di inclusione-esclusione (le mie basi teoriche sulla probabilità sono scarsissime).
$P=1-p*[p^2+(1-p^2)*p^2]$
All'inizio non capivo quella tonda: $(1-p^2)$
Sarebbe la condizione da porre affinché trovo aperta almeno una strada AB (caso complementare all'evento: A e B non raggiungibili), per poi appunto moltiplicare per P^2 (strade BC bloccate insieme)?
Direi che è così.
Grazie mille per la disponibilità
Buona domenica!
prego.
... sì, è così.
il principio d'inclusione-esclusione (caso semplice) dà semplicemente la formula per trovare la probabilità dell'unione di due insiemi (la formula è come per la cardinalità dell'unione di due insiemi: $|AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|$): al posto di "cardinalità" leggi "probabilità"... in fondo si può scrivere così perché si tratta di una misura. è chiaro?
buona domenica anche a te. ciao a tutti.
... sì, è così.
il principio d'inclusione-esclusione (caso semplice) dà semplicemente la formula per trovare la probabilità dell'unione di due insiemi (la formula è come per la cardinalità dell'unione di due insiemi: $|AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|$): al posto di "cardinalità" leggi "probabilità"... in fondo si può scrivere così perché si tratta di una misura. è chiaro?
buona domenica anche a te. ciao a tutti.
Va bene.
Grazie tante per la conferma
Ciao!
Grazie tante per la conferma
Ciao!
di nulla. ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo