Qualche fatto sugli $L^p$
Esercizio (facile). Sia \(f \in L^p (\mathbb{R}^n)\), con \(1 \le p < \infty\).
(i) Provare che \[\lim_{r \to \infty} \int_{|x|>r} |f|^p \, dm =0\]
Sia ora \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\) definita da \[F(x) = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy\] ove \(B(x,1]=\{y \in \mathbb{R}^n \, : \, |y-x| < 1 \}\)
(ii) Mostrare che la formula precedente definisce effettivamente una funzione \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\); provare inoltre che tale \(F\) è continua e limitata. Trovare infine una stima per \(\| F \|_{\infty}\) che coinvolga \(\|f\|_p\).
(iii) Mostrare che \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 0\).
(i) Provare che \[\lim_{r \to \infty} \int_{|x|>r} |f|^p \, dm =0\]
Sia ora \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\) definita da \[F(x) = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy\] ove \(B(x,1]=\{y \in \mathbb{R}^n \, : \, |y-x| < 1 \}\)
(ii) Mostrare che la formula precedente definisce effettivamente una funzione \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\); provare inoltre che tale \(F\) è continua e limitata. Trovare infine una stima per \(\| F \|_{\infty}\) che coinvolga \(\|f\|_p\).
(iii) Mostrare che \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 0\).
Risposte
Ci provo io:
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
@Delirium: le tue dimostrazioni mi sembrano a posto

Grazie Rigel!
Propongo un rilancio sulla stessa lunghezza d'onda, e poi passo a qualcosa di più challenging.
Esercizio (facile). Siano \((X, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio di probabilità (i.e. \(\mu(X)=1\)) e \(f \in L^1_{\mu}(X, \mathbb{R})\).
(i) Provare che per ogni \(p>0\) si ha \[\exp \left(\int_X f \right) \le \left( \int_X e^{p f(x)} d \mu(x) \right)^{1/p}=a(p) \]
(ii) Provare che il limite \(\lim_{p \to \infty} a(p)\) esiste in \(\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}\) ed esprimerlo in funzione di \(f\). Questo limite è necessariamente finito?
(iii) Provare che \(\lim_{p \to 0^+} a(p)\) esiste, e che è strettamente positivo.
(iv) E' vero che \[\lim_{p \to 0^+} a(p)=\exp \left(\int_X f \right)\]?
Hint(s):
Propongo un rilancio sulla stessa lunghezza d'onda, e poi passo a qualcosa di più challenging.
Esercizio (facile). Siano \((X, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio di probabilità (i.e. \(\mu(X)=1\)) e \(f \in L^1_{\mu}(X, \mathbb{R})\).
(i) Provare che per ogni \(p>0\) si ha \[\exp \left(\int_X f \right) \le \left( \int_X e^{p f(x)} d \mu(x) \right)^{1/p}=a(p) \]
(ii) Provare che il limite \(\lim_{p \to \infty} a(p)\) esiste in \(\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}\) ed esprimerlo in funzione di \(f\). Questo limite è necessariamente finito?
(iii) Provare che \(\lim_{p \to 0^+} a(p)\) esiste, e che è strettamente positivo.
(iv) E' vero che \[\lim_{p \to 0^+} a(p)=\exp \left(\int_X f \right)\]?
Hint(s):
Visto che nessuno se lo fila, faccio anche questo.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Non ho ben capito il controesempio del punto 2...
Per il 4, io proverei a dimostrare che $text{exp}( int_X f)$ è l'inf di $ a(p)$ oppure vedre che $e^{p f} sim 1+p f$ vicino a 0.
Per il 4, io proverei a dimostrare che $text{exp}( int_X f)$ è l'inf di $ a(p)$ oppure vedre che $e^{p f} sim 1+p f$ vicino a 0.