Quadrati di una certa forma
Quando il polinomio 3*x^2 + 3*x + 1 sugli interi è un quadrato perfetto?
Risposte
Ma ti pare una domanda conforme agli scopi di questa sezione?
Beh Armando se pensi che non lo sia allora deduco che hai in serbo una soluzione che chiarisce la semplicità o la non-originalità del problema, perché non ce la mostri? 
(Non sono retorico, è una richiesta sincera).
(Non sono retorico, è una richiesta sincera).
Caro Martino,
senza usare mezze parole io ho capito che il problema consiste nel cercare un numero intero \(\displaystyle a\) tale che \(\displaystyle(x-a)^2\) è eguale al polinomio dato.
Se, invece, come evinco dalle tue parole il problema è ben altro: non sò che dire!
senza usare mezze parole io ho capito che il problema consiste nel cercare un numero intero \(\displaystyle a\) tale che \(\displaystyle(x-a)^2\) è eguale al polinomio dato.
Se, invece, come evinco dalle tue parole il problema è ben altro: non sò che dire!
Se era questo che l'op intendeva ti dò ragione, è un problema da scuola media. Ma per come capisco io penso che si intendesse di risolvere l'equazione [tex]3x^2+3x+1 = y^2[/tex] su [tex]\mathbb{Z}[/tex], cioè trovare le soluzioni intere [tex]x,y[/tex]. Aspettiamo un chiarimento di Wladimiro
Attendo anche io Wladimiro,
e qualunque sia la sua formulazione "chiara" del problema, ci tengo a scrivere che il mio non vuole\voleva essere un attacco o un'offesa alla persona! [ot]Purtroppo è (stata?) una settimana pesante, e per certi versi fruttuosa; per come mi sento può essere che involontariamente abbia alzato i toni, anche se non mi sembra...
Cari Martino e Wladimiro:
non esitiate nel farmi notare (pubblicamente o privatamente) le mie mancanze in tali sensi.[/ot] Rispettosi saluti.
Armando
e qualunque sia la sua formulazione "chiara" del problema, ci tengo a scrivere che il mio non vuole\voleva essere un attacco o un'offesa alla persona! [ot]Purtroppo è (stata?) una settimana pesante, e per certi versi fruttuosa; per come mi sento può essere che involontariamente abbia alzato i toni, anche se non mi sembra...
Cari Martino e Wladimiro:
non esitiate nel farmi notare (pubblicamente o privatamente) le mie mancanze in tali sensi.[/ot] Rispettosi saluti.
Armando
Ciao.
Vi racconto brevemente da dove nasce la domanda che ho postato.
Mentre giocavo col teorema di Fermat per l'esponente 3 mi sono detto è vero che la differenza di due cubi non nulli non è mai un cubo ma è vero che la differenza di due cubi non è mai un altra potenza?
Facendo delle prove sperimentali ho notato che per x=7 il polinomio da 169 (=8^3 - 7^3) che è il quadrato di 13.
Allora mi sono chiesto come faccio a trovare tutte le soluzioni intere della equazione, cioè a caratterizzare i quadrati esprimibili nella forma 3*x^2 + 3*x + 1 con x intero?
E' una versione semplificata di una domanda molto più ampia...
Mi piaceva lo specifico problema perché si arriva alla equazione (x e y sono interi):
3 * x * (x+1) = (y - 1) * (y + 1)
che esteticamente mi piace molto.
Grazie
Wladimiro
Vi racconto brevemente da dove nasce la domanda che ho postato.
Mentre giocavo col teorema di Fermat per l'esponente 3 mi sono detto è vero che la differenza di due cubi non nulli non è mai un cubo ma è vero che la differenza di due cubi non è mai un altra potenza?
Facendo delle prove sperimentali ho notato che per x=7 il polinomio da 169 (=8^3 - 7^3) che è il quadrato di 13.
