Problema isoperimetrico e disuguaglianze di sobolev

[fu^2]

Partendo dalla validità della disugualgianza isoperimetrica per insiemi con frontiera regolare (che si può trovare alle pag. 17 - 18 di questo articolo http://www-ma1.upc.es/~cabre/probgeo-subm.pdf - con un'interessante dimostrazione che parte dal problema di Neumann per il Laplaciano), dimostrare la validità della disuguaglianza di Gagliardo - Niremberg (e di conseguenza quella di Sobolev, immediato corollario)

[tex]\| u \|_{L^{\frac{N}{N-1}}(\mathbb{R}^N)}\leq C \| \nabla u \|_{L^{1}(\mathbb{R}^N)}[/tex]

per [tex]u\in C_0^1(\mathbb{R}^N)[/tex]

Hint: tenere presente la validità dei seguenti risultati:

1. Sia [tex](X,\Sigma, \mu)[/tex] uno spazio di misura e sia [tex]f:X\to \mathbb{R}^+[/tex] integrabile. Allora

[tex]\displaystyle\int_X f(x)d\mu(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\mu (\{f(x)>t\})dt[/tex]

2. (formula di Coarea) Sia [tex]h\in L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)[/tex] e [tex]u\in C_0^{1}(\mathbb{R}^N)[/tex] allora

[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}^N}h(x)|\nabla u(x)|dx=\displaystyle\int_0^{+\inty}\left(\displaystyle\int_{\{u=t\}}h(x)d\sigma\right) dt[/tex]

dove [tex]d\sigma[/tex] è l'elemento di misura superficiale della varietà [tex]\{u=t\}[/tex].

(per dover di cronaca affermo di conosce già la soluzione e di esserne in possesso)

[gugo82]

Conosco il problema e devo dire che, messa in questi termini, la questione è abbastanza abordabile.

Inoltre, la dimostrazione di Cabré della disuguaglianza isoperimetrica per insiemi abbastanza "carini" è davvero bella; l'ho studiata quando ho cominciato il dottorato.

@fu^2: Come mai ti sei imbattuto in queste questioni? Interesse tuo o le stai studiando?

[fu^2]

le ho fatte come ultime due lezioni del corso di analisi superiore di questo primo anno della specialistica (praticamente metà corso è un'introduzione alle PDE e la dimostrazione dell'isoperimetrica è un'applicazione che ha voluto fare la mia professoressa come conclusione, mettendo in luce come è comunque collegata agli spazi di Sobolev tramite Gagliardo Niremberg)

Dal momento che io l'ho trovata una cosa bellissima (questa è BELLA MATEMATICA: uno parte da cose apparentemente lontane e poi, alla fine, scopre che è tutto collegato) ho pensato che ne valesse la pena di proporlo come esercizio (dal momento che non è assolutamente infattibile).

[fu^2]

hint:

provare a scrivere [tex]\int u^{\frac{N}{N-1}} dx=\int u u^{\frac{1}{N-1}} dx[/tex] e considerare la misura [tex]d\mu =u^{\frac{1}{N-1}} dx[/tex] per applicare il risultato 1 proposto.

Dopo usare una nota disuguaglianza, sistemare le cose e "ripartire", utilizzando la disugualgianza isoperimetrica. Per finire usare la formula di coarea.

[gugo82]

Visto che nessuno risponde, mi butto io...


Dim.: Fissiamo [tex]$u\in C_c^1(\mathbb{R}^N)$[/tex].

Passo 1. Trovare un'espressione più maneggevole per [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}}$[/tex].

Ricordato che [tex]T^\alpha = \int_0^T \alpha t^{\alpha -1}\ \text{d} t[/tex], possiamo scrivere:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^{\frac{N}{N-1}}\ \text{d} x= \int_{\mathbb{R}^N} \left\{ \int_0^{|u(x)|} \tfrac{N}{N-1} t^{\frac{1}{N-1}}\text{d} t\right\}\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int_{\mathbb{R}^N} \left\{ \int_0^{+\infty} \tfrac{N}{N-1} t^{\frac{1}{N-1}}\ \chi_{\{ |u|>t \}}(x)\text{d} t\right\}\ \text{d} x$[/tex],

