'punti di accumulazione'
Ciao a tutti,
Non so se è la sezione giusta, chiedo scusa se non lo è.
Studio filosofia e sto preparando un esame di storia della filosofia greca su Zenone che mi sta molto interessando e che tocca in modo periferico alcune questioni base di analisi/topologia che desidererei approfondire.
Vorrei chiedere una mano per esprimere in un linguaggio matematico corretto la seguente situazione, in realtà molto semplice, ma da solo non riesco a trovare la terminologia giusta :
1. Ho un segmento unitario, lo tratto come il primo intervallo della semiretta positiva dei numeri reali e immagino di segnare su questo segmento tutti i punti corrispondenti ai numeri irrazionali compresi nell'intervallo: ora, questi punti sono infiniti e in più sono densi in R. Posso dire che '0' ed '1' sono punti di accumulazione per l'insieme dei punti irrazionali? Se si, come posso dirlo? Se no, come posso dire che tra 0 e x, dove x è un numero reale arbitrariamente piccolo, ci sono sempre infiniti numeri irrazionali, e idem tra x e 1?
2. Posso dire che ogni punto che corrisponde a un numero razionale è un punto di accumulazione per l'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 ed 1 ?
3. Posso dire che tutti questi punti si trovano nell'intervallo aperto (0,1) o ]0,1[ ?
Grazie mille per l'aiuto
Non so se è la sezione giusta, chiedo scusa se non lo è.
Studio filosofia e sto preparando un esame di storia della filosofia greca su Zenone che mi sta molto interessando e che tocca in modo periferico alcune questioni base di analisi/topologia che desidererei approfondire.
Vorrei chiedere una mano per esprimere in un linguaggio matematico corretto la seguente situazione, in realtà molto semplice, ma da solo non riesco a trovare la terminologia giusta :
1. Ho un segmento unitario, lo tratto come il primo intervallo della semiretta positiva dei numeri reali e immagino di segnare su questo segmento tutti i punti corrispondenti ai numeri irrazionali compresi nell'intervallo: ora, questi punti sono infiniti e in più sono densi in R. Posso dire che '0' ed '1' sono punti di accumulazione per l'insieme dei punti irrazionali? Se si, come posso dirlo? Se no, come posso dire che tra 0 e x, dove x è un numero reale arbitrariamente piccolo, ci sono sempre infiniti numeri irrazionali, e idem tra x e 1?
2. Posso dire che ogni punto che corrisponde a un numero razionale è un punto di accumulazione per l'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 ed 1 ?
3. Posso dire che tutti questi punti si trovano nell'intervallo aperto (0,1) o ]0,1[ ?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Al posto di dire «immagino di segnare tutti i punti corrispondenti ai numeri irrazionali compresi nell'intervallo» io direi semplicemente:
«Si considerino i punti di ascissa irrazionale appartenenti al segmento di estremi di ascissa rispettiva 0 e 1.»
Inoltre, penso che sia meglio dire che «l'insieme degli irrazionali è denso» invece di ire che «gli irrazionali sono densi in $RR$»
[Hai appena detto che gli irrazionali costituiscono un insieme denso [incluso] in $RR$.]
Non c'è bisogno di cercare "come dire" queste affermazioni o negazioni!
Le spiegazioni del SI' o del NO (essere 0 e 1 di accumulazione per l'insieme degli irrazionali incluso in $RR$) stanno nelle stesse definizioni di "elemto di accumulazione" e di "insieme denso".
a) Dato un insieme I incluso nell'insieme U in corrispondenza biunivoca con $RR$, un elemento P di U (appartenente o no ad I) è di accumulazione per I se (e solo se) ogni intorno di P contiene infiniti elementi di I.
b) L'insieme I incluso in U (in corrispondenza biunivoca con $RR$) è "denso" se (e solo se) ogni suo elemento è di accumulazione per esso.
Dati due reali razionali $a$ e $b >a$ arbitrariamente prossimi (ossia con $b-a$ non nullo ma piccolo a piacere), esiste senpre sia qualche razionale $c$ sia qualche irrazionale $d$ tali che $b > c > a$ e $b > d > a$.
Insomma: ogi punto del tuo segmento è di accumulazione sia per l'insieme dei punti corrispondenti ai razionali sia per l'insieme dei punti corrispondenti agli irrazionali.
E questo equivale all'essere "densi" entrambi gli insiemi.
[I due insiemi, però, non sono dello stesso tipo! L'insieme dei razionali è numerabile, ossia può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei naturali $NN$; ciò che non è possibile per l'insieme degli irrazionali]
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«Si considerino i punti di ascissa irrazionale appartenenti al segmento di estremi di ascissa rispettiva 0 e 1.»
Inoltre, penso che sia meglio dire che «l'insieme degli irrazionali è denso» invece di ire che «gli irrazionali sono densi in $RR$»
"Zenone123":Certamente!
Posso dire che '0' ed '1' sono punti di accumulazione per l'insieme dei punti irrazionali?
[Hai appena detto che gli irrazionali costituiscono un insieme denso [incluso] in $RR$.]
"Zenone123":Oh bella!
Se si, come posso dirlo? Se no, come posso dire che tra 0 e x, dove x è un numero reale arbitrariamente piccolo, ci sono sempre infiniti numeri irrazionali, e idem tra x e 1?
Non c'è bisogno di cercare "come dire" queste affermazioni o negazioni!
Le spiegazioni del SI' o del NO (essere 0 e 1 di accumulazione per l'insieme degli irrazionali incluso in $RR$) stanno nelle stesse definizioni di "elemto di accumulazione" e di "insieme denso".
a) Dato un insieme I incluso nell'insieme U in corrispondenza biunivoca con $RR$, un elemento P di U (appartenente o no ad I) è di accumulazione per I se (e solo se) ogni intorno di P contiene infiniti elementi di I.
b) L'insieme I incluso in U (in corrispondenza biunivoca con $RR$) è "denso" se (e solo se) ogni suo elemento è di accumulazione per esso.
"Zenone123":Certo che SI' !
Posso dire che ogni punto che corrisponde a un numero razionale è un punto di accumulazione per l'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 ed 1 ?
Dati due reali razionali $a$ e $b >a$ arbitrariamente prossimi (ossia con $b-a$ non nullo ma piccolo a piacere), esiste senpre sia qualche razionale $c$ sia qualche irrazionale $d$ tali che $b > c > a$ e $b > d > a$.
Insomma: ogi punto del tuo segmento è di accumulazione sia per l'insieme dei punti corrispondenti ai razionali sia per l'insieme dei punti corrispondenti agli irrazionali.
E questo equivale all'essere "densi" entrambi gli insiemi.
[I due insiemi, però, non sono dello stesso tipo! L'insieme dei razionali è numerabile, ossia può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei naturali $NN$; ciò che non è possibile per l'insieme degli irrazionali]
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Grazie Erasmus, tutto chiarissimo. Non mi era chiarissimo il fatto che ogni elemento di un insieme denso è un punto di accumulazione per l'insieme, non sapevo nemmeno se il concetto di 'punto di accumulazione' a rigore fosse utilizzabile al di fuori della topologia o se ce ne fosse uno più adatto, per questo chiedevo se 'si può dire' e 'come si può dire' 
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