Problema di minimo

[Sk_Anonymous]

Propongo un esercizio, presente sul mio libro di liceo, che mi è parso carino. Non mi è sembrato troppo banale (anche se di certo lo sarà per i signori che abitualmente frequentano quest'area), indi per cui ho deciso di postarlo qui, sperando che sia la sezione giusta; qualora non lo sia, chiedo scusa anticipatamente.

Verificare che il valore di $x$ che rende minima la somma dei quadrati: $y=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$ dove le $a_i$ sono numeri positivi dati e $x$ varia nel campo dei numeri positivi, è la media aritmetica delle $a_i$ stesse, cioè: $x=(\sum_(i=1)^n a_i)/n$.

Sto al momento tentando l'elaborazione di una soluzione.

[maurer]

Effettivamente, il problema è banale, alla luce di tutto-quello-che-c'è-dopo-il-liceo. Ma è fattibile anche ad un liceo. Ti metto un hint in spoiler:

La funzione è derivabile e per il Teorema di Fermat (lo chiamate così?) la derivata prima ha uno zero nel punto di minimo in questione (ammesso che esista). Questa è una condizione necessaria, quindi deriva e cerca gli zeri della derivata. Rimane da dimostrare che quello che hai trovato è un minimo. Potresti allora usare il criterio delle derivate successive e calcolare la derivata seconda...

Puoi riguardare ai tuoi dati ([tex]a_1, a_2, \ldots, a_n[/tex]) come a punti su una retta. Trovare il minimo di quella distanza significa minimizzare la somma degli scarti quadratici. Potrebbe essere più interessante, dal tuo punto di vista, chiederti: assegnati i punti [tex](a_1,b_1), \ldots, (a_n,b_n)[/tex] nel piano [tex]\mathbb{R}^2[/tex] qual è la retta che minimizza gli scarti al quadrato? Una retta ha equazione [tex]y = mx+ q[/tex], quindi bisogna fare un po' di conti. Se hai voglia pensaci, anche se, se fai il liceo, non credo che tu abbia l'attrezzatura matematica necessaria ad affrontare il problema. Quella che ottieni, comunque, è la retta di regressione o retta ai minimi quadrati, di cui, forse, hai già sentito parlare da qualche parte. Sono argomenti a cavallo tra statistica e Analisi Numerica (ma propendo più per la seconda, anche perché odio la prima )

[Sk_Anonymous]

"maurer":Effettivamente, il problema è banale, alla luce di tutto-quello-che-c'è-dopo-il-liceo. Ma è fattibile anche ad un liceo.

Dopo averci riflettuto un attimo mi sono reso conto che effettivamente il problema è banale (sempre ammesso e concesso che la mia soluzione sia corretta). Ho evitato per il momento di visualizzare lo spoiler con il tuo suggerimento; vediamo se l'idea a cui sono pervenuto è corretta.

(Tentativo di) soluzione
La funzione $f(x)=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$ è un polinomio di secondo grado pertanto continua in $RR$ e altresì derivabile in $RR$; la sua derivata sarà $f'(x)=2(x-a_1)+2(x-a_2)+...+2(x-a_n)=2nx-2(a_1+a_2+...+a_n)$. Tale derivata è positiva per $x>=(a_1+a_2+...+a_n)/n$ ed ergo la funzione $f(x)$ è crescente in tale intervallo illimitato superiormente e descrescente in $]-oo;(a_1+a_2+...+a_n)/n[$; da ciò si desume che $x=(a_1+a_2+...+a_n)/n$ è un minimo assoluto.

Può andare maurer?

[Gaussman]

si può fare anche conoscendo solo un po' di geometria analitica:
la roba che consideriamo è un polinomio di secondo grado in x, quindi una parabola.
Una parabola ha minimo nel suo vertice, e la coordinata x del vertice di una parabola di equazione $ax^2+bx+c$ è $-b/(2a)$.
Quindi...

[maurer]

Sì, vanno bene entrambi i metodi. Il primo è quello più scansafatiche e quello che mi è venuto più spontaneo.

[Sk_Anonymous]

Ok, bene. Chiedo tuttavia scusa alla moderazione per aver postato qui un problema così semplice, in effetti uno dei più semplici che abbia mai risolto. Ho visto il simbolo di sommatoria e subito ho pensato a chissacché

[dissonance]

"Delirium":Chiedo tuttavia scusa alla moderazione per aver postato qui un problema così semplice,

Non ti devi scusare proprio di niente. Il criterio con cui si inseriscono post in questa sezione invece che nelle sezioni standard non è la difficoltà, concetto relativo: un problema difficile per me è banale per un altro. Si posta qui quando c'è qualche problema che richiede di "pensare un po' di più" nel senso che esula dalla esercitazione standard, ed è il caso di questo esercizio se si rapporta a quelli tipici del liceo. La difficoltà non è una misura della bontà matematica.

[Sk_Anonymous]

Grande dissonance. Con questa risposta saggia confermi nuovamente la serietà di questo forum e di tutto lo staff di moderazione. Continuate così!