Punti isolati

[Livius1]

Sia $ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ una funzione continua e consideriamo $ F_a =\{ x \in \mathbb{R}^n$ : $x=f^k(a)$, $n \in \mathbb{N} \}$, $a \in \mathbb{R}^n$ fissato e $ f^0 (a)=a$, $f^{k+1}(a)=f(f^k(a))$ per ogni $k \in \mathbb{N} $.

Domanda: nell’ ipotesi che $F_a$ sia infinito, è vero che i punti di $F_a$ sono punti isolati?

[Livius1]

Scusate ma non vorrei darvi l'impressione di saperlo risolvere, infatti non è così,magari !!..... vorrei sapere, se possibile, "semplicemente" se la cosa è vera o no, o cosa ne pensate

[Overflow94]

Definiamo $a_n = f^n(a) $ e supponiamo che esista finito il limite $ a_n->a^** $ , allora:

$ lim_(n -> infty) a_n=a^** => lim_(n -> infty) f(a_n)=a^** => lim_(x -> a^**) f(x) =a^** $

Dall'ipotesi di continuità segue che $ f(a^**)=a^** $, quindi $ a^** $ è un punto fisso per $ f $.

Ne segue che $ a^** $ non può appartenere a $ F_a $ in quanto se per $ k $ valesse $ f^k(a)=a^** $ allora $ f^n(a)=a^**$ per ogni $ n >= k $ e $F_a$ avrebbe un numero finito di elementi.

Da qui si può dimostrare quello che dici se si riesce a dimostrare che ogni punto di accumulazione di $ F_a $ è anche il limite di $ a_n $ o di una sua sottosuccessione.

[Overflow94]

Completo la dimostrazione.

Supponiamo che $ c $ sia un punto di accumulazione per $ F_a $. Allora cosideriamo gli intorni di $ c $ associati alla successione decrescente e tendente a zero di distanze $ r_n = 1 / n $ . Per definizione in ognuno di questi intorni ci sono infiniti punti di $ F_a $, quindi in ogni intorno $I_(r_k)(c) $ è possibile scegliere sempre un $ a_(m_k) $ tale per cui il suo indice sia maggiore di tutti quelli scelti precedentemente ( $ m_k > m_j <=> k > j $ ).

Abbiamo così costruito una sottosuccessione di $ a_n $ tendente a $ c $. Con un ragionamento analogo a quello fatto nel post precedente si può dimostrare che $ c $ è un punto fisso di $ f $ e perciò non può appartenere a $ F_a $. (EDIT: ragionamento non dimostrato)

$ F_a $ non contiene nessuno dei propri punti di accumulazione.

EDIT: mi son reso conto che la convergenza di una sottosuccessione non è, come pensavo a prima vista, banalmente riconducibile al caso in la successione generale converga. Quindi la dimostrazione è ancora incompleta.

[Livius1]

Quello che dite, cioè che ogni punto di accumulazione è il limite della successione $a_n$ o di una sua sottosuccessione, è verissimo. Anzi ciò vale anche quando lo spazio euclideo viene sostituito da un più generale spazio metrico, infatti, se ben vi ricordate, c’è un teorema al riguardo, sui vari tipi di compattezza, tra cui anche quella per successioni, che coincidono.
Il vero problema, a mio avviso, è quando uno di quei punti di accumulazione è il limite di una sottosuccessione propria di $a_n$ . E’ vero che, anche in quel caso, il punto limite sarebbe sempre un punto fisso per $f$, innanzitutto ? Perché secondo me no.

[Livius1]

Scusate, non avevo letto l'EDIT. Troppa fretta da parte mia !

[Overflow94]

Posso chiederti in quale contesto è emerso questo problema / su quale libro hai trovato l'esercizio?

[dissonance]

è vero che i punti di Fa sono punti isolati?

Buona domanda. Non so la risposta. Un esempio facile:
\[
f(x)=x^2, \qquad x\in \mathbb R, \]
l'insieme \(F_{1/2}\) è uguale a
\[
\{2^{-2n}\, :\ n\in \mathbb N\},\]
i cui punti sono isolati ma si accumulano su \(0\). Quindi se vuoi punti isolati senza punti di accumulazione, allora la risposta è no. Ma questa è una osservazione banale. Non so se si possa costruire un esempio in cui un punto di \(F_a\) sia non isolato.

[dissonance]

Oh, mi è venuto in mente un esempio un pochino meno banale. Consideriamo la funzione \(f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2\) descritta in coordinate polari da
\[
f(r\cos \theta, r\sin \theta ):=(r\cos(\theta+1), r\sin(\theta +1)).\]
L'orbita di, per esempio, \((1, 0)\) è data da
\[
\{(\cos(n), \sin(n))\ :\ n\in\mathbb N\},\]
che è un insieme i cui punti sono tutti di accumulazione (non è immediato da dimostrare).

