Problemi di Cauchy e di... compattezza

[Paolo902]

Problema. Sia \( f \in C^{1}(\mathbb R^2, \mathbb R) \), con
\[
\frac{\partial}{\partial x} f(t,x) \le 0, \qquad \forall (t,x) \in \mathbb R^2
\]
e inoltre $f(t,0)=0$ per ogni $t \in \RR$. Si consideri il problema di Cauchy
\[
\tag{PC} \begin{cases} y^{\prime} = f(t,y) \\
y(0)=x\end{cases}
\]
con $x \in \RR$. Dimostrare che:

[list=2]
[*:16j29o2u] per ogni $x \in \RR$ la funzione $y_x(\cdot)$, soluzione di (PC) con dato iniziale $x$, è definita su tutto $[0,+\infty)$.[/*:m:16j29o2u]
[*:16j29o2u] Mostrare che \( \{y_x(\cdot): x \in [0,1] \}\) è compatto in $C[0,+\infty)$.[/*:m:16j29o2u][/list:o:16j29o2u]

Cerco un po' di idee, sarà l'ora, ma non riesco a vedere nulla di serio...

Ho capito che la soluzione $y_x$ ha segno costante, e precisamente ha sempre lo stesso segno di $x$ (questo perché siamo certamente nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale e l'ipotesi $f(t,0)=0$ per ogni $t$ mi dice che la funzione $y \equiv 0$ è soluzione stazionaria del problema). Insomma, $x=0$ fa da spartiacque.

L'andamento sublineare di $f$ me lo posso anche sognare, la derivata è negativa ma può essere grande quanto vuole in valore assoluto, quindi niente. Quindi o stime a priori o si va con la definizione. Supponiamo per assurdo che esista un $T<+\infty$ tale che (wlog $x>0$) $\lim_{t \to T} y_{x}(t) = +\infty$. E allora?

Per la compattezza pensavo fosse un gioco da ragazzi, salvo poi rileggere bene il testo e accorgermi che Ascoli Arzelà non si può applicare così, tout-court, perché $[0,+\infty)$ si guarda bene dall'essere compatto.

Grazie.

[Rigel1]

Intanto un hint per la prima domanda:

Dalle ipotesi su \(f\) deduci che \(f(t,y) \leq 0\) se \(y\geq 0\), mentre \(f(t,y)\geq 0\) se \(y\leq 0\). Di conseguenza, se \(x>0\) la soluzione \(y_x\) è decrescente in \([0,+\infty)\), vale a dire rimane incastrata fra la quota \(0\) e la quota \(x\); analogo discorso vale se \(x<0\).

[Rigel1]

Metto l'hint anche per la seconda:

Se \(0\leq z < x \leq 1\) allora \(0\leq y_z(t) < y_x(t) \leq x\) per ogni \(t\geq 0\); inoltre
\[
0\leq y_x(t) - y_z(t) = x-z +\int_0^t[f(s,y_x(s)) - f(s,y_z(s))]ds \leq x-z,\qquad \forall t\geq 0,
\]
dove l'ultima disuguaglianza segue dal fatto che \(\partial_y f(t,y) \leq 0\).
In generale, per ogni \(x,z\in [0,1]\), avrai che
\[
\sup_{t\geq 0} |y_x(t) - y_z(t)| = |x-z|.
\]

[gugo82]

1.

Il teorema di esistenza ed unicità si applica, sicché il PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = f(t,y(t))\\
y(0)=x
\end{cases}
\]
ha unica soluzione massimale definita in un intervallo \(]T_-,T^+[\) con \(T_-<0
Chiaramente, dato che \(f(t,0)=0\) per ogni \(t\), la soluzione \(y^*(t)=0\) è la soluzione massimale corrispondente al dato iniziale nullo, i.e. \(x=0\).
Per il teorema di unicità le soluzioni corrispondenti ad altri valori iniziali non possono mai assumere il valore zero; conseguentemente, la soluzione massimale \(y(\cdot;x)\) corrispondente al dato iniziale \(x\neq 0\) conserva lo stesso segno di \(x\), i.e. si ha \(y(\cdot ;x)>0\) [risp. \(<0\)] se \(x>0\) [risp. \(<0\)].

