"Evitare" un insieme numerabile (denso?) con una funzione continua

[Sk_Anonymous]

Propongo questo esercizietto simpatico:
Esercizio. Mostrare che se \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) è numerabile, allora \(\mathbb{R}^2 \setminus A\) è connesso per archi.

[Vincent46]

Prendiamo due punti $p$ e $q$ in $\mathbb{R}^2\\A$ e consideriamo i fasci di rette in essi centrati. Per ognuno dei due fasci esisterà una coppia di rette che non contiene punti di $A$, altrimenti $A$ sarebbe più che numerabile. Allora, di queste quattro esisteranno due rette, una incidente a $p$ e l'altra incidente a $q$, non parallele. Dunque possiamo spostarci da un punto all'altro mediante il percorso così costruito

[j18eos]

@Vincent46 Non credo che il tuo ragionamento funzioni con \(\displaystyle A=\mathbb{Q}^2\).

[Vincent46]

"j18eos":@Vincent46 Non credo che il tuo ragionamento funzioni con \(\displaystyle A=\mathbb{Q}^2\).

Procedi così:

sia $q = (a,b)$. Se entrambe le coordinate sono irrazionali, allora le rette parallele agli assi non hanno punti razionali. Altrimenti, supponi per esempio che $a \in \mathbb{R}\\\mathbb{Q}, b \in \mathbb{Q}$. Sia $y=b+m(x-a)$ il fascio di rette passante per $q$, dove si è tolta la retta verticale per semplicità. Allora, per $m \in \mathbb{Q}\\{0\}$, ogniqualvolta $x$ assume valore razionale, allora $y$ assume valore irrazionale, quindi la retta non contiene punti a coordinate razionali.

Comunque, per $A=\mathbb{Q}^2$, questa costruzione non serve: ci si può muovere tranquillamente lungo opportune linee parallele agli assi, facendo variare ogni volta la coordinata razionale, se c'è, oppure una qualsiasi delle due se sono entrambe irrazionali

[Sk_Anonymous]

A me pare che funzioni (lo risolsi così anch'io, ai tempi).

[j18eos]

Ho capito la soluzione, che è scritta molto sinteticamente...

Siano \(\displaystyle(a_1,b_1)\neq(a_2,b_2)\in\mathbb{R}^2\setminus A\), siano \(\displaystyle S_1=\{y=m_1x+q_1\}\) ed \(\displaystyle S_2=\{y=m_2x+q_2\}\) la famiglie di rette per i dati punti.
Considerate le coppie \(\displaystyle(m_1,q_1)\) ed \(\displaystyle(m_2,q_2)\) tali che le corrispondenti rette siano disgiunte da \(\displaystyle A\), poiché \(\displaystyle A\) è numerabile esisteranno al più una infinità numerabile di coppie per le quali non sia vera questa proprietà.
Allora esistono delle rette \(\displaystyle r_1\in S_1\) ed \(\displaystyle r_2\in S_2\) disgiunte da \(\displaystyle A\) ed incidenti!