ove [tex]$\chi_{\{ |u|>t\}}(x)$[/tex] è la funzione caratteristica dell'insieme [tex]$\{ x\in \mathbb{R}^N:\ |u(x)|>t\}$[/tex]; a questo punto, l'esistenza dell'integrale al primo membro fa sì che risulti applicabile il teorema di Fubini, sicché si può invertire l'ordine d'integrazione al terzo membro ed ottenere:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^{\frac{N}{N-1}}\ \text{d} x= \int_0^{+\infty} \left\{ \int_{\mathbb{R}^N}\tfrac{N}{N-1} t^{\frac{1}{N-1}} \chi_{\{ |u|>t\}} (x)\ \text{d} x\right\}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$=\tfrac{N}{N-1}\int_0^{+\infty}t^{\frac{1}{N-1}} \mu_{|u|} (t)\ \text{d} t$[/tex]

in cui [tex]$\mu_{|u|}(t):=\big| \{|u|>t\}\big|_N$[/tex] (misura [tex]$N$[/tex]-dimensionale dell'insieme [tex]$\{|u|>t\}$[/tex]) è la cosiddetta funzione di distribuzione di [tex]$|u|$[/tex]: quindi in definitiva abbiamo:

(1) [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}}^{\frac{N}{N-1}} =\tfrac{N}{N-1} \int_0^{+\infty} t^{\frac{1}{N-1}}\ \mu_{|u|}(t)\ \text{d} t$[/tex]

(un'uguaglianza del genere è vera per ogni norma [tex]$L^p$[/tex] con [tex]$p\in [1,+\infty[$[/tex]; l'ho dimostrato qui e là diverse volte).

Passo 2. Maggiorazione di [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}}$[/tex] con un integrale contenente la funzione di distribuzione.

Ora usiamo un piccolo trucco per maggiorare il secondo membro della (1).
Evidentemente la funzione [tex]$\mu_{|u|}(t)$[/tex] è decrescente per [tex]$t\in [0,+\infty[$[/tex], quindi:

[tex]$t\ \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t) =\int_0^t \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \text{d} \tau \leq \int_0^t \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (\tau)\ \text{d} \tau$[/tex]

e da ciò segue che:

[tex]$\tfrac{N-1}{N}\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left\{ \int_0^t \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (\tau)\ \text{d} \tau\right\}^{\frac{N}{N-1}} = \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \left\{ \int_0^t \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \text{d} \tau\right\}^{\frac{1}{N-1}}$[/tex]
[tex]$\geq \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \left\{ t\ \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t) \right\}^{\frac{1}{N-1}}$[/tex]
[tex]$=t^{\frac{1}{N-1}}\ \mu_{|u|}(t)$[/tex],

con l'ultimo membro nonnegativo; integrando i membri esterni della precedente nell'intervallo [tex]$[0,t]$[/tex] troviamo:

[tex]$\int_0^t \tfrac{N-1}{N}\frac{\text{d}}{\text{d} \theta} \left\{ \int_0^\theta \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (\tau)\ \text{d} \tau\right\}^{\frac{N}{N-1}}\ \text{d} \theta \geq \int_0^t \theta^{\frac{1}{N-1}}\ \mu_{|u|}(\theta ) \ \text{d}\theta$[/tex]

ossia:

[tex]$\left\{ \int_0^t \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (\tau)\ \text{d} \tau\right\}^{\frac{N}{N-1}} \geq \tfrac{N}{N-1} \int_0^t \theta^{\frac{1}{N-1}}\ \mu_{|u|}(\theta ) \ \text{d}\theta$[/tex],

dalla quale, passando al limite per [tex]$t\to +\infty$[/tex] e rinominando le variabili d'integrazione, ricaviamo:

(2) [tex]$\left\{ \int_0^{+\infty} \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \text{d} t \right\}^{\frac{N}{N-1}} \geq \tfrac{N}{N-1} \int_0^{+\infty} t^{\frac{1}{N-1}}\ \mu_{|u|}(t) \ \text{d} t$[/tex];

confrontando la (1) e la (2) troviamo:

(3) [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}} \leq \int_0^{+\infty} \mu_{|u|}^{\frac{N-1}{N}} (t)\ \text{d} t$[/tex].

Passo 3. Uso della disuguaglianza isoperimetrica.

