Qualche fatto sugli $L^p$

[Sk_Anonymous]

Esercizio (facile). Sia \(f \in L^p (\mathbb{R}^n)\), con \(1 \le p < \infty\).
(i) Provare che \[\lim_{r \to \infty} \int_{|x|>r} |f|^p \, dm =0\]
Sia ora \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\) definita da \[F(x) = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy\] ove \(B(x,1]=\{y \in \mathbb{R}^n \, : \, |y-x| < 1 \}\)

(ii) Mostrare che la formula precedente definisce effettivamente una funzione \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\); provare inoltre che tale \(F\) è continua e limitata. Trovare infine una stima per \(\| F \|_{\infty}\) che coinvolga \(\|f\|_p\).

(iii) Mostrare che \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 0\).

[Sk_Anonymous]

Ci provo io:

(i)

Comincio con l'osservare che siccome \(f \in L^p\), sarà \(|f|^p \in L^1\) e quindi \[\int_{ |x|> r} |f|^p \, dm \le \int_{\mathbb{R}^n} |f|^p \, dm < \infty\]
Inoltre posto \(A(r)= \{x \in \mathbb{R}^n \, : \, |x|>r \}\) si ha che \[\int_{ |x|> r} |f|^p \, dm = \int_{\mathbb{R}^n} |f|^p \chi_{A(r) } \, dm\]Per il teorema della convergenza dominata se ne può concludere che \[\lim_{r \to \infty} \int_{ |x|> r} |f|^p \, dm = \int_{\mathbb{R}^n} \lim_{r \to \infty} |f|^p \chi_{A(r) } \, dm =0\]

(ii)

Qui uso la disuguaglianza di Hölder con \(g=1\): si ha \[|F(x)| =\left| \int_{B(x,1]} f(y) \, dy \right| \le \int_{B(x,1]} |f(y)| \, dy = \|f\|_1 \le \|1\|_q \|f\|_p = v_n ^{1/q} \|f\|_p < \infty \]
dove ho indicato con \(v_n\) la misura n-dimensionale della palla unitaria. Questo prova che \(F\) è una funzione, e che è limitata. Del resto siccome quella disuguaglianza vale \(\forall \, x \in \mathbb{R}^n\) guadagno anche \[\|F\|_\infty \le v_n^{1/q} \|f\|_p \]Per la continuità mi pare basti osservare, come in (i), che posso scrivere \[\int_{\mathbb{R}^n }f(y) \chi_{B(x,1]} \, dy = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy \] A questo punto, per concludere, osservo che per ogni successione \(x_n \to x\) per \(n \to \infty\) sfrutto il teorema della convergenza dominata per passare al limite sotto il segno di integrale, ed il fatto che la successione di funzioni \(\chi_{B(x_n,1]}\) converge a \(\chi_{B(x,1]}\) (ometto i dettagli).

(iii)

Da (ii) si ha \[|F(x)| \le \int_{B(x,1]} |f| \, dm \le v_n ^{1/q} \left(\int_{B(x,1]} |f|^p \, dm \right)^{1/p} \qquad [1] \] Inoltre per (i) ho che \(\forall \, \epsilon>0 \, \exists \, r(\epsilon) > 0 \) t.c. \[|x|>r \quad \Longrightarrow \quad \int_{|x|> r(\epsilon)} |f|^p \, dm < \epsilon \qquad [2] \] A questo punto se prendo \(|x|>r(\epsilon) +1\) ho che \(B(x,1] \subset \{x \in \mathbb{R}^n \, : \, |x| > r \} \), e concludo per \([1]\) e \([2]\).

[Rigel1]

@Delirium: le tue dimostrazioni mi sembrano a posto

[Sk_Anonymous]

Grazie Rigel!

Propongo un rilancio sulla stessa lunghezza d'onda, e poi passo a qualcosa di più challenging.

Esercizio (facile). Siano \((X, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio di probabilità (i.e. \(\mu(X)=1\)) e \(f \in L^1_{\mu}(X, \mathbb{R})\).
(i) Provare che per ogni \(p>0\) si ha \[\exp \left(\int_X f \right) \le \left( \int_X e^{p f(x)} d \mu(x) \right)^{1/p}=a(p) \]
(ii) Provare che il limite \(\lim_{p \to \infty} a(p)\) esiste in \(\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}\) ed esprimerlo in funzione di \(f\). Questo limite è necessariamente finito?
(iii) Provare che \(\lim_{p \to 0^+} a(p)\) esiste, e che è strettamente positivo.
(iv) E' vero che \[\lim_{p \to 0^+} a(p)=\exp \left(\int_X f \right)\]?

Hint(s):

(i) - Disuguaglianza di Jensen e (ii) - Pensare al legame tra gli spazi \(L^p\) quando \(\mu(X)=1\).

[Sk_Anonymous]

Visto che nessuno se lo fila, faccio anche questo.

(i)

Come ho suggerito, si tratta di una semplice applicazione della disuguaglianza di Jensen per funzioni convesse: basta scegliere \(w(x)=e^{px}\) come funzione convessa ed osservare che da \[\exp \left(p \int_X f \, d \mu \right) \le \int_X \exp(p f) \, d\mu \]discende direttamente \[\exp \left( \int_X f \, d\mu \right) \le \left( \int_X \exp(p f) \, d \mu \right)^{1/p}\]

(ii)

Ricordo qui che se \((X, \mathcal{M}, \mu)\) è uno spazio di misura finito (i.e. \(\mu(X) < \infty\)) e \(pdisuguaglianza di Hölder. In particolare se \(\mu(X)=1\), come nel nostro caso, si ha \[\|f\|_p \le \|f\|_q\]Dunque \(p \mapsto a(p)=\|e^{f}\|_p\) è una funzione crescente, e quindi ammette limite \(\in \tilde{\mathbb{R}}\). Nelle stesse ipotesi di finitezza della misura dello spazio si ha che \(\lim_{p \to +\infty} \|f\|_p = \|f\|_{\infty} \ \forall \, f\) misurabile. Ne discende che \[\lim_{p \to + \infty} a(p) = \|e^f \|_\infty = e^{\text{ess sup} f}\] che può essere anche infinito ( - usare \(f(x)=1/(2\sqrt{x})\)).

(iii)

Da \[0< \exp \left( \int_X f \, d \mu \right) \le a(p)\] e dal fatto che \(p \mapsto a(p)\) è crescente segue la tesi.

(iv)

Qui sono un po' perplesso. Certo è che se \(a(p)=\infty\) per ogni \(p>0\), allora \(\lim_{p \to 0^{+}} a(p)=\infty\). Tuttavia se esiste \(q>0\) t.c. \(a(q)<\infty\) mi pare che le cose cambino, ma dovrei pensarci meglio...

[DajeForte]

Non ho ben capito il controesempio del punto 2...

Per il 4, io proverei a dimostrare che $text{exp}( int_X f)$ è l'inf di $ a(p)$ oppure vedre che $e^{p f} sim 1+p f$ vicino a 0.