Risoluzione problema geometria

[moneder]

Ciao a tutti.
Questo problema è dell'ammissione alla SNS di Pisa ed è già stato discusso nell'apposita sezione.
Volevo proporre una mia soluzione, dato che potrebbe essere l'unico tra tutti i problemi della SNS che per ora (forse) sono in grado di svolgere.

Sia $T$ un triangolo avente lati di lunghezza $a,b,c$ e siano $h_a$ ,$h_b$ ,$h_c$ le
altezze rispettive. Indicata con $A$ l'area del triangolo, si mostri che se vale l’equazione

$6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$

allora $T$ è un triangolo equilatero.

Ecco qua:

Ipotesi: $gamma:$ $6A=a⋅h_b +b⋅h_c +c⋅h_a$
Tesi: $a=b=c$

Sostituisco nell'equazione $gamma$ le altezze $h_b=(2A)/b, h_c=(2A)/c, h_a=(2A)/a$ e ottengo $6A=a((2A)/b) +b((2A)/c) +c((2A)/a)$
Dividendo ambo i membri per $2A$ risulta $a/b+b/c+c/a=3$
Che è uguale a $a/b+b/c+c/a=1+1+1$ e si ottiene sempre un' identità per $a/b=b/c=c/a=1$

Questa deduzione sinora non esclude tuttavia che possa esistere un triangolo scaleno, isoscele o rettangolo le cui proprietà rispettino l'equazione $gamma$.
Quindi, poichè $a,b,c in RR^+$, allora possiamo considerare il caso in cui $a=n, b=n+k,c=n+t$ con $a<=b ($a=b$ se $T$ è isoscele, in tal caso $k=0$)

Quindi ho $n/(n+k)+(n+k)/(n+t)+(n+t)/n=3$ da cui voglio ricavare $n$ (che è il lato $a$ di $T$).

Segue: $(n^2+nt)n+(n^2+nk)(n+k)+(n+t)^2(n+k)=3n(n+k)(n+t)$

Svolgendo i calcoli si ottiene $nk^2-nkt+nt^2+t^2k=0$
$nk^2-nkt+nt^2=-t^2k$
$n(k^2-kt+t^2)=-t^2k$ $n=-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ ma $-(t^2k)/(k^2-kt+t^2)$ è sempre negativo poichè il denominatore non può essere negativo ($k^2+t^2
Per $n<0$ avremmo il lato $a<0$ $rArr$ Assurdo.

Pertanto se vale l'equazione $gamma$ $rArr$ $a=b=c$.

Corretto?

Grazie in anticipo

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Visto che il problema è stato già discusso, direi che è opportuno inserire questo tentativo in coda alla discussione già creata.

Chiudo.
Appena avrai copiato il post avvertimi, che questo thread sarà cancellato.[/xdom]