Quizzone di Capodanno

[Rigel1]

Un mio conoscente ha postato, su altra fonte, un quizzone di analisi matematica che riporto qui per il vostro diletto

1. Una funzione differenziabile con derivata nulla su un aperto denso di $\mathbb{R}$ è costante?

2. Dato uno spazio lineare qualsiasi esiste necessariamente una norma che lo rende Banach?

3. Esistono funzioni uniformemente continue ma mai differenziabili?

4. Una funzione ovunque derivabile in \([0,1]\) con derivata limitata è l'integrale (di Riemann) della sua derivata?

5. Esiste \((a_n)\) tale che la serie \(\sum_n a_n\) converge ma la serie \(\sum_n \sin a_n\) diverge?

6. Esistono funzioni strettamente monotone con derivata nulla quasi ovunque?

7. La serie armonica ristretta agli \(n\) primi converge?

8. Esistono funzioni monotone discontinue sui razionali?

9. Una funzione continua su uno spazio di Banach è uniformemente continua nell'intorno di un compatto?

10. Quanto vale l'estremo inferiore della successione \(a_n = n|\sin n|\)?

Sempre il conoscente di cui sopra conclude col seguente avviso:

Se hai risposto correttamente a tutte e 10 le domande senza aver consultato libri o internet sei un genio della Matematica. Altrimenti sei una pippa.

Pare non siano previste situazioni intermedie

[j18eos]

Tocca a me fare la domande delle cento pistole: si può rispondere a singoli quesiti?

[Дэвид1]

"j18eos":Tocca a me fare la domande delle cento pistole: si può rispondere a singoli quesiti?

Si, ma bisogna accettare lo status di [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cprod%20%5Cmathbb%7BI%7D%5Cmathbb%7BP%7D%5Cmathbb%7BP%7D%5Cforall[/img]
Io nello specifico sono [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cprod%20%5Cmathbb%7BI%7D%5Cmathbb%7BP%7D%5Cmathbb%7BP%7D%5Cforall%5Cquad0%5Cmathbb%7BN%7D%5CTheta%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Cpartial%20r%5CUpsilon%20%5CLambda[/img]

[Epimenide93]

Nessun problema nel riconoscere che sono una pippa (in generale, ma specialmente in Analisi).

1. No. Esempio: \(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{per } x \in \ ]- \infty, 0[ \\ 1, & \mbox{per }x \in \ ]0, + \infty [ \end{cases} \)

3. La restrizione ad un compatto della funzione di Weierstraß.

4. L'integrale di Riemann di una funzione non è una funzione, ma un numero reale.

5. No, per il criterio del confronto (ricordando lo sviluppo di Taylor del seno e che le serie convergenti hanno la successione generatrice infinitesima).

9. No, un "intorno di un compatto" potrebbe essere anche lo spazio intero.

10. Si ha che \(a_0 = 0\) e la successione è a valori non negativi.

Agli errori nelle risposte date aggiungo il fatto di non essere in grado di rispondere a 2, 6, 7 e 8 senza sbirciare almeno un po' Andando di intuito e suggestioni dettate da ricordi repressi

2. No

6. Sì.

7. No.

8. No.

Le soluzioni?

[Zero87]

Bene, Rigel, almeno a qualcosa posso rispondere anch'io.

"Rigel":1. Una funzione differenziabile con derivata nulla su un aperto denso di $\mathbb{R}$ è costante?

Sì, mi sa solo le scalette fanno così.

7. La serie armonica ristretta agli \(n\) primi converge?

No, ricordo che era un teorema o, comunque, un risultato.

Se hai risposto correttamente a tutte e 10 le domande senza aver consultato libri o internet sei un genio della Matematica. Altrimenti sei una pippa.

Ho risposto a 2, magari se avessi tempo e mi impegnassi risponderei a 4 domande. Sono una pippa (ma sono lontano da università e libri da 2 anni... è un'attenuante valida?).

[Rigel1]

@Epimenide:
1) la funzione che proponi non è differenziabile
3) ok!
4) si intende la funzione integrale (secondo Riemann)
5) il criterio del confronto vale per serie a termini non negativi
10) diciamo che si parte dall'indice \(1\)

Riguardo alle altre risposte, concordo per 2, 6, 7 ma per la 8 direi no.

@Zero:
1) le scalette non sono differenziabili ovunque
7) ok!

[Epimenide93]

"Rigel":
1) la funzione che proponi non è differenziabile

Pensavo che anche l'aggettivo "differenziabile" fosse relativo solo all'aperto denso. Allora direi che sono costanti, per un teorema sugli spazi metrici che caratterizza le estensioni per continuità da un sottospazio alla sua chiusura.

"Rigel":
3) ok!

