Qualche fatto sugli $L^p$

Sk_Anonymous
Esercizio (facile). Sia \(f \in L^p (\mathbb{R}^n)\), con \(1 \le p < \infty\).
(i) Provare che \[\lim_{r \to \infty} \int_{|x|>r} |f|^p \, dm =0\]
Sia ora \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\) definita da \[F(x) = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy\] ove \(B(x,1]=\{y \in \mathbb{R}^n \, : \, |y-x| < 1 \}\)

(ii) Mostrare che la formula precedente definisce effettivamente una funzione \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\); provare inoltre che tale \(F\) è continua e limitata. Trovare infine una stima per \(\| F \|_{\infty}\) che coinvolga \(\|f\|_p\).

(iii) Mostrare che \(\lim_{x \to \infty} F(x) = 0\).

Risposte
Sk_Anonymous
Ci provo io:

(i)


(ii)


(iii)

Rigel1
@Delirium: le tue dimostrazioni mi sembrano a posto :smt023

Sk_Anonymous
Grazie Rigel!

Propongo un rilancio sulla stessa lunghezza d'onda, e poi passo a qualcosa di più challenging.

Esercizio (facile). Siano \((X, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio di probabilità (i.e. \(\mu(X)=1\)) e \(f \in L^1_{\mu}(X, \mathbb{R})\).
(i) Provare che per ogni \(p>0\) si ha \[\exp \left(\int_X f \right) \le \left( \int_X e^{p f(x)} d \mu(x) \right)^{1/p}=a(p) \]
(ii) Provare che il limite \(\lim_{p \to \infty} a(p)\) esiste in \(\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}\) ed esprimerlo in funzione di \(f\). Questo limite è necessariamente finito?
(iii) Provare che \(\lim_{p \to 0^+} a(p)\) esiste, e che è strettamente positivo.
(iv) E' vero che \[\lim_{p \to 0^+} a(p)=\exp \left(\int_X f \right)\]?

Hint(s):

Sk_Anonymous
Visto che nessuno se lo fila, faccio anche questo.

(i)


(ii)


(iii)


(iv)

DajeForte
Non ho ben capito il controesempio del punto 2...

Per il 4, io proverei a dimostrare che $text{exp}( int_X f)$ è l'inf di $ a(p)$ oppure vedre che $e^{p f} sim 1+p f$ vicino a 0.

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