Da \(f_x (t,\cdot)<0\) e \(f(t,0)=0\) segue immediatamente che \(f(t,\cdot)<0\) [risp. \(>0\)] in \(]0,\infty[\) [risp. \(]-\infty ,0[\)]. Da ciò e dalle considerazioni sul segno delle soluzioni massimali segue immediatamente che per \(x>0\) [risp. \(<0\)] risulta:
\[
y^\prime (t;x) = f(t,y(t;x))<0 \qquad \text{[risp. } >0\text{]}
\]
per ogni \(t\in ]T_-,T^+[\); dunque la soluzione massimale \(y(\cdot ;x)\) corrispondente a \(x>0\) [risp. \(<0\)] è strettamente decrescente [risp. strettamente crescente] lì dove definita.

Dalle considerazioni sulla monotonia segue che gli integrali \(y(\cdot ;x)\) sono regolari in \(T_-\) e \(T^+\), i.e. esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{t\to T_-} y(t;x) \qquad \text{e} \qquad \lim_{t\to T^+} y(t;x)\; .
\]
In particolare, il secondo dei due è:
\[
\lim_{t\to T^+} y(t;x) = \begin{cases} \inf_{]T_-,T^+[} y(\cdot ;x) &\text{, se } x>0\\
\sup_{]T_-,T^+[} y(\cdot ;x) &\text{, se } x<0
\end{cases}
\]
e, per le osservazioni fatte sopra circa la monotonia delle soluzioni massimali, tale limite è finito in ogni caso; in particolare, detto \(\ell\) il suo valore, risulta:
\[
\ell \begin{cases} \geq 0 &\text{, se } x>0\\
\leq 0 &\text{, se } x<0\; .
\end{cases}
\]
Ciò importa che \(T^+=\infty\), perché altrimenti la soluzione massimale \(y(\cdot ;x)\) sarebbe prolungabile a destra di \(T^+\); inoltre, in ogni caso, il teorema dell'asintoto implica \(\ell =0\).

Quindi le soluzioni massimali del PdC assegnato sono definite in intervalli non limitati superiormente ed i loro grafici hanno l'asse delle ascisse come asintoto orizzontale a destra.

2.

Per dimostrare la compattezza di quell'insieme basta far vedere che l'applicazione \([0,1]\ni x\mapsto y(\cdot ;x)\in C([0,\infty[)\) è continua rispetto alla metrica dell'estremo superiore ed invocare il teorema di Weierstrass.

Siano \(x<\xi \in [0,1]\). In tal caso, è necessariamente \(0\leq y(\cdot ; x)0\) tale che \(y(\tau ;x)\geq y(\tau;\xi)\), poiché \(y(0;x)=x<\xi =y(0;\xi)\) esisterebbe un punto di contatto tra le due soluzioni, ergo esse dovrebbero coincidere ovunque... Ma ciò è assurdo, proprio perché \(y(0;x)=x<\xi =y(0;\xi)\)); dunque:
\[
y^\prime (t;\xi) - y^\prime (t;x) = f(t,y(t;\xi)) - f(t,y(t;x)) <0
\]
per la stretta monotonia della funzione parziale \(x\mapsto f(t,x)\); integrando su \([0,t]\) si trova:
\[
\begin{split}
0 &\geq \int_0^t y^\prime (\tau ;\xi) - y^\prime (\tau ;x)\ \text{d} \tau \\
&= y(t;\xi) - \xi - y(t;x) + x
\end{split}
\]
ossia:
\[
y(t;\xi) - y(t;x) \leq \xi -x\; .
\]
D'altro canto, se \(x>\xi\) la relazione precedente è a rovescio.
In ogni caso, usando il valore assoluto, si trova:
\[
\left| y(t;\xi) - y(t;x) \right| \leq |\xi -x |\; ,
\]
e ciò importa:
\[
\| y(\cdot ;\xi) - y(\cdot ;x)\|_{\infty , [0,\infty[} \leq |\xi - x|
\]
per qualsiasi \(x,\xi \in [0,1]\).
Quindi l'applicazione \([0,1]\ni x \mapsto y(\cdot ;x)\in C([0,\infty[)\) è lipschitziana ed, a fortiori, continua.

[Paolo902]

Molto bene, vi ringrazio. In effetti, il primo punto l'avevo sistemato autonomamente io ieri, ma non avevo possibilità di connettermi.

Per quanto riguarda il secondo punto, invece, non ci ero arrivato; stupidamente non mi era venuto in mente di mostrare che quella mappa era continua, per poi invocare il Thm. di Weierstrass, continuavo a pensare ad Ascoli-Arzelà o alla definizione.

Grazie per l'aiuto.

[Federico7771]

Da che libro hai preso questo esercizio?

[Paolo902]

@Federico: si tratta di un esercizio tratto da una vecchia prova di ammissione al PhD in Sissa.