Almeno una

"Rigel":
4) si intende la funzione integrale (secondo Riemann)
(...)
10) diciamo che si parte dall'indice \(1\)

Ed io che speravo fosse solo questione di lateral thinking in tal caso la 4 è un no, lo è solo a meno di una traslazione. Una qualsiasi funzione polinomiale col termine noto non nullo fornisce un controesempio. Per la 10, passo.

"Rigel":5) il criterio del confronto vale per serie a termini non negativi

Dopo aver visto le somme infinite e la teoria della misura ho iniziato a vivere in un bellissimo mondo in cui "converge" è un modo breve per dire "converge assolutamente" e il teorema di Riemann-Dini è un racconto horror per il caso generale, devo pensarci.

La 9 andava bene?

[Rigel1]

@Epimenide:
1) Non sono d'accordo (ma potrei sbagliarmi).

Vale infatti il seguente teorema:

"Bruckner, Differentiation of Real Functions":2pcaujyc:Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme \(\mathcal{G}_{\delta}\) denso. Allora esiste una funzione differenziabile \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tale che \(f'\) è continua in \(A\) e discontinua in \(\mathbb{R}\setminus A\).

In particolare, la condizione che \(A\) sia un \(\mathcal{G}_{\delta}\) denso è necessaria e sufficiente affinché \(A\) sia l'insieme dei punti di continuità di una derivata.

4) Riformulo la domanda in termini più precisi:
Sia \(f\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) una funzione derivabile ovunque, con derivata limitata. E' sempre vero che
\[
f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\, dt\qquad \forall x\in[0,1]?
\]
(L'integrale è inteso nel senso di Riemann.)

5) Sono d'accordo sul fatto che la convergenza condizionata sia una perversione da matematici

9) Direi ok; se fornisci un esempio è anche meglio

10) Abbiamo parlato recentemente di un problema strettamente correlato.

[j18eos]

Seguendo le regole del gioco, che non si possono sbirciare gli appunti, rispondo alle domande in sospeso numeri \(\displaystyle4\) e \(\displaystyle 6\)!

4) Sì, in quanto è \(\displaystyle f^{\prime}\in L^1[0,1]\).

6) Sì, la scalinata del diavolo. EDIT Non va bene: questa è una funzione monotona non decrescente, cioè crescente ma non strettamente; però ha derivata q.o. nulla!

[Rigel1]

@j18eos:

4) L'integrale, come specificato, è di Riemann. Questa domanda è in qualche modo connessa alla prima; è possibile dimostrare che esistono funzioni derivabili ovunque su \([0,1]\), con derivata limitata, la cui derivata non è Riemann-integrabile.
6) E' possibile costruire una funzione con tali proprietà a partire dalla scala del diavolo (e utilizzando una opportuna serie di funzioni totalmente convergente).

P.S.: mi sono dimenticato di specificare che anche io rientro nella categoria "pippa"

[Epimenide93]

"Rigel":1) Non sono d'accordo (ma potrei sbagliarmi).

Devo ripescare l'enunciato preciso del teorema cui mi riferivo, ma alla luce di quello che riporti mi sa che hai ragione tu e che sto dimenticando qualche ipotesi.

"Rigel":4) Riformulo la domanda in termini più precisi:
Sia \(f\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) una funzione derivabile ovunque, con derivata limitata. E' sempre vero che
\[
f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\, dt\qquad \forall x\in[0,1]?
\]
(L'integrale è inteso nel senso di Riemann.)

[strike]Beh, allora sì, è uno dei tanti modi per enunciare il teorema fondamentale del calcolo.[/strike] EDIT (vista l'osservazione in spoiler)

"Rigel":9) Direi ok; se fornisci un esempio è anche meglio

\(e^x\) è uniformemente continua su qualsiasi intervallo chiuso della retta reale, ma non è una funzione uniformemente continua su \(\mathbb{R}\), mentre \(\mathbb{R}\) è un intorno per ogni intervallo chiuso.

[Erasmus_First]

"Rigel":Se hai risposto correttamente a tutte e 10 le domande [...]

Impossibile, perché qualcuna è malposta, ossia sbagliata proprio come domanda. [Per esempio proprio la Nr. 1].

Ciao, ciao
––––

[Rigel1]

"Erasmus_First":[quote="Rigel"]Se hai risposto correttamente a tutte e 10 le domande [...]

Impossibile, perché qualcuna è malposta, ossia sbagliata proprio come domanda. [Per esempio proprio la Nr. 1].
[/quote]
Le domande sono state scritte con uno stile un po' "sloppy", però mi sembra che ammettano una univoca ragionevole interpretazione.
Ad esempio, la mia interpretazione della nr. 1 è la seguente:

Sia \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una funzione differenziabile ovunque. Supponiamo che esista un insieme \(A\subseteq\mathbb{R}\), aperto e denso in \(\mathbb{R}\), tale che \(f'(x) = 0\) per ogni \(x\in A\). Possiamo concludere che \(f\) è una funzione costante?

