Problema potenze apparentemente banale

[Maryana67]

Salve a tutti,
a volte vado alla ricerca di semplici simmetrie sui numeri e regolarità apparentemente banali. Una di queste a cui oggi stavo pensando è che è certamente vero che: $8 = 2^3 < 3^2 = 9$. Mi sono subito chiesto se e cosa legava numeri interi vicini che si incrociano in tal modo su una funzione esponenziale fra numeri interi. Sono rimasto abbastanza colpito dal fatto che l'esempio che per caso mi era capitato considerare, era in realtà un'eccezione alla regola: infatti presi comunque $a$ e $b$ due interi positivi tali che se $2 b^a$. Risulta infatti sempre verificato ad esclusione del caso suddetto ossia $a=2$ ma anche nel caso sia banalmente $a=1$ (in quest'ultimo caso difatti è evidente che per ogni $n$ maggiore o uguale a $2$ si ha che $1^n$ è sempre minore di $n^1$).
Qualcuno tra i più volenterosi che mi sta leggendo, sa come poter dimostrare algebricamente, senza far uso dei logaritmi, questo semplice teorema?
Grazie in anticipo.
Claudio.

[spugna2]

Dire che $a^b>b^a$ equivale a dire che $a^(1/a)>b^(1/b)$, quindi vorremmo dimostrare che $f (n):=n^(1/n) $ è decrescente in $\{n \in NN | n >=3 \} $, e possiamo farlo confrontando due termini "consecutivi":

$n^(1/n)>(n+1)^(1/(n+1)) \Leftrightarrow n^(n+1)>(n+1)^n \Leftrightarrow n>(1+1/n)^n $

ma l'ultima espressione, come è noto, converge crescendo a $e $, quindi se $n >=3$ si ha $(1+1/n)^n

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[Erasmus_First]

"Maryana67":8 = 2^3 < 3^2 = 9.[...]
... esempio che per caso mi era capitato considerare,[...] un'eccezione alla regola.[...]

Non è l'unica eccezione!
Le altre eccezioni si hanno per n = 0 e n = 1.
$0 = 0^1 < 1^0 = 1$; $1=1^2 < 2^1 = 2$.

La funzione
$f(x) = (x^(x+1))/(x+1)^x$
è monotòna crescente; e l'equazione
$x^(x+1)=(x+1)^x$
è risolta da $x_s = 2,9316...$.
Passando dunque dagli interi ai reali:
• se è $0 ≤ x < x_s$ allora è $x^(x+1) < (x+1)^x$;
• se è $x > x_s$ allora è $x^(x+1) > (x+1)^x$.

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[Maryana67]

Grazie a tutti per le risposte.
@Erasmus_first
Volevo solo segnalare che a me l'equazione $x^(x+1)=(x+1)^x$ mi si risolve con $x_s ≈ 2.29317$ ma ciò non cambia l'impostazione generale sulla asserita inversione di monotonia tra 2 e 3 considerando gli interi...
Un caro saluto a tutti.
Claudio.

[Erasmus_First]

"Maryana67":
@Erasmus_first
[...] l'equazione $x^(x+1)=(x+1)^x$ mi si risolve con $x_s ≈ 2.29317$ .

Certo, manca la cifra "2" come prima cifra a destra della virgola.
[Ho semplicemente sbagliato a ricopiare il valore che avevo trovato. Le prime 9 cifre sono 2,29316628 ..
La sesta cifra è 6 e non 7. Ma se si abbrevia la scrittura decimale del numero alle sole prime sei cifre significative la sesta cifra diventa 7 perché l'arrotondamento viene "per eccesso" dato che la cifra successiva – la prima della "coda" omessa – è "6", (cifra che non è minore di 5).
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