In conclusione, non è in generale vero che i punti di \(F_a\) sono tutti isolati.

[anto_zoolander]

La notazione è un po' strana...
Se $n$ può variare hai punti che appartengono a spazi sempre diversi, visto che $f:RR^n->RR^n$

Secondo me quell'insieme è $(f^n) ^(leftarrow) (a) $

[dissonance]

No, Anto, non è strano. Qui \(f^n\) denota la composizione di \(f\) con sé stessa fatta \(n\) volte. Quell'insieme \(F_a\) si chiama "orbita" di \(a\) e non è la stessa cosa di \((f^n)^{-1}\). Sono cose standard che si studiano nel ramo della matematica dei "sistemi dinamici discreti".

[anto_zoolander]

Si questo lo avevo capito(con $leftarrow$ intendevo la controimmagine).
Non mi piace l'uso di $n$ come apice di $RR^n$ e $n$ per la composizione. Per intenderci $f^n:RR^n->RR^n$ non mi ha persuaso

[dissonance]

AAhh, ok, è vero. Meglio \(f^k\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).

[Livius1]

Overflow94 : riflessioni personali.

A me pare che dissonance l'abbia risolto.

[dissonance]

Si, però due osservazioni:

1) il mio esempio precedente poteva essere scritto in modo molto più semplice:
\[
f(x, y)=\begin{bmatrix} \cos(1) & -\sin (1) \\ \sin (1) & \cos (1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \]
o una qualsiasi altra matrice di rotazione di un angolo che NON è multiplo di \(\pi\), produce orbite dense nella circonferenza, e in particolare prive di punti isolati.

2) si può produrre un esempio analogo in dimensione 1? Non ci sono riuscito. Forse no. Questa è una domanda interessante.

[Livius1]

C'è da dire che in dimensione 1, se la funzione è continua e iniettiva allora i punti di $F_a$ sono punti isolati, infatti, continua e iniettiva implica strettamente monotona e da qui il passo è breve.
In dimensioni superiori ciò non basta, cioè i punti possono essere isolati o meno a seconda del caso, come è stato già ampiamente mostrato in questo topic.
Comunque in dimensione 1, non so trovare un esempio di funzione continua in cui alcuni punti di $F_a$ non siano punti isolati, credo che la domanda finale posta sia questa.
Un'altra domanda a cui non so rispondere: se l'insieme $F_a$ ha più di un punto di accumulazione, allora è vero che alcuni punti (forse tutti ?) di $F_a$ non possono essere punti isolati ?

[Wilde1]

Non ho resistito... dopo paginate di controesempi fallaci ho chiesto su un'altro forum.
Vi lascio il link con la soluzione:
https://math.stackexchange.com/question ... 83#3553983

[dissonance]

Hai fatto bene a chiedere. Ma non ho capito esattamente la risposta, quello sarebbe un controesempio? Non sono ironico, vorrei davvero saperlo.

[Wilde1]

Si si ha mostrato un controesempio.
Ammetto che anche per me non è semplicissimo perchè non sapevo neppure cosa fosse un'orbita.
Però per chi lavora su questi temi penso che sia un'esempio classico.

L'idea è questa:
Prendiamo
\[
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \qquad f(x)=x^2-2
\]
e
\[
T: \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z} \qquad T(t) = 2t
\]

(1) Si vede facilmente che la mappa
\[
\phi:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R} \qquad \phi(t)=2\cos(2\pi t)
\]
è la semi-conjugacy tra $f$ e $T$; cioè $\phi\circ T = f\circ \phi$

(2) Vale la seguente proposizione:

Siano $f$ e $T$ due funzioni semi-conjugated (cioè tale per cui esiste una $phi$ come sopra).
Se esiste un'orbita $O_{t_0,T}:=\{T^n(t_0):\ n\in\mathbb{N}}$ densa per $T$ allora esiste un'orbita $O_{x_0,f}$ densa per $f$.

(3)Si riesce a provare che la mappa $T$ ha un'orbita densa.

(4) Da (3) e (2) segue che $f$ ha un'orbita densa, quindi non sono punti isolati.

Chiaramente (2) e (3) sono da provare, ma sono risultati classici che si trovano sui libri.
Ci sono qualche imprecisione ma sono poco importanti.

[Livius1]

"dissonance": Quindi se vuoi punti isolati senza punti di accumulazione, allora la risposta è no.

$f(x)=x+1$, $x \in \mathbb R$,

l’insieme $F_0= \mathbb N$ è composto di punti isolati e non ha punti di accumulazione!

[dissonance]

Voglio dire, se vuoi che *per ogni f* ci siano solo punti isolati allora la risposta è no.