"risoluzione" di un quadrilatero
Al lavoro mi si è posto questo problema:
ho un quadrilatero piano (molto simile ad un rettangolo), di cui conosco la lunghezza di tutti i lati e delle diagonali; devo calcolare gli angoli fra la congiungente dei punti medi dei lati minori e ciascuno dei lati minori stessi.
Ho pensato di risolverlo per via trigonometrica, ma senza fare neanche un passo avanti.
Allora ho provato per via analitica, introducendo un riferimento solidale al quadrilatero, nella speranza di ricavare le coordinate dei due punti medi, ma mi sto imbarcando in calcoli complicatissimi e quindi prima di portarli a termine mi chiedevo se ci fosse una possibilità più semplice che mi sta sfuggendo.
Grazie
ho un quadrilatero piano (molto simile ad un rettangolo), di cui conosco la lunghezza di tutti i lati e delle diagonali; devo calcolare gli angoli fra la congiungente dei punti medi dei lati minori e ciascuno dei lati minori stessi.
Ho pensato di risolverlo per via trigonometrica, ma senza fare neanche un passo avanti.
Allora ho provato per via analitica, introducendo un riferimento solidale al quadrilatero, nella speranza di ricavare le coordinate dei due punti medi, ma mi sto imbarcando in calcoli complicatissimi e quindi prima di portarli a termine mi chiedevo se ci fosse una possibilità più semplice che mi sta sfuggendo.
Grazie
Risposte
La situazione è così?
dove $M$ e $N$ sono i punti medi dei lati minori mentre $x$ e $y$ sono i due angoli che devi trovare. Le altre linee disegnate ora te le spiego!
Hai detto che conosci le lunghezze dei lati e delle diagonali quindi non avrai problemi a trovare la misura degli angoli in in $C$ e $D$ (gialli in figura). Infatti basta calcolare l'area del triangolo $BCD$ con la formula di Erone e quindi usare la formula trigonometrica dell'area del triangolo per impostare un'equazione
$1/2 BC * CD * sen C = \sqrt {p(p-BC)(p-CD)(p-BD)}$
esendo $p$ il semiperimetro di $BCD$. in questo modo ottieni il valore di $senC$ e quindi il valore dell'angolo in $C$. Stesso discorso applicato al triangolo $ACD$ per trovare la misura dell'angolo in $D$. Ora ragioniamo nel trinagolo $BCN$: conosci la misura dei lati $BC$ e $CN$ ed il valore dell'angolo in $C$ quindi applicando Carnot (anche detto Teorema del coseno) trovi la misura di $BN$
$BN = \sqrt {BC^2 +CN^2 - 2BC*CN* cosC }$
Lo stesso metodo applicato al triangolo $AND$ ti permette di trovare $AN$. Ora conosci tutti i lati del trinagolo $ANB$ (rosso in figura) e sai che $MN$ è una mediana (celeste in figura). Puoi quindi calcolare la sua lunghezza (vedi qui)
$NM = 1/2 \sqrt {2(BN^2+AN^2)-AB^2}$
Poi ti calcoli l'area di $MNB$ con Erone e quindi calcoli $senx$ col metodo esposto prima. Che te ne pare?
dove $M$ e $N$ sono i punti medi dei lati minori mentre $x$ e $y$ sono i due angoli che devi trovare. Le altre linee disegnate ora te le spiego!
Hai detto che conosci le lunghezze dei lati e delle diagonali quindi non avrai problemi a trovare la misura degli angoli in in $C$ e $D$ (gialli in figura). Infatti basta calcolare l'area del triangolo $BCD$ con la formula di Erone e quindi usare la formula trigonometrica dell'area del triangolo per impostare un'equazione$1/2 BC * CD * sen C = \sqrt {p(p-BC)(p-CD)(p-BD)}$
esendo $p$ il semiperimetro di $BCD$. in questo modo ottieni il valore di $senC$ e quindi il valore dell'angolo in $C$. Stesso discorso applicato al triangolo $ACD$ per trovare la misura dell'angolo in $D$. Ora ragioniamo nel trinagolo $BCN$: conosci la misura dei lati $BC$ e $CN$ ed il valore dell'angolo in $C$ quindi applicando Carnot (anche detto Teorema del coseno) trovi la misura di $BN$
$BN = \sqrt {BC^2 +CN^2 - 2BC*CN* cosC }$
Lo stesso metodo applicato al triangolo $AND$ ti permette di trovare $AN$. Ora conosci tutti i lati del trinagolo $ANB$ (rosso in figura) e sai che $MN$ è una mediana (celeste in figura). Puoi quindi calcolare la sua lunghezza (vedi qui)
$NM = 1/2 \sqrt {2(BN^2+AN^2)-AB^2}$
Poi ti calcoli l'area di $MNB$ con Erone e quindi calcoli $senx$ col metodo esposto prima. Che te ne pare?
Mi pare molto complicato, ma mi sta ugualmente suggerendo un'idea analoga, ma forse leggermente più semplice.
Speravo di potermela cavare con una sola formula, perché dovrei inserire questi conti un un file Excel, ma se necessario ricorrerò a delle celle coi risultati intermedi, oppure faccio tutto in Matlab.
Grazie
PS: non conoscevo la formula della lunghezza della mediana, grazie anche di quella.
Speravo di potermela cavare con una sola formula, perché dovrei inserire questi conti un un file Excel, ma se necessario ricorrerò a delle celle coi risultati intermedi, oppure faccio tutto in Matlab.
Grazie
PS: non conoscevo la formula della lunghezza della mediana, grazie anche di quella.
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