Allora mi sono chiesto come faccio a trovare tutte le soluzioni intere della equazione, cioè a caratterizzare i quadrati esprimibili nella forma 3*x^2 + 3*x + 1 con x intero?
E' una versione semplificata di una domanda molto più ampia...
Mi piaceva lo specifico problema perché si arriva alla equazione (x e y sono interi):
3 * x * (x+1) = (y - 1) * (y + 1)
che esteticamente mi piace molto.
Grazie
Wladimiro
Ok, quindi il problema è risolvere la diofantea \(3x^2 + 3x + 1 = y^2\).
Una premessa: prima di svolgere l'esercizio ho provato a googlare e ho trovato che i numeri in questione sono detti numeri esagonali centrati(nel link trovi dei riferimenti a delle sequenze di soluzioni su oeis che sono soluzioni al tuo problema).
Uno svolgimento:
\(3x^2 + 3x + 1 = y^2\), completiamo il quadrato a sinistra
\(3\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} + 1 = y^2\), moltiplichiamo tutto per \(4\)
\(3(2x + 1)^2 + 1 = (2y)^2\), spostiamo il quadrato che si trova a sinistra a destra
\((2y)^2 - 3(2x + 1)^2 = 1\), è un'equazione di Pell, la risolviamo:
\(Y^2 - 3X^2 = 1\), troviamo la soluzione base \((2, 1)\), quindi le soluzioni positive sono della forma
\((X, Y) = \left(\frac{(2 + \sqrt{3})^n - (2 - \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}}, \frac{(2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n}{2}\right), n \in \mathbb{N}\)
Le soluzioni positive sono della forma \(\frac{1}{2} \left(\frac{(2 + \sqrt{3})^n - (2 - \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}} - 1\right)\), \(n\) naturale dispari. Inoltre quella parabola è simmetrica rispetto al punto \(-\frac{1}{2}\) quindi se \(t\) è una soluzione lo sarà anche \(-t - 1\)(ed hai così le soluzioni negative).
Se provi a mettere l'espressione su wolframalpha ottieni gli stessi valori di questa sequenza.
Per la risoluzione delle Pell ti lascio un link.
Edit: avevo dimenticato un \(-1\) nella soluzione.
Una premessa: prima di svolgere l'esercizio ho provato a googlare e ho trovato che i numeri in questione sono detti numeri esagonali centrati(nel link trovi dei riferimenti a delle sequenze di soluzioni su oeis che sono soluzioni al tuo problema).
Uno svolgimento:
\(3x^2 + 3x + 1 = y^2\), completiamo il quadrato a sinistra
\(3\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} + 1 = y^2\), moltiplichiamo tutto per \(4\)
\(3(2x + 1)^2 + 1 = (2y)^2\), spostiamo il quadrato che si trova a sinistra a destra
\((2y)^2 - 3(2x + 1)^2 = 1\), è un'equazione di Pell, la risolviamo:
\(Y^2 - 3X^2 = 1\), troviamo la soluzione base \((2, 1)\), quindi le soluzioni positive sono della forma
\((X, Y) = \left(\frac{(2 + \sqrt{3})^n - (2 - \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}}, \frac{(2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n}{2}\right), n \in \mathbb{N}\)
Le soluzioni positive sono della forma \(\frac{1}{2} \left(\frac{(2 + \sqrt{3})^n - (2 - \sqrt{3})^n}{2 \sqrt{3}} - 1\right)\), \(n\) naturale dispari. Inoltre quella parabola è simmetrica rispetto al punto \(-\frac{1}{2}\) quindi se \(t\) è una soluzione lo sarà anche \(-t - 1\)(ed hai così le soluzioni negative).
Se provi a mettere l'espressione su wolframalpha ottieni gli stessi valori di questa sequenza.
Per la risoluzione delle Pell ti lascio un link.
Edit: avevo dimenticato un \(-1\) nella soluzione.
Ciao hyoukarou.
Ti ringrazio tantissimo per la soluzione che hai postato!