Non mi sembra ci siano altre interpretazioni ragionevoli (vale a dire, che non rendano banale la domanda).
E' chiaro che chi ha scritto le domande non ci voleva passare sopra troppo tempo...

[Rigel1]

"Epimenide93":[quote="Rigel"]9) Direi ok; se fornisci un esempio è anche meglio

\(e^x\) è uniformemente continua su qualsiasi intervallo chiuso della retta reale, ma non è una funzione uniformemente continua su \(\mathbb{R}\), mentre \(\mathbb{R}\) è un intorno per ogni intervallo chiuso.[/quote]

Il tuo esempio è corretto (a meno di sostituire chiuso con limitato, oppure almeno limitato superiormente); riformulo la domanda in quello che penso fosse lo spirito dell'autore.

9) Sia \(X\) uno spazio di Banach. Esistono una funzione \(f\colon X\to \mathbb{R}\) continua e un insieme compatto non vuoto \(K\subset X\) tale che \(f\) non sia uniformemente continua in alcun intorno di \(K\)?

[Erasmus_First]

"Rigel":Supponiamo che esista un insieme \(A\subseteq\mathbb{R}\), aperto e denso in \(\mathbb{R}\), tale che \(f'(x) = 0\) per ogni \(x\in A\).

La prima domanda è:
«1. Una funzione differenziabile con derivata nulla su un aperto denso di ℝ è costante?»
Secondo me è mal posta, non tanto per la mancanza di rigore della "forma", ma proprio "concettualmente", prescindendo dalla perfezione o meno del linguaggio.

Potrei anche dire cavolate, dato che – pur avendo macinato parecchia matematica in tutta la mia vita – da quando ho superato l'esame di "Analisi 1" (cioè dal 1956) non ho più rivisto 'sti concetti (insieme denso, continuità, derivabilità ecc.).

Restiamo nel campo dei reali (ed io vado ... a memoria atavica!!!).
Se non ricordo male, un sottoinsieme di reali è "denso" se ogni suo punto è di accumulazione, ossia se qualsiasi intorno di ogni suo arbitrario punto contiene altri punti dell'insieme oltre a quello di cui è intorno.
Insomma: il dominio di una funzione da reali a reali può essere denso senza che la funzione sia continua in alcun suo punto.
Per esempio: l'insieme dei razionali di un intervallo è denso. Ma nessuna funzione che abbia un tale insieme come dominio può essere continua in qualche punto di un tal dominio.

Condizione necessaria non sufficiente affinché f(x) sia derivabile in x = a è che f(x) sia continua in x=a..
Condizione necessaria non suffiiciente affinché f(x) sia continua in x = a è che f(x) sia definita in un intorno di a, corto quanto vuoi ma pur sempre "interrvallo".
Ovviamente un intervallo è denso. Ma ... che c'entra il concetto di insieme denso con la derivabilità?
––––––––––––
E la sesta, che cavolo mi chiede?
«6. Esistono funzioni strettamente monotone con derivata nulla quasi ovunque?»
Che significa "deriuvata nulla quasi ovunque"? Per me non signifivca nulla (di matematico), se non uno strafalcione!

E la quarta?
«4. Una funzione ovunque derivabile in [0,1] con derivata limitata è l'integrale (di Riemann) della sua derivata?»
L'integrale di Rieman è quello che i manuali delle scuole secondarie dicono "integrale definito", contreapponendo questo concetto a "integrale indefinito" (che poi vorrebbe dire l'insieme delle primitive della data funzione integranda).
Insoma:
a) Le primitive di una funzione sono in numero infinito (e la differenza tra due di esse è una costante).
b) Se F(x) è una primitiva di f(x), si sa che l'integrale da a b di f(x) vale F(b) – F(a), OK.
Ma questo è un teorema (c
he vien dopo le definizioni di integrale e di derivata! Comunque, la domanda è mal posta sia perché sono infinite le funzioni distinte con la stessa derivata (e quindi non c'è una risposta .. . SI' o NO come sarebbe se avessi mo una sola funzione), sia perché l'integrale di una funzione è funzione dei due estremi di integrazione, (i quali manco sono nominati nel testo della domanda!), ed è necessario far capire che la primitiva F(x) nulla in x = a di una data funzione f(x) è l'integrale da ad x della funzione.
–––
Ciao ciao

[Rigel1]

@Erasmus: cerco di rispondere alle tue domande.