Ricordiamo che la disuguaglianza isoperimetrica in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] mette in relazione la misura di Lebesgue [tex]$N$[/tex]-dimensionale di un insieme con un'appropriata misura della sua superficie. Detta [tex]$\mathcal{P}(\cdot)$[/tex] la misura che vogliamo usare per misurare la superficie degli insiemi, la disuguaglianza isoperimetrica ci dice che:

(DI) [tex]$\mathcal{P} (E) \geq C_N\ |E|_N^{\frac{N-1}{N}}$[/tex],

ove [tex]$C_N:= N\ \omega_N^{\frac{1}{N}}$[/tex] è la costante isoperimetrica (ed [tex]$\omega_N =\text{misura della palla unitaria di $\mathbb{R}^N$}$[/tex]).
Se in (DI) prendiamo [tex]$E=\{ |u|>t\}$[/tex], di modo che [tex]$|E|_N=\mu_{|u|}(t)$[/tex], al secondo membro comparirà proprio l'integrando che figura al secondo membro di (3), quindi possiamo sicuramente scrivere:

(*) [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}} \leq \tfrac{1}{C_N} \int_0^{+\infty} \mathcal{P} (\{ |u|>t\})\ \text{d} t$[/tex].

Visto che [tex]$u$[/tex] è [tex]$C_c^1$[/tex], la [tex]$|u|$[/tex] è (nel peggiore dei casi) lipschitziana e si può dimostrare che in tal caso il perimetro degli insiemi [tex]$\{ |u|>t\}$[/tex] si può esprimere come un "integrale superficiale", cioè al seguente modo:

(**) [tex]$\mathcal{P} (\{ |u|>t\}) =\int_{\{ |u|=t\}}\ \text{d} \sigma= \int_{\{ u=t\}}\ \text{d} \sigma + \int_{\{ u=-t\}}\ \text{d} \sigma$[/tex],

sicché, inserendo (**) in (*) e mettendo tutto sotto un unico segno d'integrale (N.B.: se [tex]$t\in [0,+\infty[$[/tex] allora [tex]$-t\in]-\infty ,0]$[/tex]), troviamo:

(4) [tex]$\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}} \leq \tfrac{1}{C_N} \int_{-\infty}^{+\infty} \left\{ \int_{\{ u=t\}}\ \text{d} \sigma\right\} \text{d} t$[/tex].

Passo 4. Uso della formula di coarea e conclusione.

Usando la formula di coarea per riscrivere il secondo membro della (4), i.e. [tex]\int_{-\infty}^{+\infty} \left\{ \int_{\{ u=t\}}\ \text{d} \sigma\right\} \text{d} t =\int_{\mathbb{R}^N} |\text{D} u(x)|\ \text{d} x[/tex], si trova infine:

(5) [tex]$C_N\ \lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}} \leq \lVert \text{D} u\rVert_{L^1}$[/tex],

che è quanto volevamo. [tex]$\square$[/tex]


N.B.: Questa dimostrazione fornisce anche la costante ottimale nella disuguaglianza di Sobolev, nel senso che risulta:

[tex]$C_N=\inf_{u\in C_c^1,\ u\not\equiv 0} \frac{\lVert \text{D} u\rVert_{L^1}}{\lVert u\rVert_{L^{\frac{N}{N-1}}}}$[/tex].

La dimostrazione si fa, ad esempio, per assurdo; se l'estremo inferiore al secondo membro fosse [tex]$DI) può funzionare con una costante [tex]$DI).

[gugo82]

Mostrare che la norma [tex]$L^{\frac{N}{N-1}}$[/tex] che compare a primo membro della disuguaglianza di Sobolev è l'unica norma [tex]$L^p$[/tex] per la quale una tale disuguaglianza può esser valida per ogni [tex]$u\in C_c^1$[/tex].
In altre parole, mostrare che se una disuguaglianza del tipo:

[tex]$\lVert u\rVert_{L^p}\leq C\ \lVert \text{D} u\rVert_{L^1}$[/tex]

con [tex]$C>0$[/tex] vale per ogni [tex]$u\in C_c^1(\mathbb{R}^N)$[/tex], allora è necessariamente [tex]$p=\tfrac{N}{N-1}$[/tex].

[fu^2]

mi sembra ingiusto mettere la risposta perchè la conosco già, anche se è un calcolo interessante

comunque ragionerei sul fatto che fissata [tex]u\in C_c^1(\mathbb{R}^N)[/tex] posso considerare la famiglia di funzioni dipendenti da un parametro $\lambda$ - [tex]u(\lambda x )[/tex] - le quali, per ogni $\lambda$ fissato, sono funzioni supporto compatto.