Quindi con la tua dimostrazione si vede che ci sono infiniti quadrati che si possono esprimere come differenza di cubi consecutivi.
A questo punto mi viene spontaneo chiedermi/vi se la diffrenza di cubi non consecutivi e non nulli può essere un quadrato?
Wladimiro
p.s.
ho fatto matematica all'università ma adesso lavoro come informatico...però ogni tanto provo a risolvere qualche problema...
Ti ringrazio tantissimo per la soluzione che hai postato!
Quindi con la tua dimostrazione si vede che ci sono infiniti quadrati che si possono esprimere come differenza di cubi consecutivi.
A questo punto mi viene spontaneo chiedermi/vi se la diffrenza di cubi non consecutivi e non nulli può essere un quadrato?
Wladimiro
p.s.
ho fatto matematica all'università ma adesso lavoro come informatico...però ogni tanto provo a risolvere qualche problema...
"Wladimiro":
Ciao hyoukarou.
A questo punto mi viene spontaneo chiedermi/vi se la diffrenza di cubi non consecutivi e non nulli può essere un quadrato?
[...]
ho fatto matematica all'università ma adesso lavoro come informatico...però ogni tanto provo a risolvere qualche problema...
La risposta è affermativa, esistono differenze di cubi non consecutivi non nulli che sono quadrati, e dato che sei nel settore ti rispondo con un programmino:
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
vector<long long int> squares, cubes;
squares.reserve(32005);
cubes.reserve(1005);
for(long long int i = 1; i < 32000; ++i)
squares.push_back(i*i);
for(long long int i = 1; i < 1000; ++i)
cubes.push_back(i*i*i);
for(int i = 0; i < 999; ++i)
for(int j = i + 1; j < 999; ++j)
if(binary_search(squares.begin(), squares.end(), cubes[j] - cubes[i]))
cout << pow(cubes[j], (double) 1/3) << "^3 - "
<< pow(cubes[i], (double) 1/3) << "^3 = "
<< sqrt(cubes[j] - cubes[i]) << "^2\n";
return 0;
}Output:
A questo punto potresti chiedere: sono infinite?
Di nuovo una risposta affermativa, immagina di avere una terna \((a, b, c)\) che soddisfa la proprietà, allora per ogni \(t \in \mathbb{Z}\) hai che \(t^6(a^3 - b^3) = t^6(c^2) \Longrightarrow (t^2 a)^3 - (t^2 b)^3 = (t^3 c)^2\) perciò anche \((t^2 a, t^2 b, t^3 c)\) è soluzione, e dato che sappiamo che ne esistono alcune allora ne esisteranno infinite.
Trovarle tutte credo sia impegnativo, io comincerei così:
\(a^3 - b^3 = c^2\), fattorizzo la differenza di cubi
\((a-b)(a^2 + ab + b^2) = c^2\), trovo il massimo comun divisore dei fattori a sinistra
\(\gcd(a^2 + ab + b^2, a - b) = \gcd(3ab, a - b) = t\), ora i fattori dovranno essere uguali al prodotto di un quadrato e \(t\)
\(\left\{\begin{matrix}
a - b = t m^2\\
a^2 + ab + b^2 = t n^2
\end{matrix}\right.\)
ed abbiamo ridotto la cubica ad un sistema di quadratiche, ma non mi spingo oltre, attualmente non so dirti nemmeno se si può arrivare ad una soluzione generale.
Se non sbaglio una volta avevo trovato le coppie \((a, b)\) tali che \((a-b) \mid ab\), dopo aver fatto questo puoi provare risolvere questo caso particolare. Poi puoi considerare il caso \(\gcd(3ab, a-b) = 1\) che non dovrebbe essere troppo difficile. Rimane il caso \((a-b) \nmid 3ab\) e \(\gcd(3ab, a - b) \neq 1\) che sembra il più impegnativo.
Probabilmente esiste una risposta più semplice e completa, le mie conoscenze si fermano qui.
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