"Erasmus_First":Se non ricordo male, un sottoinsieme di reali è "denso" se ogni suo punto è di accumulazione, ossia se qualsiasi intorno di ogni suo arbitrario punto contiene altri punti dell'insieme oltre a quello di cui è intorno.
Insomma: il dominio di una funzione da reali a reali può essere denso senza che la funzione sia continua in alcun suo punto.
Per esempio: l'insieme dei razionali di un intervallo è denso.

Quello che scrivi è corretto, così come è corretta la domanda:

"Rigel":Sia \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) una funzione differenziabile ovunque. Supponiamo che esista un insieme \(A\subseteq\mathbb{R}\), aperto e denso in \(\mathbb{R}\), tale che \(f'(x) = 0\) per ogni \(x\in A\). Possiamo concludere che \(f\) è una funzione costante?

Il dominio della funzione è tutto \(\mathbb{R}\), ed essa è derivabile in tutti i punti. Inoltre, sappiamo che la sua derivata prima è nulla in tutti i punti dell'insieme \(A\), che è un sottoinsieme aperto e denso di \(\mathbb{R}\) (nei punti di \(\mathbb{R}\setminus A\) sappiamo solo che è derivabile ma non sappiamo quanto vale la sua derivata).

"Erasmus_First":E la sesta, che cavolo mi chiede?
«6. Esistono funzioni strettamente monotone con derivata nulla quasi ovunque?»
Che significa "deriuvata nulla quasi ovunque"? Per me non signifivca nulla (di matematico), se non uno strafalcione!

La nozione di proprietà che vale quasi ovunque è standard in analisi reale; significa che la proprietà in questione vale in tutti i punti con l'esclusione di un insieme di misura (di Lebesgue) nulla.

"Erasmus_First":
«4. Una funzione ovunque derivabile in [0,1] con derivata limitata è l'integrale (di Riemann) della sua derivata?»
L'integrale di Rieman è quello che i manuali delle scuole secondarie dicono "integrale definito", contreapponendo questo concetto a "integrale indefinito" (che poi vorrebbe dire l'insieme delle primitive della data funzione integranda).

Di questa avevo già riscritto l'enunciato preciso (secondo la mia libera interpretazione):

"Rigel":4) Riformulo la domanda in termini più precisi:
Sia \(f\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) una funzione derivabile ovunque, con derivata limitata. E' sempre vero che
\[
f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\, dt\qquad \forall x\in[0,1]?
\]
(L'integrale è inteso nel senso di Riemann.)

In pratica, si domanda se per una funzione con le proprietà indicate vale sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale (con gli integrali intesi nel senso di Riemann; nel caso di integrali di Lebesgue la risposta è affermativa anche se la dimostrazione non è immediata).

[Epimenide93]

"Erasmus_First":
Per esempio: l'insieme dei razionali di un intervallo è denso. Ma nessuna funzione che abbia un tale insieme come dominio può essere continua in qualche punto di un tal dominio.

Se lo prendi come dominio esistono eccome funzioni continue \([0,1] \cap \mathbb{Q} \to X\) con \(X\) spazio topologico qualunque.

"Erasmus_First":Che significa "deriuvata nulla quasi ovunque"? Per me non signifivca nulla (di matematico), se non uno strafalcione!

Lo dico senza alcuno spirito polemico, ma come un semplice suggerimento. Dal momento che, come ammetti, le nozioni in questione non ti sono troppo familiari, perché prima di scrivere un messaggio tanto accalorato non fai una ricerca?

[dantehorrorshow]

Avevo postato un ragionamento per il quesito 10 sull'estremo inferiore della successione, ma l'ho poi tolto per riscriverlo avendo nuovi dati.

Evidentemente bisogna trovare un numero che approssimi bene il pi greco o un suo multiplo intero azzerando il seno, ma rimanendo piccolo in modulo per non far alzare il risultato della moltiplicazione più di quanto diminuisca il valore del seno. Ad un primo approccio pensavo che 3 fosse una risposta, in quanto minore 2 come risultato e contenuto nel primo periodo del seno, che approssima bene il pi greco con uno scarto del 5% ed è molto piccolo in modulo.
Alla fine preso dalla curiosità ho sfruttato meglio il tempo ed ho buttato giù qualche riga di codice, provando sul primo miliardo di interi. Salvo errori, il risultato minore è dato da 355, che dà risultato 0.0107012.
Mi ero incuriosito al problema e volevo vedere di approssimare almeno una soluzione, ovviamente non in via analitica.

[Rigel1]

@dante:

L'idea è esattamente quella di approssimare \(\pi\) con un numero razionale.
Da un punto di vista teorico puoi ad esempio utilizzare l'approssimazione diofantea.